Entropia? Cosa devo differenziare e integrare?
Salve! Ho un dubbio sul calcolo della variazione di entropia.
Io so calcolare la variazione di entropia per una trasformazione isoterma:
$S_b - S_a = n*R*ln (V_b/V_a) + n*R*ln (P_b/P_a)$
da:
$dQ = n*c_v * dT + dW$ ,
$dW = P*dV$, $PV = nRT => dW = nRT (dV) / V $
$S_b - S_a = \int_A^B (dQ) / T = \int_A^B n*c_v* (dT) / T + \int_A^B n*R*(dV)/V $
$S_b - S_a = n*c_v*ln(T_b/T_a) + n*R*ln(V_b/V_a)$
Come faccio a ricavarmi invece queste?:
trasformazione isocora:
$S_b - S_a = n*c_v*ln(T_b/T_a) - n*c_v*ln(P_b /P_a)$
trasformazione isobara
$S_b - S_a = n*c_p * ln (T_b / T_a) - n*c_p * ln(V_b/V_a)$
trasformazione adiabatica
$S_b - S_a = n*R*ln(V_b/V_a)$
trasformazione qualsiasi:
$S_b - S_a = n*c_v* ln(P_b / P_a) + n* c_p * ln (V_b /V_a)$
Mi serve capire cosa differenziare e quindi come integrare per arrivare a queste equazioni.
Grazie anticipatamente.
Io so calcolare la variazione di entropia per una trasformazione isoterma:
$S_b - S_a = n*R*ln (V_b/V_a) + n*R*ln (P_b/P_a)$
da:
$dQ = n*c_v * dT + dW$ ,
$dW = P*dV$, $PV = nRT => dW = nRT (dV) / V $
$S_b - S_a = \int_A^B (dQ) / T = \int_A^B n*c_v* (dT) / T + \int_A^B n*R*(dV)/V $
$S_b - S_a = n*c_v*ln(T_b/T_a) + n*R*ln(V_b/V_a)$
Come faccio a ricavarmi invece queste?:
trasformazione isocora:
$S_b - S_a = n*c_v*ln(T_b/T_a) - n*c_v*ln(P_b /P_a)$
trasformazione isobara
$S_b - S_a = n*c_p * ln (T_b / T_a) - n*c_p * ln(V_b/V_a)$
trasformazione adiabatica
$S_b - S_a = n*R*ln(V_b/V_a)$
trasformazione qualsiasi:
$S_b - S_a = n*c_v* ln(P_b / P_a) + n* c_p * ln (V_b /V_a)$
Mi serve capire cosa differenziare e quindi come integrare per arrivare a queste equazioni.
Grazie anticipatamente.
Risposte
Ma sono tutte sbagliate!
(Usi l'equazione di stato dei gas perfetti, giusto?)
La prima per esempio, visto che $dT=0$ si ha $dU = 0$ quindi $PdV = TdS -> P/TdV = dS = nR (dV)/(V) = dS -> S = nR ln (V_f/V_i)$
In un'adiabatica $dq=0$ quindi $int (dq)/T = 0$!
In una isobara sai che
$dQ = n c_p dT = T ds -> S = n c_p ln (T_f/T_i) = nc_p ln (V_f / V_i)$
ecc ecc...
(Usi l'equazione di stato dei gas perfetti, giusto?)
La prima per esempio, visto che $dT=0$ si ha $dU = 0$ quindi $PdV = TdS -> P/TdV = dS = nR (dV)/(V) = dS -> S = nR ln (V_f/V_i)$
In un'adiabatica $dq=0$ quindi $int (dq)/T = 0$!
In una isobara sai che
$dQ = n c_p dT = T ds -> S = n c_p ln (T_f/T_i) = nc_p ln (V_f / V_i)$
ecc ecc...
"Zkeggia":
Ma sono tutte sbagliate!
(Usi l'equazione di stato dei gas perfetti, giusto?)
Le ho prese dal libro
e gli esercizi riescono con queste formule"Zkeggia":
La prima per esempio, visto che $dT=0$ si ha $dU = 0$ quindi $PdV = TdS -> P/TdV = dS = nR (dV)/(V) = dS -> S = nR ln (V_f/V_i)$
In un'adiabatica $dq=0$ quindi $int (dq)/T = 0$!
In una isobara sai che
$dQ = n c_p dT = T ds -> S = n c_p ln (T_f/T_i) = nc_p ln (V_f / V_i)$
ecc ecc...
in un'adiabatica reversibile l'entropia è 0.
sì ma tu hai scritto che non è 0!
Comunque cerca su wikipedia, ci dovrebbero essere tutte le dimostrazioni, essenzialmente si parte sempre dall'espressione
$c_v dT = p dV + T dS$
e si lavora caso per caso...
