Entropia, calcolo
Ciao, credo di avere un problema con il calcolo dei microstati e comprendere il paradosso di gibbs.
Nel corso di termodinamnica mi è stato spiegato il calcolo dei microstati esattamente come si legge qui: https://www.****.it/lezioni/fisica/t ... zmann.html
il punto dubbio è questo: mettiamo di avere una scatola con un setto e calcolare il microstato 1 pallina a sinistra e 5 a destra con n=6
Il calcolo formale ci dà: $(n!)/(k!(n-k)!)=6$, questo calcolo prende il caso in cui pongo una pallina a sinistra e 5 a destra, poi prendo un'altra delle 5 palline di destra e la metto a sinistra cambiandola con quella che avevo che sposto a destra e via dicendo: è chiaro che posso avere 6 configurazioni.
In questo calcolo sono palline idenntiche.
Ora, il paradosso di gibbs (che non ho studiato nel corso ma di cui ho letto ora e mi ha incuriosito) dice che il calcolo dei microstati in meccanica classica viene sbaglaito perché non si guarda il principio di indistinguibilità, nel senso che particelle anche indistinguibili vengono viste come distinguibili.
Ma quindi il calcolo del microstato di cui sopra è sbagliato? io infatti partivo da ipotesi di indistinguibilità e di fatto faccio sei scambi della prima pallina (che quindi tratto come distinguibile, perche se fosse indistinguibile come faccio a capire quale pallina sto mettendo a primo posto delle 6?).
Non ho quindi compreso se il calcolo 6 sia sbagliato, ed è questo che dice il paradosso o se il paradosso si riferisca ad altro.
Quello che mi lascia dubbioso è che l'indistinguibilita nel mio conteggio la considero, nel senso che la formula $(n!)/(k!(n-k)!)$ non considera in effetti l'ordine delle palline nelle varie sezioni della scatola, infatti
1|23456 = 1|34256 ecc ecc (su tutte le permutazioni a destra del setto, quindi è indistinguibile la permutazione di 23456, quindi ho una indistinguibilità negli scambi tra loro delle palline che stano in un certo settore)
però al contempo mi sembra anche che tenga conto di una discontinuità perché nel settore di sinistra io metto la pallina:
1|23456 poi 2|13456 poi 3|12456 ecc e per me 1 2 3 sono palline distinte
Appare quindi che tenga conto di una indistinguibilità, ma che al contempo non ne tenga conto per poter scambiare la prima pallina con le 5 rimanenti.
Mi sembra cioè di considerarle sia distinguibili che non, come funziona la faccenda?
Nel corso di termodinamnica mi è stato spiegato il calcolo dei microstati esattamente come si legge qui: https://www.****.it/lezioni/fisica/t ... zmann.html
il punto dubbio è questo: mettiamo di avere una scatola con un setto e calcolare il microstato 1 pallina a sinistra e 5 a destra con n=6
Il calcolo formale ci dà: $(n!)/(k!(n-k)!)=6$, questo calcolo prende il caso in cui pongo una pallina a sinistra e 5 a destra, poi prendo un'altra delle 5 palline di destra e la metto a sinistra cambiandola con quella che avevo che sposto a destra e via dicendo: è chiaro che posso avere 6 configurazioni.
In questo calcolo sono palline idenntiche.
Ora, il paradosso di gibbs (che non ho studiato nel corso ma di cui ho letto ora e mi ha incuriosito) dice che il calcolo dei microstati in meccanica classica viene sbaglaito perché non si guarda il principio di indistinguibilità, nel senso che particelle anche indistinguibili vengono viste come distinguibili.
Ma quindi il calcolo del microstato di cui sopra è sbagliato? io infatti partivo da ipotesi di indistinguibilità e di fatto faccio sei scambi della prima pallina (che quindi tratto come distinguibile, perche se fosse indistinguibile come faccio a capire quale pallina sto mettendo a primo posto delle 6?).
Non ho quindi compreso se il calcolo 6 sia sbagliato, ed è questo che dice il paradosso o se il paradosso si riferisca ad altro.
Quello che mi lascia dubbioso è che l'indistinguibilita nel mio conteggio la considero, nel senso che la formula $(n!)/(k!(n-k)!)$ non considera in effetti l'ordine delle palline nelle varie sezioni della scatola, infatti
1|23456 = 1|34256 ecc ecc (su tutte le permutazioni a destra del setto, quindi è indistinguibile la permutazione di 23456, quindi ho una indistinguibilità negli scambi tra loro delle palline che stano in un certo settore)
però al contempo mi sembra anche che tenga conto di una discontinuità perché nel settore di sinistra io metto la pallina:
1|23456 poi 2|13456 poi 3|12456 ecc e per me 1 2 3 sono palline distinte
Appare quindi che tenga conto di una indistinguibilità, ma che al contempo non ne tenga conto per poter scambiare la prima pallina con le 5 rimanenti.
