Equazione del calore

[daenerys1]

Ho problemi sul seguente esercizio:

Per 0 < k < 1/4 calcolare la soluzione (k-dipendente) dell'equazione differenziale:

$u_t (x,t) = u_(xx) (x,t)+ ku(x,t), x in (0, pi), t>0$
con condizioni al bordo:
u(0,t) = 0, $u_x (pi, t) = t , t>= 0$
e dato iniziale
u(x,0) = 0


Allora prima di tutto mi sono tolta il termine ku(x,t) attraverso tale sostituzione: u(x,t) = $e^(kt)v(x,t)$ e così mi sono ricondotta al problema:

$v_t (x,t) - v_(xx) (x,t) = 0$

$v(0,t) = 0, v_x(pi,t) = t/(e)^(kt)$

$v(x,0)=0$

arrivata qui ho il mio problema, siccome l'equazione è omogenea posso cercare una soluzione attraverso il metodo della separazione delle variabili, però siccome una delle condizioni al bordo non è omogenea devo prima renderla tale? se sì, come posso fare?

[daenerys1]

up

[daenerys1]

ripropongo perché ancora non ho risolto, tramite sostituzione sono riuscita a riportarmi la condizione non omogenea in omogenea avendo poi un problema non omogeneo. A questo punto considero l'equazione omogenea e me la risolvo col metodo della separazione delle variabili, dopo ciò però mi ritrovo a dover trasformare in serie di fourier di soli seni una funzione pari (che sarebbe il mio termine sorgente) e non so se c'è qualcosa che non va o meno