Comunque cerca su wikipedia, ci dovrebbero essere tutte le dimostrazioni, essenzialmente si parte sempre dall'espressione
$c_v dT = p dV + T dS$
e si lavora caso per caso...
"Zkeggia":
sì ma tu hai scritto che non è 0!
Comunque cerca su wikipedia, ci dovrebbero essere tutte le dimostrazioni, essenzialmente si parte sempre dall'espressione
$c_v dT = p dV + T dS$
e si lavora caso per caso...
Ok provo e ti faccio sapere.
Grazie
Prego, più che altro non capisco come sia possibile che gli esercizi vengano con quelle formule li! Ma che libro usi?
Se ti va mi posti un problema in cui si deve usare una di quelle formule? che mi pare strano, magari c'è qualche dato che chiede (magari vuole l'entropia totale nel caso di qualche serie di trasformazioni)...
Se ti va mi posti un problema in cui si deve usare una di quelle formule? che mi pare strano, magari c'è qualche dato che chiede (magari vuole l'entropia totale nel caso di qualche serie di trasformazioni)...
"Zkeggia":
Prego, più che altro non capisco come sia possibile che gli esercizi vengano con quelle formule li! Ma che libro usi?
Se ti va mi posti un problema in cui si deve usare una di quelle formule? che mi pare strano, magari c'è qualche dato che chiede (magari vuole l'entropia totale nel caso di qualche serie di trasformazioni)...
Uso Fisica I - Mazzoldi,Nigro, Voci.
Ma può essere che le formule che ho scritto io(tranne per l'adiabatica) sono nel caso di trasformazioni reversibili? Mentre quelle che mi dici tu nel caso di trasformazioni irreversibili?
Per una trasformazione irreversibile il calcolo di $int dQ/T$ non è facile, in quanto non si può applicare al primo principio della termodinamica la differenziazione che rende
$dQ = TdS$ o $L=pdV$
Quindi non saprei. Di sicuro quelle che ti ho detto valgono per le trasformazioni reversibili però...
P.s. Il libro che usi non lo conosco molto bene, non l'ho mai guardato approfonditamente. Personalmente studiavo sul Picasso, in cui la questione dell'entropia è discussa molto bene...
$dQ = TdS$ o $L=pdV$
Quindi non saprei. Di sicuro quelle che ti ho detto valgono per le trasformazioni reversibili però...
P.s. Il libro che usi non lo conosco molto bene, non l'ho mai guardato approfonditamente. Personalmente studiavo sul Picasso, in cui la questione dell'entropia è discussa molto bene...
"Zkeggia":
Per una trasformazione irreversibile il calcolo di $int dQ/T$ non è facile, in quanto non si può applicare al primo principio della termodinamica la differenziazione che rende
$dQ = TdS$ o $L=pdV$
Quindi non saprei. Di sicuro quelle che ti ho detto valgono per le trasformazioni reversibili però...
P.s. Il libro che usi non lo conosco molto bene, non l'ho mai guardato approfonditamente. Personalmente studiavo sul Picasso, in cui la questione dell'entropia è discussa molto bene...
Forse ho capito.
$S_b - S_a = n*c_v*ln(T_b/T_a) = - n*R*ln(V_b/V_a)$
trasformazione isocora:
$S_b - S_a = n*c_v*ln(T_b/T_a) = n*c_v*ln(P_b /P_a)$
trasformazione isobara
$S_b - S_a = n*c_p * ln (T_b / T_a) = n*c_p * ln(V_b/V_a)$
trasformazione adiabatica
$S_b - S_a = n*R*ln(V_b/V_a)$
trasformazione qualsiasi:
$S_b - S_a = n*c_v* ln(P_b / P_a) = - n* c_p * ln (V_b /V_a)$
Nelle trasformazioni irreversibili valgono queste mentre in quelle reversibili dalla disuguaglianza di clausius troviamo che la loro somma deve dare 0, in un circuito chiuso e quindi si sommano.
L'unico dubbio rimane nell'adiabatica.
Allora, l'entropia è una funzione di stato, su questo siamo d'accordo.
Irreversibile o meno, rimane sempre una funzione di stato.
Per calcolare la variazione di entropia da un punto $A$ a un punto $B$ nel caso di trasformazioni irreversibili si deve passare per trasformazioni reversibili (di cui si conosce la variazione di entropia) che uniscano lo stato A con lo stato B (solitamente si fa isocora + isobara)
Ora, nel caso di trasformazioni reversibili valgono i calcoli che ti ho detto, ovvero, in generale $Tds + p dV = cv dT$
Questa uguaglianza non vale più nel caso di trasformazioni irreversibili, ma vale solo $U = L - Q$
Però, dal momento che $S$ è una funzione di stato, puoi sempre usare la prima uguaglianza che ti ho detto per calcolarti la variazione di entropia.