Mi sembra cioè di considerarle sia distinguibili che non, come funziona la faccenda?
Risposte
Ciao e benvenuto. 
Nel calcolo del numero di microstati è corretto quello che hai fatto. In quel calcolo le particelle vanno considerate come distinte perché proprio quello determina il numero di microstati per quel macrostato, come hai osservato giustamente.
Il paradosso di Gibbs non credo c'entri in questo discorso .
Nel calcolo del numero di microstati è corretto quello che hai fatto. In quel calcolo le particelle vanno considerate come distinte perché proprio quello determina il numero di microstati per quel macrostato, come hai osservato giustamente.
Il paradosso di Gibbs non credo c'entri in questo discorso .
Ciao Faussone, grazie mille per l'aiuto e il benvenuto.
Richiamo alcuni argomenti perché mi preme capire a fondo, avendomi incuriosito quel calcolo:
A- direi perfetto sul paradosso, purtroppo ne avevo letto solo a livello divulgativo e diceva che il problema del calcolo dell'entropia via microstati in meccanica classica portava problemi in meccanica statistica per via della indistinguibilità delle particelle. E siccome in quel calcolo visto nel corso di termodinamica base (a fisica) in effetti sussisteva una distinguibilità (perché per mettere nel primo settore una particella e poi un'altra ecc ecc scambiandole devo distinguerle) allora credevo che quel calcolo fosse errato leggendo appunto del paradosso. Però mi pare di comprendere che non è così, cioè il paradosso non si rifaceva a casi come questo
B- L'altra cosa di cui mi sono accorto a mente fredda rileggendo oggi è che ho detto una cavolata sulla seconda parte del mio primo messaggio, prendiamo sempre il caso di n=6 ma che le k particelle nel settore a sinistra siano 3 e destra 3. quindi avrei (numerando le aprticelle da 1 a 6) casi del tipo 123|456, 143|256 ecc...
E dicevo ho un duplice trattamento di distinguibilità e indistinguibilità nel senso che: opero una distinguibilità per poter scegliere 123, 143 cioè le particelle che stanno a sinistra; però intravedevo una indistinguibilità perché dicevo avere 123 è uguale ad avere 132 o 321 nel settore sinistro: ma questa non è una indistinguibilità, in realtà è solo dovuto al fatto che non mi serve un ordinamente, ed è abbastanza ovvio prché ho un settore sinistro di scatola e l'ordine delle palline non mi interessa in quel settore, esse si muovono non hanno intrinsecamente alcun ordiamento. Insomma questo fatto non è una indistinguibilità ma un disinteresse all'ordinamento.
Fin qua ora mi pare tornare tutto (?) spero di non aver detto cacchiate
, nel caso dimmelo pure. C'e però un'ultima parte che mi incuriosisce, è più sul calcolo combinatorio che altro, ma dato che si rifà a questo argomento applicato lo lascio qui[nota]non è un vero OT[/nota]:
C- Richiamando la formula già menzionata $(n!)/(k!(n-k)!)$ questa a livello di calcolo combinatorio ci permette di dire presi n elementi in quanti modi posso prendere questi n elementi k volte e in quante "disposizioni", insomma detto forse meglio risponde alla domanda se prendi un sottonsieme k di elementi di n, quanti sottoinsiemi puoi avere SENZA contare ordini diversi? (cioè nel caso due sottoinsiemi abbiano gli stessi elementi solo ordinati in modo diverso essi valgono 1 nel conteggio dei vari k possibili).
Detto questo, io in realtà nel caso specifico voglio qualcosa di diverso ho 6 elementi e ne voglio disporre che so 2 a sinistra e 4 a destra, quindi in realtà ho due sottonsiemi: k e (n-k), tuttavia nella formula matematica (n-k) non è compendiato come sottoinsieme, nel senso che la formula di per sé risponde solo alla domanda su quante k sono possibili. La possibilità di usare quella formula nel contesto fisico delle palline nella scatola mi pare data dal fatto che identifico "settore a sinistra di due oggetti" con "sottoinsieme k=2", da questo trovo in automatico l'altro sottoinsieme (quello destro) che nella formula delle combinazioni semplici di fatto non è mai menzionato, ma in sostanza è il sottoinsieme restante, cioè appunto (n-k). Cioè se ho ben compreso l'applicabilità della formula discende da questa deduzione?
Questa intuizione è avvallata dal fatto che quando io voglio invece distinguere i k con stessi oggetti ma in ordini diversi uso $(n!)/((n-k)!)$, ma va notato che questa formula se ne infischia di (n-k) se abbia ordine o meno, perché la formule delle disposizioni e combinazioni non guardano mai l'insieme (n-k) restante. Questa risponde solo alla domanda: quanti raggruppamenti di k elementi pescati da n sono possibili mettendo la clausola che ordini diversi contano come raggruppamento diverso, ma ordini diversi su (n-k) -insieme restante- non ci tange.
