Equazione che non riesco a risolvere
per effetto del proprio peso, un conduttore di lunghezza l=1m e massa m=0,1kg, scivola in caduta, senza frizione significativa e partendo da fermo, lungo due guide conduttrici verticali che sono collegate in alto ad una resistenza elettrica R=10ohm. Un campo magnetico uniforme di intensità B=0,4T è perpendicolare al piano del circuito.
Nel'ipotesi che i conduttori abbiano resistenza nulla, si genera una corrente autoindotta che tende a frenare la sbarretta.
Considera trascurabile la resistenza dell'aria.
Si vorrebbe conoscere
a) il verso della corrente indotta
b) la velocità massima di caduta e come essa varia in funzione della resistenza elettrica
c) l'accellerazine di caduta del conduttore e la sua evoluzione temporale
a) il verso è opposto a quello della corrente che circola per effetto della variazione di flusso che si crea.
b) la velocità massima è raggiunta quando la forza peso è uguale alla forza magnetica, quindi quando la risultante è zero.
la forza magnetica è data da $F_m=Bil$, noi sappiamo che $i=(fem)/R$ e dalla legge di faraday neumann sappiamo anche $fem=(Deltafi)/(Deltat)=Blv$, sostituendo abbiamo l'espressione della forza elettrica in funzione della resistenza cioè $F_m=(B^2l^2v)/R$ eguagliandola alla forza peso data da $F_p=mg$ e scrivendo tutto in funzione della velocità otteniamo la risposta al secondo punto, cioè $v=(mgR)/(B^2l^2)$ e fino a qui non c'è problema.
c)il problema sorge quando mi chiede di trovare l'accelerazione in funzione del tempo.
io so che $v=at$ e $a=0$ quando $v=(mgR)/(B^2l^2)$
dopo la velocità rimane costante, quindi anche quando $lim_(t->+oo)v(t)=(mgR)/(B^2l^2)$ e quindi $lim_(t->+oo)a(t)=0
sapendo inoltre che $v=(ds)/(dt)$ e $a=(dv)/(dt)$, ho provato a riscrivere l'andamento del sistema in funzione del tempo, cioè riscrivendo $(DeltaPhi)/(Deltat)=Blv$, ottenendo $(DeltaPhi)/(Deltat)*1/(Bl)=v$ se derivo ottengo la velocità istantanea in ogni momento quindi $d/(dt)Phi*1/(Bl)=d/(dt)v$.
ora sapendo che l'accelerazione istantanea è, come detto prima, la derivata della velocità, devo risolvere l'equazione
$d/(dt)Phi*1/(Bl)=a$ che però non saprei come fare...
ho scritto vaccatte insensate nel punto c)? il fatto è che non so bene come muovermi, barcollo abbatsanza nel buio... ho la sensazione che mi manca la parte di matematica per risolvere la faccendo
qualcuno mi potrebbe aiutare?
Nel'ipotesi che i conduttori abbiano resistenza nulla, si genera una corrente autoindotta che tende a frenare la sbarretta.
Considera trascurabile la resistenza dell'aria.
Si vorrebbe conoscere
a) il verso della corrente indotta
b) la velocità massima di caduta e come essa varia in funzione della resistenza elettrica
c) l'accellerazine di caduta del conduttore e la sua evoluzione temporale
a) il verso è opposto a quello della corrente che circola per effetto della variazione di flusso che si crea.
b) la velocità massima è raggiunta quando la forza peso è uguale alla forza magnetica, quindi quando la risultante è zero.
la forza magnetica è data da $F_m=Bil$, noi sappiamo che $i=(fem)/R$ e dalla legge di faraday neumann sappiamo anche $fem=(Deltafi)/(Deltat)=Blv$, sostituendo abbiamo l'espressione della forza elettrica in funzione della resistenza cioè $F_m=(B^2l^2v)/R$ eguagliandola alla forza peso data da $F_p=mg$ e scrivendo tutto in funzione della velocità otteniamo la risposta al secondo punto, cioè $v=(mgR)/(B^2l^2)$ e fino a qui non c'è problema.
c)il problema sorge quando mi chiede di trovare l'accelerazione in funzione del tempo.
io so che $v=at$ e $a=0$ quando $v=(mgR)/(B^2l^2)$
dopo la velocità rimane costante, quindi anche quando $lim_(t->+oo)v(t)=(mgR)/(B^2l^2)$ e quindi $lim_(t->+oo)a(t)=0
sapendo inoltre che $v=(ds)/(dt)$ e $a=(dv)/(dt)$, ho provato a riscrivere l'andamento del sistema in funzione del tempo, cioè riscrivendo $(DeltaPhi)/(Deltat)=Blv$, ottenendo $(DeltaPhi)/(Deltat)*1/(Bl)=v$ se derivo ottengo la velocità istantanea in ogni momento quindi $d/(dt)Phi*1/(Bl)=d/(dt)v$.
ora sapendo che l'accelerazione istantanea è, come detto prima, la derivata della velocità, devo risolvere l'equazione
$d/(dt)Phi*1/(Bl)=a$ che però non saprei come fare...
ho scritto vaccatte insensate nel punto c)? il fatto è che non so bene come muovermi, barcollo abbatsanza nel buio... ho la sensazione che mi manca la parte di matematica per risolvere la faccendo
qualcuno mi potrebbe aiutare?