In una adiabatica reversibile il calore scambiato è 0, l'entropia è nulla!
ricordo che la variazione di entropia tra due punti $A$ e $B$ di un sistema termodinamico è definita come
$int_A^B (dQ_rev)/T$ dove il $_rev$ sta ad indicare che devi fare il calcolo sempre passando per trasformazioni reversibili.
Irreversibile o meno, rimane sempre una funzione di stato.
Per calcolare la variazione di entropia da un punto $A$ a un punto $B$ nel caso di trasformazioni irreversibili si deve passare per trasformazioni reversibili (di cui si conosce la variazione di entropia) che uniscano lo stato A con lo stato B (solitamente si fa isocora + isobara)
Ora, nel caso di trasformazioni reversibili valgono i calcoli che ti ho detto, ovvero, in generale $Tds + p dV = cv dT$
Questa uguaglianza non vale più nel caso di trasformazioni irreversibili, ma vale solo $U = L - Q$
Però, dal momento che $S$ è una funzione di stato, puoi sempre usare la prima uguaglianza che ti ho detto per calcolarti la variazione di entropia.
In una adiabatica reversibile il calore scambiato è 0, l'entropia è nulla!
ricordo che la variazione di entropia tra due punti $A$ e $B$ di un sistema termodinamico è definita come
$int_A^B (dQ_rev)/T$ dove il $_rev$ sta ad indicare che devi fare il calcolo sempre passando per trasformazioni reversibili.
"Zkeggia":
Allora, l'entropia è una funzione di stato, su questo siamo d'accordo.
Irreversibile o meno, rimane sempre una funzione di stato.
Per calcolare la variazione di entropia da un punto $A$ a un punto $B$ nel caso di trasformazioni irreversibili si deve passare per trasformazioni reversibili (di cui si conosce la variazione di entropia) che uniscano lo stato A con lo stato B (solitamente si fa isocora + isobara)
Ora, nel caso di trasformazioni reversibili valgono i calcoli che ti ho detto, ovvero, in generale $Tds + p dV = cv dT$
Questa uguaglianza non vale più nel caso di trasformazioni irreversibili, ma vale solo $U = L - Q$
Però, dal momento che $S$ è una funzione di stato, puoi sempre usare la prima uguaglianza che ti ho detto per calcolarti la variazione di entropia.
In una adiabatica reversibile il calore scambiato è 0, l'entropia è nulla!
ricordo che la variazione di entropia tra due punti $A$ e $B$ di un sistema termodinamico è definita come
$int_A^B (dQ_rev)/T$ dove il $_rev$ sta ad indicare che devi fare il calcolo sempre passando per trasformazioni reversibili.
Di solito si usa un'isocora e un'isobara irreversibili per calcolare l'entropia di una isoterma reversibile.
Praticamente, le formule che ho scritto all'inizio , sono pronte all'uso quando si dice " per calcolare questa trasformazione irreversibile, scelgo un percorso reversibile".
Credo che ora ci sia un pò di ordine nella mia mente
Un'ultima domanda.
L'entropia dell'ambiente è sempre uguale a $Q/T$ ?
dove Q è il calore per comprimere o espandere il gas, e T è la temperatura dell'ambiente?
"qwerty90":
Di solito si usa un'isocora e un'isobara irreversibili per calcolare l'entropia di una isoterma reversibile.
Ma scusa, per qual motivo per calcolare la variazione di entropia di un'isoterma reversibile uno dovrebbe passare per trasformazioni irreversibili? il calcolo dell'entropia va fatto su trasformazioni reversibili, e nel caso di un'isoterma hai che
$pdV = T dS -> pdV = pV/(nR) dS -> nR ln (V_f/V_i) = S_(A->B) $
Senza passare da isocore o isobare irreversibili (quindi difficili da rappresentare sul piano di Clayperion):
si usano trasformazioni reversibili per calcolare l'entropia di trasformazioni irreversibili, non il contrario!
Comunque l'ambiente è considerato avere temperatura costante nel tempo, e se il calore è Q, la sua variazione è $Q/T$ come dici tu.
"Zkeggia":
[quote="qwerty90"]
Di solito si usa un'isocora e un'isobara irreversibili per calcolare l'entropia di una isoterma reversibile.
