Equazione del calore particolare
La posto qua, perchè credo abbia qualcosa di anomalo. Se mi sbaglio, ovviamente ci penseranno i moderatori a spostarla nella sezione più appropriata.
Risolvere l'equazione del calore:
[tex]\frac{ \partial u}{ \partial t} - \frac{ \partial^2 u}{ \partial x^2} = 0[/tex]
con condizioni al contorno:
[tex]u(x=0,t) = u(x=L,t) = 1[/tex]
[tex]u(x, t=0) = 0[/tex] tranne che ovviamente in $x=0$ e in $x=L$, dove vale la condizione precedente.
Risolvere l'equazione del calore:
[tex]\frac{ \partial u}{ \partial t} - \frac{ \partial^2 u}{ \partial x^2} = 0[/tex]
con condizioni al contorno:
[tex]u(x=0,t) = u(x=L,t) = 1[/tex]
[tex]u(x, t=0) = 0[/tex] tranne che ovviamente in $x=0$ e in $x=L$, dove vale la condizione precedente.
Risposte
Ma ti pare che l'equazione del calore con condizioni al contorno sia un problema da scuola superiore? 
Domanda seria: ma stai alle scuole superiori?
Domanda seria: ma stai alle scuole superiori?
Non avevo notato che esistesse una sovrasezione Scuola Secondaria. L'avevo scelta perchè mi sembrava un problema più difficile dello standard, ma forse troppo facile per stare in "Pensare un po' di più". Ovviamente è un quesito da università comunque.
Equazioni di quel tipo si risolvono di norma col metodo della separazione delle variabili. Precisamente si suole porre
u=X(x)T(t)
dove X e T sono funzioni la prima solo di x, la seconda solo di t. Sostituendo, risulta la relazione :
(1) $XT'-TX''=0$
dove gli apici indicano derivazione rispetto alle variabili di dipendenza.
La (1) si scrive anche così:
${X''}/X={T'}/T$
e poiché la X dipende solo da x e la T solo da t, l'ultima eguaglianza ha senso solo se entrambi i membri sono uguali ad una medesima costante. Indicando tale costante per esempio con $-lambda^2$, si hanno le due equazioni differenziali :
\(\displaystyle \begin{cases}X''+\lambda^2X=0\\T'+\lambda^2T=0\end{cases} \)
Le soluzioni sono :
\(\displaystyle \begin{cases} X=C_1\cos(\lambda x)+C_2 \sin(\lambda x) \\T=C_3 e^{-\lambda^2t} \end{cases}\)
e quindi per la soluzione u risulta :
$u=e^{-\lambda^2t}[A\cos(\lambda x)+B \sin(\lambda x)] $
avendo posto: $C_1C_3=A,C_2C_3=B$
A questo punto per determinare le costanti $lambda ,A,B$ occorrerebbe imporre le condizioni iniziali.
Ma è qui che casca l'asino, perché le condizioni iniziali indicate nella consegna sembrano incompatibili col problema (anche se si sceglie come costante $+lambda^2$ ) e pare non permettano di determinare il valore di quelle costanti.
Vai a vedere ora chi è l'asino ...
u=X(x)T(t)
dove X e T sono funzioni la prima solo di x, la seconda solo di t. Sostituendo, risulta la relazione :
(1) $XT'-TX''=0$
dove gli apici indicano derivazione rispetto alle variabili di dipendenza.
La (1) si scrive anche così:
${X''}/X={T'}/T$
e poiché la X dipende solo da x e la T solo da t, l'ultima eguaglianza ha senso solo se entrambi i membri sono uguali ad una medesima costante. Indicando tale costante per esempio con $-lambda^2$, si hanno le due equazioni differenziali :
\(\displaystyle \begin{cases}X''+\lambda^2X=0\\T'+\lambda^2T=0\end{cases} \)
Le soluzioni sono :
\(\displaystyle \begin{cases} X=C_1\cos(\lambda x)+C_2 \sin(\lambda x) \\T=C_3 e^{-\lambda^2t} \end{cases}\)
e quindi per la soluzione u risulta :
$u=e^{-\lambda^2t}[A\cos(\lambda x)+B \sin(\lambda x)] $
avendo posto: $C_1C_3=A,C_2C_3=B$
A questo punto per determinare le costanti $lambda ,A,B$ occorrerebbe imporre le condizioni iniziali.
Ma è qui che casca l'asino, perché le condizioni iniziali indicate nella consegna sembrano incompatibili col problema (anche se si sceglie come costante $+lambda^2$ ) e pare non permettano di determinare il valore di quelle costanti.
Vai a vedere ora chi è l'asino ...
"ciromario":
A questo punto per determinare le costanti $ lambda ,A,B $ occorrerebbe imporre le condizioni iniziali.
Ma è qui che casca l'asino, perché le condizioni iniziali indicate nella consegna sembrano incompatibili col problema (anche se si sceglie come costante $ +lambda^2 $ ) e pare non permettano di determinare il valore di quelle costanti.
Vai a vedere ora chi è l'asino ...
Proprio per questo dico che non mi sembra banale.
Io ho provato a modificare la funzione iniziale, assumendo che valga $1$ tra $0$ ed $epsilon$, e tra $L-epsilon$ ed $L$.
In questo modo è risolvibile, riesco a trovare i coefficienti della serie di Fourier. Ovviamente, facendo poi tendere $epsilon$ a $0$, i coefficienti di Fourier tendono pure a $0$.
Tuttavia fisicamente mi sembra che una soluzione ci debba essere: si tratta di una sbarra a temperatura $0$ i cui estremi vengono messi a contatto con due termostati a temperatura $1$.
E' possibile che se calcolassimo prima la somma della serie ottenuta con la funzione iniziale modificata e poi facessimo tendere $epsilon$ a $0$, verrebbe fuori qualcosa di diverso dalla funzione nulla?
Ci sono almeno 2 strade che si possono seguire:
1. Calcolare la somma della serie con $epsilon > 0$, quindi fare il limite.
2. Trovare un teorema che neghi che ciò possa accadere.
[xdom="giammaria"]Sposto in Fisica[/xdom]
Non ho il tempo, né la voglia di risolvere l'esercizio (senza offesa): a me viene in mente un'estensione periodica delle condizioni al bordo ed applicare la trasformata di Fourier... forse da martedì pomeriggio, che sono libero da un esame, mi metterò a postare tutto il ragionamento!
So che $u_1 = x$ risolve l'equazione con $u(0,t) = 0$, $u(1,t) = 1$ e $u(x,0) = x$
Scrivo $u_1$ come serie di Fourier: $x = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} sin (n \pi x)$
Definisco $u_2 = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} sin (n \pi x) e^{-n^2 \pi^2 t} $
$u_2$ risolve l'equazione con $u(0,t) = u(1,t) = 0$, $u(x,0) = x$
Per cui ovviamente $u = u_1 - u_2$ è soluzione del problema originale.
Credo.
Scrivo $u_1$ come serie di Fourier: $x = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} sin (n \pi x)$
Definisco $u_2 = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} sin (n \pi x) e^{-n^2 \pi^2 t} $
$u_2$ risolve l'equazione con $u(0,t) = u(1,t) = 0$, $u(x,0) = x$
Per cui ovviamente $u = u_1 - u_2$ è soluzione del problema originale.
Credo.
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