Risposte
ho scritto vaccatte insensate...?
non saprei, non ho ancora affrontato questi argomenti, ma una cosa posso dirtela
l'accellerazine di caduta
ciao
"+Steven+":ho scritto vaccatte insensate...?
non saprei, non ho ancora affrontato questi argomenti, ma una cosa posso dirtela
l'accellerazine di caduta
ciao
come dirò sempre... accelerzione con due l serve a enfatizzare il fatto che accelera in modo preponderante
scherzo...
cmunque tornando al problema...nessuno a idee?
Nel procedimento relativo alla parte (c) c'e' qualche idea,non supportata
con esattezza sul piano matematico e quindi preferisco riscriverla da capo ( ).
Sia a l'accelerazione istantanea del sistema;l'equazione di quest'ultimo sara' allora
(rispetto ad un asse verticale orientato verso il basso):
$ma=mg-F_m$, ovvero per calcoli gia' fatti:
$m(dv)/(dt)=mg-(B^2L^2v)/R$ da cui:
$(dv)/(dt)+(B^2L^2)/(mR)v=g$
Una soluzione particolare dell'equazione non omogenea e' evidentemente $bar(v)=(mgR)/(B^2L^2)$
Mentre l'equazione omogenea associata e':
$(dv)/(dt)+(B^2L^2)/(mR)v=0$ che risolta (per variabili separabili) porge come soluzione:
$v=Ce^(-(B^2L^2)/(mR)t)$
Pertanto la soluzione generale sara':
$v=Ce^(-(B^2L^2)/(mR)t)+(mgR)/(B^2L^2)$
Poiche' per t=0 deve essere v=0 sara' $C=-(mgR)/(B^2L^2)$ e dunque:
$v=(mgR)/(B^2L^2)(1-e^(-(B^2L^2)/(mR)t))$
Per $t->oo$ si ha il valore limite gia' trovato:$v=bar(v)=(mgR)/(B^2L^2)$
Infine derivando rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione istantanea:
$a=g*e^(-(B^2L^2)/(mR)t$
All'istante iniziale a coincide con g per poi annullarsi per $t=oo$.Nella realta',
a causa degli attriti e della resistenza del mezzo, il moto
finisce col diventare uniforme (v=costante=$bar(v)$ ) per un t opportuno.
karl
con esattezza sul piano matematico e quindi preferisco riscriverla da capo (
).Sia a l'accelerazione istantanea del sistema;l'equazione di quest'ultimo sara' allora
(rispetto ad un asse verticale orientato verso il basso):
$ma=mg-F_m$, ovvero per calcoli gia' fatti:
$m(dv)/(dt)=mg-(B^2L^2v)/R$ da cui:
$(dv)/(dt)+(B^2L^2)/(mR)v=g$
Una soluzione particolare dell'equazione non omogenea e' evidentemente $bar(v)=(mgR)/(B^2L^2)$
Mentre l'equazione omogenea associata e':
$(dv)/(dt)+(B^2L^2)/(mR)v=0$ che risolta (per variabili separabili) porge come soluzione:
$v=Ce^(-(B^2L^2)/(mR)t)$
Pertanto la soluzione generale sara':
$v=Ce^(-(B^2L^2)/(mR)t)+(mgR)/(B^2L^2)$
Poiche' per t=0 deve essere v=0 sara' $C=-(mgR)/(B^2L^2)$ e dunque:
$v=(mgR)/(B^2L^2)(1-e^(-(B^2L^2)/(mR)t))$
Per $t->oo$ si ha il valore limite gia' trovato:$v=bar(v)=(mgR)/(B^2L^2)$
Infine derivando rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione istantanea:
$a=g*e^(-(B^2L^2)/(mR)t$
All'istante iniziale a coincide con g per poi annullarsi per $t=oo$.Nella realta',
a causa degli attriti e della resistenza del mezzo, il moto
finisce col diventare uniforme (v=costante=$bar(v)$ ) per un t opportuno.
karl
"karl":
Pertanto la soluzione generale sara':
$v=Ce^(-(B^2L^2)/(mR)t)+(mgR)/(B^2L^2)$
grazie karl! perfetta spiegazione, però non capisco questo passaggio...
è la risoluzione di un'equazione differenziale?...
Effettivamente si tratta di un'equazione differenziale (del primo ordine).
L'integrale generale si ottiene come somma di un integrale particolare
e dell'integrale generale dell'equazione omogenea associata.
Ho scelto questo metodo dato che,nel nostro caso ,sono costanti
sia i coefficienti dell'equazione che il termine noto ed e' quindi abbastanza
facile trovare l'integrale particolare ,così come quello della omogenea associata.
Tuttavia si puo' ottenere anche con una formula diretta che
si trova pure nei testi di liceo e che e' stata richiamata varie volte proprio
su questo Forum.
karl
L'integrale generale si ottiene come somma di un integrale particolare
e dell'integrale generale dell'equazione omogenea associata.
Ho scelto questo metodo dato che,nel nostro caso ,sono costanti
sia i coefficienti dell'equazione che il termine noto ed e' quindi abbastanza
facile trovare l'integrale particolare ,così come quello della omogenea associata.
Tuttavia si puo' ottenere anche con una formula diretta che
si trova pure nei testi di liceo e che e' stata richiamata varie volte proprio
su questo Forum.
karl
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