Ora, domanda di curiosità se ho detto giusto quanto qui sopra:
prendiamo la stessa situazione n palline, k le voglio mettere nella sottoscatola di sinistra (settore sinistro), però mi interessano due condizioni aggiunive: un ordinamento sul lato sinistro e anche voglio contare l'ordinamento sul lato destro.
Per rispondere alla prima richiesta mi pare semplice: prendo $(n!)/(k!(n-k)!)$ che non calcola i riordini su k e li moltiplico per le possibili permutazioni su k quindi avrei: $(n!)/(k!(n-k)!)*n!$.
Ma come faccio a dire ora che dato xxx|456 voglio che sia per me uguale a xxx|654=xxx|546 ecc? per tutti i casi? Basta fare $(n!)/(k!(n-k)!)*n!*(n-k)!$?
Spero di aver centrato i vari punti, fammi sapere!
Richiamo alcuni argomenti perché mi preme capire a fondo, avendomi incuriosito quel calcolo:
A- direi perfetto sul paradosso, purtroppo ne avevo letto solo a livello divulgativo e diceva che il problema del calcolo dell'entropia via microstati in meccanica classica portava problemi in meccanica statistica per via della indistinguibilità delle particelle. E siccome in quel calcolo visto nel corso di termodinamica base (a fisica) in effetti sussisteva una distinguibilità (perché per mettere nel primo settore una particella e poi un'altra ecc ecc scambiandole devo distinguerle) allora credevo che quel calcolo fosse errato leggendo appunto del paradosso. Però mi pare di comprendere che non è così, cioè il paradosso non si rifaceva a casi come questo
B- L'altra cosa di cui mi sono accorto a mente fredda rileggendo oggi è che ho detto una cavolata sulla seconda parte del mio primo messaggio, prendiamo sempre il caso di n=6 ma che le k particelle nel settore a sinistra siano 3 e destra 3. quindi avrei (numerando le aprticelle da 1 a 6) casi del tipo 123|456, 143|256 ecc...
E dicevo ho un duplice trattamento di distinguibilità e indistinguibilità nel senso che: opero una distinguibilità per poter scegliere 123, 143 cioè le particelle che stanno a sinistra; però intravedevo una indistinguibilità perché dicevo avere 123 è uguale ad avere 132 o 321 nel settore sinistro: ma questa non è una indistinguibilità, in realtà è solo dovuto al fatto che non mi serve un ordinamente, ed è abbastanza ovvio prché ho un settore sinistro di scatola e l'ordine delle palline non mi interessa in quel settore, esse si muovono non hanno intrinsecamente alcun ordiamento. Insomma questo fatto non è una indistinguibilità ma un disinteresse all'ordinamento.
Fin qua ora mi pare tornare tutto (?) spero di non aver detto cacchiate
, nel caso dimmelo pure. C'e però un'ultima parte che mi incuriosisce, è più sul calcolo combinatorio che altro, ma dato che si rifà a questo argomento applicato lo lascio qui[nota]non è un vero OT[/nota]:C- Richiamando la formula già menzionata $(n!)/(k!(n-k)!)$ questa a livello di calcolo combinatorio ci permette di dire presi n elementi in quanti modi posso prendere questi n elementi k volte e in quante "disposizioni", insomma detto forse meglio risponde alla domanda se prendi un sottonsieme k di elementi di n, quanti sottoinsiemi puoi avere SENZA contare ordini diversi? (cioè nel caso due sottoinsiemi abbiano gli stessi elementi solo ordinati in modo diverso essi valgono 1 nel conteggio dei vari k possibili).
Detto questo, io in realtà nel caso specifico voglio qualcosa di diverso ho 6 elementi e ne voglio disporre che so 2 a sinistra e 4 a destra, quindi in realtà ho due sottonsiemi: k e (n-k), tuttavia nella formula matematica (n-k) non è compendiato come sottoinsieme, nel senso che la formula di per sé risponde solo alla domanda su quante k sono possibili. La possibilità di usare quella formula nel contesto fisico delle palline nella scatola mi pare data dal fatto che identifico "settore a sinistra di due oggetti" con "sottoinsieme k=2", da questo trovo in automatico l'altro sottoinsieme (quello destro) che nella formula delle combinazioni semplici di fatto non è mai menzionato, ma in sostanza è il sottoinsieme restante, cioè appunto (n-k). Cioè se ho ben compreso l'applicabilità della formula discende da questa deduzione?
