Eq. di Maxwell e calcolo vettoriale

[spassky]

Mi sono letteralmente impantanato nel "trattamento" delle eq. di Maxwell...
Il problema è questo :
Partendo dalle equazioni 3 e 4 di Maxwell ( quelle ai rotori, senza sorgenti), supposto che E e H siano scindibili in componeti trasversali $H_t(x,y)$ e $E_t(x,y)$ ed in z-componenti $E_z(z)$ e $H_z(z)$, devo "giocherellare" col calcolo e con le equazioni di Maxwell per ottenere:

$-del(E_t)/(del(z))= i*omega*mu*(I+ (grad_t grad_t)/(mu*epsilon*omega^2))*(H_t xx hat z )$

dove $I$ è la matrice unitaria, $grad_t grad_t$ è il gradiente trasverso della divergenza trasversa, $i$ è l'unità immaginaria.

Ovviamente ne dovrei ottenere un altra simmetrica per $-del(H_t)/(del(z))$.

Ho provato ad approcciare il problema col teorema del rotore del rotore :

$grad xx grad xx A =grad grad*A - grad^2A$

con A opportuno campo.
Ma anche se mi viene fuori l'utilissimo termine $grad grad$ non riesco a venirne a capo.
Chi mi indirizza sulla buona strada ?

[Sk_Anonymous]

(Con |E| e |H| indico non moduli ma componenti e il "." e' il prodotto scalare ordinario)
Poniamo :
$E=E_t+|E_z|i_z$
$H=H_t+|H_z|i_z$
e decomponiamo l'operatore "grad" nell'operatore trasverso e in quello longitudinale:
$grad=grad_t+i_zdel/(delz)$
Sostituendo nelle prime 2 equazioni di Maxwell (quelle con i rotori):
$(grad_t+i_zdel/(delz))xx(E_t+|E_z|i_z)=-jomegamu(H_t+i_z|H_z|)$
$(grad_t+i_zdel/(delz))xx(H_t+|H_z|i_z)=jomegaepsilon(E_t+i_z|E_z|)$
Eseguendo i prodotti (occorre ricordare varie proprieta' di tali prodotti) :
$grad_t xx E_t+grad_txxi_z|E_z|+i_zxx(delE_t)/(delz)=-jomegamuH_t-jomegamu|H_z|i_z$
$grad_t xx H_t+grad_txxi_z|H_z|+i_zxx(delH_t)/(delz)=jomegaepsilonE_t+jomegamu|E_z|i_z$
Moltiplichiamo ora le ultime 2 equaz. per $i_z$ prima scalarmente e poi vettorialmente.
Nel primo caso si ha ( anche qui ricordare proprieta' sui prodotti misti):
$-grad_t cdot (i_zxxE_t)=-jomegamu|H_z|$
$-grad_t cdot (i_zxxH_t)=jomegaepsilon|E_z|$
Da cui:
$|H_z|=1/(jomegamu)grad_t cdot (i_z xxE_t)$
$|E_z|=1/(jomegaepsilon)grad_t cdot (H_txxi_z)$
Nel secondo caso si ha (ricordare proprieta' del prodotto triplo):
$grad_t|E_z|-(delE_t)/(delz)=-jomegamui_zxxH_t$
$grad_t|H_z|-(delH_t)/(delz)=jomegaepsiloni_zxxE_t$
Sostituendo in queste ultime equazioni i valori precedenti di |H_z| e |E_z|:
$1/(jomegaepsilon)grad_tgrad_t cdot (H_txxi_z)-(delE_t)/(delz)=(jomegamu(H_txxi_z)$
$1/(jomegaemu)grad_tgrad_t cdot (i_zxxE_t)-(delH_t)/(delz)=(jomegaepsilon(i_zxxE_t)$
Se indichiamo con $I_t$ la matrice identica 2x2 si puo' anche scrivere:
$-(delE_t)/(delz)=jomegamu[I_t+1/(mu epsilon omega^2)grad_tgrad_t]cdot(H_txxi_z)$
$-(delH_t)/(delz)=jomegaepsilon[I_t+1/(mu epsilon omega^2)grad_tgrad_t]cdot(i_zxxE_t)$
Spero di non aver sbagliato qualcosa:e' stata una faticaccia!
Karl

[fireball1]

Karl volevo dirti che esiste in MathML il modo
per scrivere la de delle derivate parziali:
$(delf)/(delx_1)$, $(delf)/(delx_2)$... Il delta minuscolo è diverso!

[Sk_Anonymous]

Grazie a fireball ho corretto il "delta" in "del".
karl