Equazione dei momenti
Ciao a tutti, premetto che sono un pò arrugginita su queste cose.
Vi leggo il testo dell'esercizio: Una scala a pioli lunga 17m e del peso di 100kg è appoggiata ad una parete certicale liscia e poggia sul suolo il cui efficiente di attrito è 0,2. Di quanto dovrà essere inclinata rispetto al suolo la scala affinchè essa resti in equilibrio?
L' escplicitazione delle forze sul punto alto e basso della scala l' ho capito, ma non ho capito l' equazione dei momenti.
Potreste spiegare in parole semplici i passaggi (non ricordo proprio più nulla di queste cose, le ho fatte anni fa)?
Grazie mille per il vostro aiuto
Vi leggo il testo dell'esercizio: Una scala a pioli lunga 17m e del peso di 100kg è appoggiata ad una parete certicale liscia e poggia sul suolo il cui efficiente di attrito è 0,2. Di quanto dovrà essere inclinata rispetto al suolo la scala affinchè essa resti in equilibrio?
L' escplicitazione delle forze sul punto alto e basso della scala l' ho capito, ma non ho capito l' equazione dei momenti.
Potreste spiegare in parole semplici i passaggi (non ricordo proprio più nulla di queste cose, le ho fatte anni fa)?
Grazie mille per il vostro aiuto
Risposte
Sistema di riferimento: pavimento, asse orizzontale x rivolto verso destra. Paretee: asse verticale y rivolto verso l'alto.
La scala forma dunque un triangolo rettangolo. l'angolo $\alpha$ e' quello fra pavimento e scala stessa, interno al triangolo.
Le forze applicato sono
Reazione orizzontale, diretta verso destra, della parete $N_x$ incognita
Reazione verticale del pavimento $N_y$, diretta verso l'alto incognita.
Forza peso, diretta verso il basso e applicata a meta' scala $-mg$ (negativa perche opposta al senso crescente delle y per come abbiamo preso il sistema di riferimento).
Forza di attrito, diretta verso la parete (quindi negativa), pari $-\muN_y$
Per l equilibrio in orizzontale
$N_x-\muN_y=0$
Equilibrio in verticale
$N_y-mg=0$
Per l equilibrio alla rotazione, scelto un polo qualsiasi, i momenti si devono annullare. In questo caso il polo "migliore" (ininfluente per quanto riguarda il risultato, perche del tutto arbitrario, ma piu' conveniente dal punto di vista dei calcoli) e' quello sul pavimento. Le forze applicate in quel punto hanno momento nullo, perche hanno braccio nullo, quindi elimini in un solo colpo due incognite, la $N_y$ e la forza di attrito $\muN_y$.
Assunto come momento positivo la rotazione antioraria, per congruenza con la regola della mano destra, la forza peso da momento positivo (perche tende a far ruotare la scala in senso antiorario). La distanza della retta d'azione della forza dal polo (braccio) e' $L/2cos\alpha$
La reazione della parete da momento negativo per considerazione analoghe a quanto sopra e la distanza della retta d'azione e' $Lsin\theta$
Quindi deve valere $mgL/2cos\theta-N_xLsin\theta=0$.
Questo sistema di 3 equazioni, risolto ti fornisce cio' che cerchi. In particolare, ti trovi che la reazione
$N_y={mg\cdottg\alpha}/{2\mu}$ e che $N_y=mg$.
Eguagliando queste 2 equazioni trovi che $2\mu=tg\alpha$.
La scala forma dunque un triangolo rettangolo. l'angolo $\alpha$ e' quello fra pavimento e scala stessa, interno al triangolo.
Le forze applicato sono
Reazione orizzontale, diretta verso destra, della parete $N_x$ incognita
Reazione verticale del pavimento $N_y$, diretta verso l'alto incognita.
Forza peso, diretta verso il basso e applicata a meta' scala $-mg$ (negativa perche opposta al senso crescente delle y per come abbiamo preso il sistema di riferimento).
Forza di attrito, diretta verso la parete (quindi negativa), pari $-\muN_y$
Per l equilibrio in orizzontale
$N_x-\muN_y=0$
Equilibrio in verticale
$N_y-mg=0$
Per l equilibrio alla rotazione, scelto un polo qualsiasi, i momenti si devono annullare. In questo caso il polo "migliore" (ininfluente per quanto riguarda il risultato, perche del tutto arbitrario, ma piu' conveniente dal punto di vista dei calcoli) e' quello sul pavimento. Le forze applicate in quel punto hanno momento nullo, perche hanno braccio nullo, quindi elimini in un solo colpo due incognite, la $N_y$ e la forza di attrito $\muN_y$.
Assunto come momento positivo la rotazione antioraria, per congruenza con la regola della mano destra, la forza peso da momento positivo (perche tende a far ruotare la scala in senso antiorario). La distanza della retta d'azione della forza dal polo (braccio) e' $L/2cos\alpha$
La reazione della parete da momento negativo per considerazione analoghe a quanto sopra e la distanza della retta d'azione e' $Lsin\theta$
Quindi deve valere $mgL/2cos\theta-N_xLsin\theta=0$.
Questo sistema di 3 equazioni, risolto ti fornisce cio' che cerchi. In particolare, ti trovi che la reazione
$N_y={mg\cdottg\alpha}/{2\mu}$ e che $N_y=mg$.
Eguagliando queste 2 equazioni trovi che $2\mu=tg\alpha$.
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