EQD oscillatore armonico - Esercizio
Buongiorno,
Ho un problema con la risoluzione dell'esercizio mostrato in figura.. posto la foto per una maggior chiarezza.
--------------------------------------
--------------------------------------
Ci sono arrivato sino a quando definisce l'EQD $\frac{d^2x}{dt^2} + w^2x = g$.
Risolvo l'equazione, considerando che:
- il termine noto fosse costante;
- la soluzione $x(t) = \bar{x}(t) + x_p(t)$ rispettivamente la soluzione della omogenea associata e la soluzione particolare;
Calcolo il polinomio caratteristico, ottenendo come soluzioni: $\lambda _1= -iwt ; lambda _2= iwt$.
Pertanto la soluzione della OA sarà: $\bar{x}(t)= c_1 * e^{-iwt} + c_2 * e^{iwt}$.
Utilizzando la formulazione di Eulero -> $e^{\alpha+i\beta}= e^\alpha cos(\beta) + ie^\alpha sin(\beta)$ con $alpha = 0$ e $beta =\pm iwt$ si ha:
->$c_1[cos(wt) - isen(wt)] + c_2[cos(wt)+ isen(wt)]$
->$(c_1+c_2)(cos(wt)+ (c_2-c_1)(sen(wt))$
Ridefinendo le costanti: $(c_1+c_2)= c_1$ e $i(c_2-c_1)= c_2 $ si ottiene: $\bar{x}(t)= c_1cos(wt)+c_2sin(wt)$ (soluzione complementare)
Trovo la soluzione particolare con il metodo dei coefficienti indeterminati:
$\frac{d^2x}{dt^2} + w^2x = g$, $g$ sarà della forma $s_p(t)$=$a_1$ (costante). La sua derivata seconda è 0.
Impongo che $x_p(t)$ sia soluzione e la sostituisco nella EQD.
-> $\frac{d^2x_p}{dt^2} + w^2x_p = g$ -> $w^2x_p = g$. Ma $x_p(t) = a_1$ -> $a_1=g/w^2$
La soluzione generale sarà: $x(t)=c_1cos(wt)+c_2sin(wt)+g/w^2$
Ora mi sarei ricavato la velocità dalla legge oraria. Ed avrei impostato un (problema di Cauchy?) - dovrebbe essere quello, se non ricordo male - stavo dicendo, avrei impostato un sistema per definire le condizioni iniziali ovvero:
sostituendo t= 0 nelle leggi orarie ottengo:
\begin{cases} x_0=x(t_0) \\ v_0 = v(t_0) \end{cases} -> \begin{cases} x_0=c_1 + \frac{g}{w^2} \\ v_0 = c_2w \end{cases}
Le costanti, a t=0 valgono rispettivamente: $c_1=x_0-g/w^2$ , $c_2=v_0/w$
La legge oraria, per t=0 sarà -> $(x_0-g/w^2)cos(wt)+(v_0/w)sin(wt)+g/w^2$
Non so se questo ragionamento sia corretto o meno. Sò solo che la soluzione particolare da me trovata, coincide con la soluzione che inserisce nell'equazione (sostituendo $w^2=k/m$)..
Mi chiedo sicuramente se la mia soluzione sia corretta o meno, e se nel caso lo fosse: qual'è il legame tra la mia soluzione e quella del libro? visto che il termine col coseno è inesistente? Qual'è la strada giusta da percorrere affinchè possa risolversi questo esercizio?
Grazie, Buon Ferragosto.
Ho un problema con la risoluzione dell'esercizio mostrato in figura.. posto la foto per una maggior chiarezza.
--------------------------------------
--------------------------------------
Ci sono arrivato sino a quando definisce l'EQD $\frac{d^2x}{dt^2} + w^2x = g$.
Risolvo l'equazione, considerando che:
- il termine noto fosse costante;
- la soluzione $x(t) = \bar{x}(t) + x_p(t)$ rispettivamente la soluzione della omogenea associata e la soluzione particolare;
Calcolo il polinomio caratteristico, ottenendo come soluzioni: $\lambda _1= -iwt ; lambda _2= iwt$.
Pertanto la soluzione della OA sarà: $\bar{x}(t)= c_1 * e^{-iwt} + c_2 * e^{iwt}$.