Questa intuizione è avvallata dal fatto che quando io voglio invece distinguere i k con stessi oggetti ma in ordini diversi uso $(n!)/((n-k)!)$, ma va notato che questa formula se ne infischia di (n-k) se abbia ordine o meno, perché la formule delle disposizioni e combinazioni non guardano mai l'insieme (n-k) restante. Questa risponde solo alla domanda: quanti raggruppamenti di k elementi pescati da n sono possibili mettendo la clausola che ordini diversi contano come raggruppamento diverso, ma ordini diversi su (n-k) -insieme restante- non ci tange.
Ora, domanda di curiosità se ho detto giusto quanto qui sopra:
prendiamo la stessa situazione n palline, k le voglio mettere nella sottoscatola di sinistra (settore sinistro), però mi interessano due condizioni aggiunive: un ordinamento sul lato sinistro e anche voglio contare l'ordinamento sul lato destro.
Per rispondere alla prima richiesta mi pare semplice: prendo $(n!)/(k!(n-k)!)$ che non calcola i riordini su k e li moltiplico per le possibili permutazioni su k quindi avrei: $(n!)/(k!(n-k)!)*n!$.
Ma come faccio a dire ora che dato xxx|456 voglio che sia per me uguale a xxx|654=xxx|546 ecc? per tutti i casi? Basta fare $(n!)/(k!(n-k)!)*n!*(n-k)!$?
Spero di aver centrato i vari punti, fammi sapere!
"cactmandu":
A- direi perfetto sul paradosso, purtroppo ne avevo letto solo a livello divulgativo e diceva che il problema del calcolo dell'entropia via microstati in meccanica classica portava problemi in meccanica statistica per via della indistinguibilità delle particelle. E siccome in quel calcolo visto nel corso di termodinamica base (a fisica) in effetti sussisteva una distinguibilità (perché per mettere nel primo settore una particella e poi un'altra ecc ecc scambiandole devo distinguerle) allora credevo che quel calcolo fosse errato leggendo appunto del paradosso. Però mi pare di comprendere che non è così, cioè il paradosso non si rifaceva a casi come questo
Sul paradosso di Gibbs ne so poco e nulla, ma da quello che ho capito io non c'entra con questo discorso sul contare i numeri di microstati di un macrostato.
"cactmandu":
B- L'altra cosa di cui mi sono accorto a mente fredda rileggendo oggi è che ho detto una cavolata sulla seconda parte del mio primo messaggio, prendiamo sempre il caso di n=6 ma che le k particelle nel settore a sinistra siano 3 e destra 3. quindi avrei (numerando le aprticelle da 1 a 6) casi del tipo 123|456, 143|256 ecc...
E dicevo ho un duplice trattamento di distinguibilità e indistinguibilità nel senso che: opero una distinguibilità per poter scegliere 123, 143 cioè le particelle che stanno a sinistra; però intravedevo una indistinguibilità perché dicevo avere 123 è uguale ad avere 132 o 321 nel settore sinistro: ma questa non è una indistinguibilità, in realtà è solo dovuto al fatto che non mi serve un ordinamente, ed è abbastanza ovvio prché ho un settore sinistro di scatola e l'ordine delle palline non mi interessa in quel settore, esse si muovono non hanno intrinsecamente alcun ordiamento. Insomma questo fatto non è una indistinguibilità ma un disinteresse all'ordinamento.
Sì mi pare tutto corretto.
"cactmandu":
C- Richiamando la formula già menzionata $(n!)/(k!(n-k)!)$ questa a livello di calcolo combinatorio ci permette di dire presi n elementi in quanti modi posso prendere questi n elementi k volte e in quante "disposizioni", insomma detto forse meglio risponde alla domanda se prendi un sottonsieme k di elementi di n, quanti sottoinsiemi puoi avere SENZA contare ordini diversi? (cioè nel caso due sottoinsiemi abbiano gli stessi elementi solo ordinati in modo diverso essi valgono 1 nel conteggio dei vari k possibili).
Detto questo, io in realtà nel caso specifico voglio qualcosa di diverso ho 6 elementi e ne voglio disporre che so 2 a sinistra e 4 a destra, quindi in realtà ho due sottonsiemi: k e (n-k), tuttavia nella formula matematica (n-k) non è compendiato come sottoinsieme, nel senso che la formula di per sé risponde solo alla domanda su quante k sono possibili. La possibilità di usare quella formula nel contesto fisico delle palline nella scatola mi pare data dal fatto che identifico "settore a sinistra di due oggetti" con "sottoinsieme k=2", da questo trovo in automatico l'altro sottoinsieme (quello destro) che nella formula delle combinazioni semplici di fatto non è mai menzionato, ma in sostanza è il sottoinsieme restante, cioè appunto (n-k). Cioè se ho ben compreso l'applicabilità della formula discende da questa deduzione?