Ma scusa, per qual motivo per calcolare la variazione di entropia di un'isoterma reversibile uno dovrebbe passare per trasformazioni irreversibili? il calcolo dell'entropia va fatto su trasformazioni reversibili, e nel caso di un'isoterma hai che
$pdV = T dS -> pdV = pV/(nR) dS -> nR ln (V_f/V_i) = S_(A->B) $
Senza passare da isocore o isobare irreversibili (quindi difficili da rappresentare sul piano di Clayperion):
si usano trasformazioni reversibili per calcolare l'entropia di trasformazioni irreversibili, non il contrario!
Comunque l'ambiente è considerato avere temperatura costante nel tempo, e se il calore è Q, la sua variazione è $Q/T$ come dici tu.[/quote]
Ok ok grazie
Il concetto di trasformazione reversibile, non va inteso come:
"Una trasformazione reversibile non genera entropia". Questo è FALSO.
Le trasformazioni reversibili sono quelle per cui si può tornare al punto di partenza senza modificare l'entropia dell'universo.
Per esempio una espansione libera è irreversibile perché per ritornare alla situazione iniziale bisogna compiere lavoro, quindi modificare l'entropia dell'universo.
Ma se io vado da un punto $(P_1,V_1)$ a un punto $(P_2,V_2)$ con una espansione reversibile, l'entropia cambia.
Se poi con la stessa trasformazione torno a $(P_1,V_1)$ allora la somma delle entropie $S_1 + S_2 =0$
In una irreversibile non ha senso affermare "Con la stessa trasformazione ritorno alla situazione iniziale", perché non è possibile farlo.
Ci tenevo a precisarlo, che non si sa mai.
"Una trasformazione reversibile non genera entropia". Questo è FALSO.
Le trasformazioni reversibili sono quelle per cui si può tornare al punto di partenza senza modificare l'entropia dell'universo.
Per esempio una espansione libera è irreversibile perché per ritornare alla situazione iniziale bisogna compiere lavoro, quindi modificare l'entropia dell'universo.
Ma se io vado da un punto $(P_1,V_1)$ a un punto $(P_2,V_2)$ con una espansione reversibile, l'entropia cambia.
Se poi con la stessa trasformazione torno a $(P_1,V_1)$ allora la somma delle entropie $S_1 + S_2 =0$
In una irreversibile non ha senso affermare "Con la stessa trasformazione ritorno alla situazione iniziale", perché non è possibile farlo.
Ci tenevo a precisarlo, che non si sa mai.
"Zkeggia":
Il concetto di trasformazione reversibile, non va inteso come:
"Una trasformazione reversibile non genera entropia". Questo è FALSO.
Le trasformazioni reversibili sono quelle per cui si può tornare al punto di partenza senza modificare l'entropia dell'universo.
Per esempio una espansione libera è irreversibile perché per ritornare alla situazione iniziale bisogna compiere lavoro, quindi modificare l'entropia dell'universo.
Ma se io vado da un punto $(P_1,V_1)$ a un punto $(P_2,V_2)$ con una espansione reversibile, l'entropia cambia.
Se poi con la stessa trasformazione torno a $(P_1,V_1)$ allora la somma delle entropie $S_1 + S_2 =0$
In una irreversibile non ha senso affermare "Con la stessa trasformazione ritorno alla situazione iniziale", perché non è possibile farlo.
Ci tenevo a precisarlo, che non si sa mai.
Sisi questo lo sapevo. Ti ringrazio comunque per la precisazione.
scusate se mi "intrometto " in una discussione non aperta da me..
parlando di entropia..vorrei capire come posso determinare la vazione di entropia in un processo di trasmissione di calore(nel mio caso per conduzione)...devo considerare una macchina termica o frigorifera tra i due serbatoi??non ho davvero idea..
parlando di entropia..vorrei capire come posso determinare la vazione di entropia in un processo di trasmissione di calore(nel mio caso per conduzione)...devo considerare una macchina termica o frigorifera tra i due serbatoi??non ho davvero idea..
"star89":
scusate se mi "intrometto " in una discussione non aperta da me..
parlando di entropia..vorrei capire come posso determinare la vazione di entropia in un processo di trasmissione di calore(nel mio caso per conduzione)...devo considerare una macchina termica o frigorifera tra i due serbatoi??non ho davvero idea..
Hai 2 serbatoi, uno a temperatura $T_1$ e l'altro a temperatura $T_2$ con $T_1$ > $T_2$. Ciò implica che il serbatoio a temperatura $T_1$ cede calore($-Q$) al serbatoio $T_2$ che lo assorbe($+Q$).
Quindi hai:
$DeltaS_1 = frac{-Q}{T_1} $
$DeltaS_2 = frac{+Q}{T_2}$
$DeltaS_(universo) = DeltaS_1 + DeltaS_2 $
Il risultato è in accordo con il 2° principio della termodinamica.
Ciao
ok perfetto!grazie
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