Equazione adimensionale corretta
Nell’equazione $ v^n = ka^jx $ che valori devono avere n e j perché
l’equazione sia dimensionalmente corretta? (b) In base all’analisi dimensionale,
si può dire qualcosa su k? Che cosa?
Salve , senza risolvermi l'esercizio . Qualcuno mi può dire a livello teorico come ragionarci su ?
l’equazione sia dimensionalmente corretta? (b) In base all’analisi dimensionale,
si può dire qualcosa su k? Che cosa?
Salve , senza risolvermi l'esercizio . Qualcuno mi può dire a livello teorico come ragionarci su ?
Risposte
Se $v$ e' una velocita', $a$ un'accelerazione, $x$ uno spazio e $k$ una costante allora
$[L]^n[T]^(-n)=[L]^j[T]^(-2j)[L]^1$
Da cui ottieni
$n=j+1$
$-n=-2j$
Con soluzioni
$j=1$, $n=2$
L'equazione diventa $v^2=kax$
$k$ allora e' espresso in:
$m^2/[sec]^2[sec^2]/[m]1/m=1$
$[L]^n[T]^(-n)=[L]^j[T]^(-2j)[L]^1$
Da cui ottieni
$n=j+1$
$-n=-2j$
Con soluzioni
$j=1$, $n=2$
L'equazione diventa $v^2=kax$
$k$ allora e' espresso in:
$m^2/[sec]^2[sec^2]/[m]1/m=1$
Andiamo per gradi . $ a=L/T^2 $ $ v=L/T $ $ x=L $
In teoria non dovrei sostituire questi valori nell'equazione ?
In teoria non dovrei sostituire questi valori nell'equazione ?
Hmm, in effetti, @professorkappa, come mai hai tolto la \(\displaystyle k \) nella tua prima espressione? Io l'avrei lasciata, in modo da ottenere:
\(\displaystyle v^n = \left(\dfrac{L}{T}\right)^n = L^n T^{-n} \)
\(\displaystyle a^j = \left(\dfrac{L}{T^2}\right)^j = L^j T^{-2j} \)
\(\displaystyle x = L \)
\(\displaystyle k = [k] \) (unita' di misura di k, ignota per ora)
Allora:
\(\displaystyle L^nT^{-n} = [k] L^j T^{-2j} L = [k] L^{j+1} T^{-2j} \)
Da cui:
\(\displaystyle [k] = \dfrac{L^nT^{-n}}{L^{j+1}T^{-2j}} = L^{n-j-1}T^{2j-n} \)
NB: se ci sostituiamo dentro i valori trovati da professorkappa, \(\displaystyle j = 1, n = 2 \), troviamo ovviamente \(\displaystyle [k] = L^0T^0 = 1 \), cioe' che \(\displaystyle k \) dev'essere una costante adimensionale, che pero' e' un caso particolare dell'equazione di partenza, secondo me.
Edit: scusate, avevo letto male il testo del problema. Ora che lo rileggo meglio, tuttavia, mi lascia un po' perplesso la prima domanda: "che valori devono avere n e j perché l’equazione sia dimensionalmente corretta?". Secondo me, con l'unita' di misura di \(\displaystyle k \) pari a \(\displaystyle L^{n-j-1}T^{2j-n} \), vanno bene tutti i valori n e j, che l'equazione resta sempre dimensionalmente corretta.
\(\displaystyle v^n = \left(\dfrac{L}{T}\right)^n = L^n T^{-n} \)
\(\displaystyle a^j = \left(\dfrac{L}{T^2}\right)^j = L^j T^{-2j} \)
\(\displaystyle x = L \)
\(\displaystyle k = [k] \) (unita' di misura di k, ignota per ora)
Allora:
\(\displaystyle L^nT^{-n} = [k] L^j T^{-2j} L = [k] L^{j+1} T^{-2j} \)
Da cui:
\(\displaystyle [k] = \dfrac{L^nT^{-n}}{L^{j+1}T^{-2j}} = L^{n-j-1}T^{2j-n} \)
NB: se ci sostituiamo dentro i valori trovati da professorkappa, \(\displaystyle j = 1, n = 2 \), troviamo ovviamente \(\displaystyle [k] = L^0T^0 = 1 \), cioe' che \(\displaystyle k \) dev'essere una costante adimensionale, che pero' e' un caso particolare dell'equazione di partenza, secondo me.
Edit: scusate, avevo letto male il testo del problema. Ora che lo rileggo meglio, tuttavia, mi lascia un po' perplesso la prima domanda: "che valori devono avere n e j perché l’equazione sia dimensionalmente corretta?". Secondo me, con l'unita' di misura di \(\displaystyle k \) pari a \(\displaystyle L^{n-j-1}T^{2j-n} \), vanno bene tutti i valori n e j, che l'equazione resta sempre dimensionalmente corretta.
Perche io ho assunto k come numero puro (ho scritto costante, improrpiamente) e infatti poi l'ho trattata come tale e ho pure sbagliato (ora corretto). Comunque si, in effetti se k non e' un numero puro, il problema e' indeterminato. I valori trovati da me sono univoci solo se k e' numero puro, ovvero costante adimensionale)
forse dovrei rivedere questi argomenti . Che libro consigliato ad uno che di fisica ne ha fatta poca e male alle superiori ?
"professorkappa":
Se $v$ e' una velocita', $a$ un'accelerazione, $x$ uno spazio e $k$ una costante allora
$[L]^n[T]^(-n)=[L]^j[T]^(-2j)[L]^1$
Da cui ottieni
$n=j+1$
$-n=-2j$
Con soluzioni
$j=1$, $n=2$
L'equazione diventa $v^2=kax$
$k$ allora e' espresso in:
$m^2/[sec]^2[sec^2]/[m]1/m=1$
Avrei una domanda . Le equazioni adimensionali non sono equazioni appunto senza dimensione ? Da quello che ho capito io devo convertire le dimensioni nelle loro grandezze . Però perchè assumo la x come L ?
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