Questa intuizione è avvallata dal fatto che quando io voglio invece distinguere i k con stessi oggetti ma in ordini diversi uso $(n!)/((n-k)!)$, ma va notato che questa formula se ne infischia di (n-k) se abbia ordine o meno, perché la formule delle disposizioni e combinazioni non guardano mai l'insieme (n-k) restante. Questa risponde solo alla domanda: quanti raggruppamenti di k elementi pescati da n sono possibili mettendo la clausola che ordini diversi contano come raggruppamento diverso, ma ordini diversi su (n-k) -insieme restante- non ci tange.
Tutto giusto, d'altronde se vuoi contare come puoi disporre 10 elementi 4 a destra e 6 a sinistra, ti basta contare o in quanti modi puoi prendere 4 oggetti da 10 oggetti (senza che i 4 siano distinti) o in quanti modi da 10 oggetti puoi prenderne 6 (senza che i 6 siano distinti), la formula del coefficiente binomiale è infatti in tal senso simmetrica.
"cactmandu":
Ora, domanda di curiosità se ho detto giusto quanto qui sopra:
prendiamo la stessa situazione n palline, k le voglio mettere nella sottoscatola di sinistra (settore sinistro), però mi interessano due condizioni aggiunive: un ordinamento sul lato sinistro e anche voglio contare l'ordinamento sul lato destro.
Non ho capito bene.
Puoi specificare meglio i termini con un esempio?
Grazie mille per aver letto il messaggione 
voglio prendere 6 oggetti (che considero uguali nel riordino) dei 10 è come prenderne 4 dei 10 e valutare quanti casi hossu questi 4. Quindi la formula funziona sia ponendo k=4 o k=6.
Mentre $(n!)/((n-k)!)$ perde questa simmetria, nel senso che questa formula mi dice che se ho 10 oggetti, posso prenderne 4 in tot modi (distinti anche per riordinamento) ma dei restanti 6 oggetti non ci frega, cioè posso lasciarli anche incasinati a piacere, mi interessa solo l'ordine sui primi 4.
Da qui nasceva la domanda che poi è quella sotto: ma se io voglio considerare 10 oggetti e metterli in due scatole dx e sx in mdo che siano contati i riordini distinti sia dei 4 a destra che dei 4 a sinistra come faccio? (vedi sotto)
mi spiego meglio:
vista l'asimmetria di cui sopra della $(n!)/((n-k)!)$ (*) quello che volevo fare era contare di 10 oggetti divisi in 4 a sinistra e 6 a destra nel caso in cui voglio vedere in quanti modi posso prendere i k=4 oggetti (anche con riordinamenti) e in tal caso sono: $(n!)/(k!(n-k)!)*k!$ (cioè tolgo i casi del riodrino e ottengo appunto la formula (*)) con l'aggiunta di vedere contestualmente in quanti modi posso prendere i 6 oggetti a desra "uniti" ai casi sui 4 come faccio? L'idea che mi era venuta era di calcolare $(k!)/(k!(n-k)!)*k!*(n-k)!$
E ripensandoci potrebbe essere giusta perché in fin dei conti dire presi 10 oggetti in quanti modi posso riordinarne 4 di questi (contando anche casi con ordini diversi), e poi dire dati tutti i casi in cui posso prendere 4 oggetti dei restanti 6 oggetti quanti casi con ordini anche diversi posso avere in totale è come dire: quanti riordinamenti sono possibili di 10 oggetti? che sono 10! Insomma sembra tornare, sempre che mi sia spiegato meglio (spero di si correggendo un typo)
EDIT: la domanda in sostanza era se non si capisse, dati 10 oggetti che divido in 4 a sinistra e 6 a destra, vorrei contare quanti k=4 casi posso prendere da questi e metterli a sinistra (contando anche i casi riordinati) con l'aggiunta su questi casi di quanti restanti casi n-k posso mettere a destra (contando però i casi riordinati anche come distinti) cosa che $(n!)/((n-k)!)$ non faceva, dato che contava solo l'ordine sui k e nn sui rimanenti. Ma questa domanda è, credo, banalmente: quani riorinamenti sono possibili su 10 elementi? No?
Tutto giusto, d'altronde se vuoi contare come puoi disporre 10 elementi 4 a destra e 6 a sinistra, ti basta contare o in quanti modi puoi prendere 4 oggetti da 10 oggetti (senza che i 4 siano distinti) o in quanti modi da 10 oggetti puoi prenderne 6 (senza che i 6 siano distinti), la formula del coefficiente binomiale è infatti in tal senso simmetrica.sì esatto, in un certo senso mi stupiva che in effetti la formula del coefficiente binomiale $(n!)/(k!(n-k)!)$ si prendesse la briga di essere simmetrica, nel senso che posso dire in due modi:
voglio prendere 6 oggetti (che considero uguali nel riordino) dei 10 è come prenderne 4 dei 10 e valutare quanti casi hossu questi 4. Quindi la formula funziona sia ponendo k=4 o k=6.