Utilizzando la formulazione di Eulero -> $e^{\alpha+i\beta}= e^\alpha cos(\beta) + ie^\alpha sin(\beta)$ con $alpha = 0$ e $beta =\pm iwt$ si ha:
->$c_1[cos(wt) - isen(wt)] + c_2[cos(wt)+ isen(wt)]$
->$(c_1+c_2)(cos(wt)+ (c_2-c_1)(sen(wt))$
Ridefinendo le costanti: $(c_1+c_2)= c_1$ e $i(c_2-c_1)= c_2 $ si ottiene: $\bar{x}(t)= c_1cos(wt)+c_2sin(wt)$ (soluzione complementare)
Trovo la soluzione particolare con il metodo dei coefficienti indeterminati:
$\frac{d^2x}{dt^2} + w^2x = g$, $g$ sarà della forma $s_p(t)$=$a_1$ (costante). La sua derivata seconda è 0.
Impongo che $x_p(t)$ sia soluzione e la sostituisco nella EQD.
-> $\frac{d^2x_p}{dt^2} + w^2x_p = g$ -> $w^2x_p = g$. Ma $x_p(t) = a_1$ -> $a_1=g/w^2$
La soluzione generale sarà: $x(t)=c_1cos(wt)+c_2sin(wt)+g/w^2$
Ora mi sarei ricavato la velocità dalla legge oraria. Ed avrei impostato un (problema di Cauchy?) - dovrebbe essere quello, se non ricordo male - stavo dicendo, avrei impostato un sistema per definire le condizioni iniziali ovvero:
sostituendo t= 0 nelle leggi orarie ottengo:
\begin{cases} x_0=x(t_0) \\ v_0 = v(t_0) \end{cases} -> \begin{cases} x_0=c_1 + \frac{g}{w^2} \\ v_0 = c_2w \end{cases}
Le costanti, a t=0 valgono rispettivamente: $c_1=x_0-g/w^2$ , $c_2=v_0/w$
La legge oraria, per t=0 sarà -> $(x_0-g/w^2)cos(wt)+(v_0/w)sin(wt)+g/w^2$
Non so se questo ragionamento sia corretto o meno. Sò solo che la soluzione particolare da me trovata, coincide con la soluzione che inserisce nell'equazione (sostituendo $w^2=k/m$)..
Mi chiedo sicuramente se la mia soluzione sia corretta o meno, e se nel caso lo fosse: qual'è il legame tra la mia soluzione e quella del libro? visto che il termine col coseno è inesistente? Qual'è la strada giusta da percorrere affinchè possa risolversi questo esercizio?
Grazie, Buon Ferragosto.
Risposte
... qual è il legame ...
Il legame lo trovi ricordando che lo sviluppo del seno di una somma porta a due termini in seno e coseno.
Sviluppando potrai ricavare le due relazioni esistenti fra il fattore $A$ e la fase $\phi$ della soluzione e le tue costanti $c_1$ e $c_2$.
Ciao ragazzi, buon ferragosto a tutti.
Vi ringrazio per le vostre risposte. Tem sei stato molto chiaro nella trattazione, tuttavia comprendo di aver fatto un po di confusione con le condizioni da imporre per il problema di Cauchy. Vorrei capire nel dettaglio, la fase in cui, determinata la soluzione dell'EQD poni il sistema con le condizioni iniziali e il relativo svolgimento del sistema. Cerco di spiegarmi meglio:
non avendo trattato nel merito il problema di Cauchy, potresti spiegarmi come và risolto il sistema?
p.s. hai definito le pulsazione w come una posizione di comodo, cosa intendi?
Ancora grazie.
Vi ringrazio per le vostre risposte. Tem sei stato molto chiaro nella trattazione, tuttavia comprendo di aver fatto un po di confusione con le condizioni da imporre per il problema di Cauchy. Vorrei capire nel dettaglio, la fase in cui, determinata la soluzione dell'EQD poni il sistema con le condizioni iniziali e il relativo svolgimento del sistema. Cerco di spiegarmi meglio:
non avendo trattato nel merito il problema di Cauchy, potresti spiegarmi come và risolto il sistema?
p.s. hai definito le pulsazione w come una posizione di comodo, cosa intendi?
Ancora grazie.
Benissimo, ho capito. 
Grazie mille
Grazie mille
Un'ultima domanda..
come mai il seno è negativo? Visto che è definita i ìn $[0,2\pi)$ entrambe le funzioni, in base al quadrante varieranno di segno.. Illuminami.
quindi possiamo identificare tali coefficienti come seno e coseno di uno stesso angolo $phi$:\begin{cases} cos\phi=+\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2} } \\ sen\phi= -\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}} \end{cases}
come mai il seno è negativo? Visto che è definita i ìn $[0,2\pi)$ entrambe le funzioni, in base al quadrante varieranno di segno.. Illuminami.
yes
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo