Eq. di Schrodinger con potenziale di Dirac [MQ]
Mi è venuto un dubbio, che potrebbe essere praticamente risolto se si postula che la funzione d'onda è una funzione continua (cosa che penso sia abbastanza naturale da dire).
Prendiamo un potenziale che vale $\infty$ ovunque tranne che in un intervallo $[-a,a]$ con $a \in \mathbb{R}$, dove vale $V(x) = \delta(x)$ ( proprio la delta di Dirac ).
L'equazione di Schrodinger avrà una forma del tipo (a parte costanti)
$frac{\del^2\psi}{\delx^2} = (E - V(x)) \psi$
Ora, vogliamo dimostrare che in 0 la derivata è discontinua. Il mio libro integra tra $[-\epsilon] ed [\epsilon]$ questa equazione, ottenendo
$frac{\del\psi(\epsilon)}{\delx} - frac{\del \psi(-\epsilon)}{\delx} = \psi(0)$
Da cui ricava la discontinuità della derivata prima della funzione d'onda
Ma chi mi dice che $\psi (0)$ sia ben definita? magari in $0$ c'è una discontinuità della funzione d'onda, dunque non è univoco il valore $\psi(0)$. Io di teoria delle distribuzioni non so ancora niente praticamente, ma mi domandavo come fosse possibile essere sicuri che $\psi(0)$ sia ben definito...
La prima cosa che ho pensato è stata che il potenziale è praticamente ovunque 0, dunque la discontinuità non si dovrebbe avere, dovendo fare un integrale di Lebesgue... ma mi sembra un ragionamento molto debole.
Prendiamo un potenziale che vale $\infty$ ovunque tranne che in un intervallo $[-a,a]$ con $a \in \mathbb{R}$, dove vale $V(x) = \delta(x)$ ( proprio la delta di Dirac ).
L'equazione di Schrodinger avrà una forma del tipo (a parte costanti)
$frac{\del^2\psi}{\delx^2} = (E - V(x)) \psi$
Ora, vogliamo dimostrare che in 0 la derivata è discontinua. Il mio libro integra tra $[-\epsilon] ed [\epsilon]$ questa equazione, ottenendo
$frac{\del\psi(\epsilon)}{\delx} - frac{\del \psi(-\epsilon)}{\delx} = \psi(0)$
Da cui ricava la discontinuità della derivata prima della funzione d'onda
Ma chi mi dice che $\psi (0)$ sia ben definita? magari in $0$ c'è una discontinuità della funzione d'onda, dunque non è univoco il valore $\psi(0)$. Io di teoria delle distribuzioni non so ancora niente praticamente, ma mi domandavo come fosse possibile essere sicuri che $\psi(0)$ sia ben definito...
La prima cosa che ho pensato è stata che il potenziale è praticamente ovunque 0, dunque la discontinuità non si dovrebbe avere, dovendo fare un integrale di Lebesgue... ma mi sembra un ragionamento molto debole.
Risposte
L'ipotesi di continuità della funzione d'onda in realtà è assunta tacitamente quando imponi $V(x) = \delta(x)$. Questo perché nella teoria di Schwartz delle distribuzioni non ha senso moltiplicare la $\delta$ per una funzione discontinua (o per un'altra distribuzione): l'espressione $\delta(x) \psi(x)$ dove $\psi$ è discontinua non è definita (è un po' come $1/0$).
Eh, peccato per quel tacitamente che appunto, è stato taciuto per tutto il libro! Grazie della risposta.
In generale comunque mi pare si possa dimostrare che le soluzioni dell'equazioni di Schrodingher sono sempre $inC^0$ e se il potenziale non contiene termini delta di Dirac anche $inC^1$
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