Mentre $(n!)/((n-k)!)$ perde questa simmetria, nel senso che questa formula mi dice che se ho 10 oggetti, posso prenderne 4 in tot modi (distinti anche per riordinamento) ma dei restanti 6 oggetti non ci frega, cioè posso lasciarli anche incasinati a piacere, mi interessa solo l'ordine sui primi 4.
Da qui nasceva la domanda che poi è quella sotto: ma se io voglio considerare 10 oggetti e metterli in due scatole dx e sx in mdo che siano contati i riordini distinti sia dei 4 a destra che dei 4 a sinistra come faccio? (vedi sotto)
Non ho capito bene.sì, scusa
Puoi specificare meglio i termini con un esempio?
mi spiego meglio:vista l'asimmetria di cui sopra della $(n!)/((n-k)!)$ (*) quello che volevo fare era contare di 10 oggetti divisi in 4 a sinistra e 6 a destra nel caso in cui voglio vedere in quanti modi posso prendere i k=4 oggetti (anche con riordinamenti) e in tal caso sono: $(n!)/(k!(n-k)!)*k!$ (cioè tolgo i casi del riodrino e ottengo appunto la formula (*)) con l'aggiunta di vedere contestualmente in quanti modi posso prendere i 6 oggetti a desra "uniti" ai casi sui 4 come faccio? L'idea che mi era venuta era di calcolare $(k!)/(k!(n-k)!)*k!*(n-k)!$
E ripensandoci potrebbe essere giusta perché in fin dei conti dire presi 10 oggetti in quanti modi posso riordinarne 4 di questi (contando anche casi con ordini diversi), e poi dire dati tutti i casi in cui posso prendere 4 oggetti dei restanti 6 oggetti quanti casi con ordini anche diversi posso avere in totale è come dire: quanti riordinamenti sono possibili di 10 oggetti? che sono 10! Insomma sembra tornare, sempre che mi sia spiegato meglio
(spero di si correggendo un typo)EDIT: la domanda in sostanza era se non si capisse, dati 10 oggetti che divido in 4 a sinistra e 6 a destra, vorrei contare quanti k=4 casi posso prendere da questi e metterli a sinistra (contando anche i casi riordinati) con l'aggiunta su questi casi di quanti restanti casi n-k posso mettere a destra (contando però i casi riordinati anche come distinti) cosa che $(n!)/((n-k)!)$ non faceva, dato che contava solo l'ordine sui k e nn sui rimanenti. Ma questa domanda è, credo, banalmente: quani riorinamenti sono possibili su 10 elementi? No?
"cactmandu":
Non ho quindi compreso se il calcolo 6 sia sbagliato, ed è questo che dice il paradosso o se il paradosso si riferisca ad altro.
Si riferisce anche a questo. Se le palline sono indistinguibili esiste un solo modo di porre $n_1$ palline a sinistra ed $n_2=n-n_1$ palline a destra, quali che siano $n_1$ ed $n_2$.
Lasciando il mio ultimo post per @Faussone lì, perché comunque è una domanda che mi interessa. Ma credo non abbia ancora avuto modo di leggere.
ne approfitto per rispondere e ringraziarti @Noodles per l'intervento.
Volevo quindi chiederti una cosa su quell'argomento che hai quotato, che esula dal discorso dell'ultimo messaggio, ma mi interessa comunque.
Se ho ben capito quindi il calcolo dei microstati classici $(n!)/(k!(n-1)!)$ per particelle identiche è sbaglaito, ad esempio il caso di n=6 e k=1 palline non verrebbe più 6 ma solo 1.
Il punto è che quando mi era stata introdotta la formula (così come in quel link) parlava che $(n!)/(k!(n-1)!)$ valeva per particelle indistinguibili, nel senso che i vari microstati (i 6 microstati del mio esempio) contribuiscono tutti al calcolo del macrostato una pallina a sinistra e 5 a destra. La spiegazione era pressapoco questa: hai 6 microstati proprio perché tutti sono tra uguali/indistinguibili infatti mettendo una alla volta le sei palline a sinistra hai probabilità[nota](non è una probabilità in senso stretto ma diciamo termodinamica)[/nota] 6 di avere quel microstato. Nel senso che essendo tutti indistinguibili hai 6 modi perché si caratterizzi quello stato, l'idea era questa.
Invece non è così e il calcolo sarebbe errato perché se ho ben capito non si considera del tutto e realmente una indistinguibilità con quel processo di conteggio: questo è il paradosso di gibbs.
In poche parole dicono sono 6 microstati perché indistinguibili, ma non è vero
: è 1.
Volevo solo chiederti se fosse corretto quello che dico. Mi sembra di aver capito così per ora.
ne approfitto per rispondere e ringraziarti @Noodles per l'intervento.
Volevo quindi chiederti una cosa su quell'argomento che hai quotato, che esula dal discorso dell'ultimo messaggio, ma mi interessa comunque.
Se ho ben capito quindi il calcolo dei microstati classici $(n!)/(k!(n-1)!)$ per particelle identiche è sbaglaito, ad esempio il caso di n=6 e k=1 palline non verrebbe più 6 ma solo 1.
Il punto è che quando mi era stata introdotta la formula (così come in quel link) parlava che $(n!)/(k!(n-1)!)$ valeva per particelle indistinguibili, nel senso che i vari microstati (i 6 microstati del mio esempio) contribuiscono tutti al calcolo del macrostato una pallina a sinistra e 5 a destra. La spiegazione era pressapoco questa: hai 6 microstati proprio perché tutti sono tra uguali/indistinguibili infatti mettendo una alla volta le sei palline a sinistra hai probabilità[nota](non è una probabilità in senso stretto ma diciamo termodinamica)[/nota] 6 di avere quel microstato. Nel senso che essendo tutti indistinguibili hai 6 modi perché si caratterizzi quello stato, l'idea era questa.
Invece non è così e il calcolo sarebbe errato perché se ho ben capito non si considera del tutto e realmente una indistinguibilità con quel processo di conteggio: questo è il paradosso di gibbs.
In poche parole dicono sono 6 microstati perché indistinguibili, ma non è vero
: è 1.Volevo solo chiederti se fosse corretto quello che dico. Mi sembra di aver capito così per ora.
Premesso che un insieme di particelle identiche possono comunque essere distinguibili o indistinguibili:
Se le particelle identiche sono distinguibili è corretto, se sono indistinguibili è sbagliato.
Quella formula vale per particelle identiche distinguibili. Non vorrei che tu stessi confondendo il concetto di particelle identiche distinguibili o indistinguibili con il concetto di molteplici microstati associati al medesimo macrostato. Poichè le proprietà termodinamiche dipendono dal macrostato, sotto l'aspetto macroscopico i molteplci microstati possono essere considerati equivalenti.
"cactmandu":
... il calcolo dei microstati classici $(n!)/(k!(n-k)!)$ per particelle identiche è sbaglaito, ad esempio il caso di n=6 e k=1 palline non verrebbe più 6 ma solo 1.
Se le particelle identiche sono distinguibili è corretto, se sono indistinguibili è sbagliato.
"cactmandu":
Il punto è che quando mi era stata introdotta la formula (così come in quel link) parlava che $(n!)/(k!(n-k)!)$ valeva per particelle indistinguibili, nel senso che i vari microstati (i 6 microstati del mio esempio) contribuiscono tutti al calcolo del macrostato una pallina a sinistra e 5 a destra.
Quella formula vale per particelle identiche distinguibili. Non vorrei che tu stessi confondendo il concetto di particelle identiche distinguibili o indistinguibili con il concetto di molteplici microstati associati al medesimo macrostato. Poichè le proprietà termodinamiche dipendono dal macrostato, sotto l'aspetto macroscopico i molteplci microstati possono essere considerati equivalenti.
Sì, credo tu ci abbia visto giusto, avevo un po' di confusione sui termini: per me identiche era indistinguibili, perché se una cosa è identica non posso distinguerla (nel suo comportmento) mi dicevo. Ma erravo: in tal caso dicevo tutti i microstati che compongono quel macrostato sono identici, nel senso che se pongo la pallina uno o due a sinistra è identico/uguale il comportamento dei due microstati. Quindi per questa identicità (che leggevo come indistinguibilità) ho diversi stati probabili (il 6).
Invece mi par di comprendere che:
- identiche vuol dire che sono uguali le palline ma posso distinguerle (cioè numerarle diciamo così)
- due particelle identiche possono essere appunto distinguibili (numerate) oppure indistinguibili, nel senso che ne confondo l'identità, per me diventan la stessa cosa essendo indistinguibili (on più numerabili).
Questi due concetti son diversi, infatti l'identicità fa sì che possa avere 6 microstati, ma ne ho sei proprio perché sono distinguibili, cioè metto una alla volta palline diverse a sinistra. Tuttavia per il macrostato questi 6 casi sono identici (diciamo "indistinguibili"[nota]forzo un po' il termine per far capire che qui era uno dei punti in cui mi confondevo[/nota] per quel dato macrostato nel senso che sono equivalenti, è qui che confondevo il concetto). Siccome sono equivalenti per quel macrostato concorrono tutte con una probabilità aggiuntiva al fatto che si realizzi.
L'indistinguibilità, intesa ora in modo corretto, invece mi collassa quei 6 casi in uno solo, perché non sono solo identiche ma proprio indistinguiili, che è una proprietà aggiuntiva e non un sinonimo.
Mi pare tornare ora, spero sia giusto
D'altra parte fatico comunque a comprendere a fondo l'indistinguibilità, voglio dire, se io ho due palline indistinguibili è una mia pecca non saperle riconoscere però loro restano due, e per questo posso comunque porre a sinistra prima una e poi l'altra, perché mai dovrebbero comunque dare un solo microstato e non 6? (se sono due palline non sono una pallina). E' una mia incapacità non distinguerle, mica del sistema.
Invece mi par di comprendere che:
- identiche vuol dire che sono uguali le palline ma posso distinguerle (cioè numerarle diciamo così)
- due particelle identiche possono essere appunto distinguibili (numerate) oppure indistinguibili, nel senso che ne confondo l'identità, per me diventan la stessa cosa essendo indistinguibili (on più numerabili).
Questi due concetti son diversi, infatti l'identicità fa sì che possa avere 6 microstati, ma ne ho sei proprio perché sono distinguibili, cioè metto una alla volta palline diverse a sinistra. Tuttavia per il macrostato questi 6 casi sono identici (diciamo "indistinguibili"[nota]forzo un po' il termine per far capire che qui era uno dei punti in cui mi confondevo[/nota] per quel dato macrostato nel senso che sono equivalenti, è qui che confondevo il concetto). Siccome sono equivalenti per quel macrostato concorrono tutte con una probabilità aggiuntiva al fatto che si realizzi.
L'indistinguibilità, intesa ora in modo corretto, invece mi collassa quei 6 casi in uno solo, perché non sono solo identiche ma proprio indistinguiili, che è una proprietà aggiuntiva e non un sinonimo.
Mi pare tornare ora, spero sia giusto
D'altra parte fatico comunque a comprendere a fondo l'indistinguibilità, voglio dire, se io ho due palline indistinguibili è una mia pecca non saperle riconoscere però loro restano due, e per questo posso comunque porre a sinistra prima una e poi l'altra, perché mai dovrebbero comunque dare un solo microstato e non 6? (se sono due palline non sono una pallina). E' una mia incapacità non distinguerle, mica del sistema.
Tutto giusto.
Si tratta di un limite naturale dovuto al principio di indeterminazione. Ad ogni modo, le due statistiche quantistiche, sotto opportune ipotesi, tendono alla statistica classica.
"cactmandu":
D'altra parte fatico comunque a comprendere a fondo l'indistinguibilità ...
Si tratta di un limite naturale dovuto al principio di indeterminazione. Ad ogni modo, le due statistiche quantistiche, sotto opportune ipotesi, tendono alla statistica classica.
Grazie mille, devo dire che ero proprio caduto in fallo su questi concetti.
Quindi distinguibilità e indistinguibilità sono non tanto una mia pecca, ma che non posso diciamo numerarle proprio perché intrinsecamente indistinguibili nel sistema, ovvero in altre parole detto, per il sistema stesso sono la "stessa particella". Curiosa questa cosa, e anche complessa per me da immaginare.
Rimane direi solo l'ultima curiosità sul calcolo che dicevo a Faussone in questo post: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 3#p8680157 spero passi a leggerlo[nota]o chiunque altro abbia voglia di cimentarsici[/nota] avendo parlato d'altro, ma sempre inerente a questi dubbi. Direi che chiuso quello ho capito "tutto" (magari).
Quindi distinguibilità e indistinguibilità sono non tanto una mia pecca, ma che non posso diciamo numerarle proprio perché intrinsecamente indistinguibili nel sistema, ovvero in altre parole detto, per il sistema stesso sono la "stessa particella". Curiosa questa cosa, e anche complessa per me da immaginare.
Rimane direi solo l'ultima curiosità sul calcolo che dicevo a Faussone in questo post: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 3#p8680157 spero passi a leggerlo[nota]o chiunque altro abbia voglia di cimentarsici[/nota] avendo parlato d'altro, ma sempre inerente a questi dubbi. Direi che chiuso quello ho capito "tutto" (magari
).
"cactmandu":
Rimane direi solo l'ultima curiosità sul calcolo che dicevo a Faussone in questo post: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 3#p8680157 spero passi a leggerlo[nota]o chiunque altro abbia voglia di cimentarsici[/nota] avendo parlato d'altro, ma sempre inerente a questi dubbi. Direi che chiuso quello ho capito "tutto" (magari
Non passavo da qui da un poco, quindi mi scuso per il ritardo.
Nonostante il ritardo però, mi spiace, ma continuo a non capire cosa desideri leggendo lì.
Mi limito a sottolineare (se fosse questo che chiedi, ma non sono sicuro) che se hai 10 oggetti tutti diversi, e vuoi contare in quanti modi puoi disporne 4 in una scatola e 6 in un'altra scatola, (i 4 da una parte e i 6 dall'altra ovviamente non importa in che ordine sono presi evidentemente), allora la formula da utilizzare è quella binomiale che conta in quanti modi puoi selezionare 4 oggetti da 10 oggetti diversi, che è equivalente a contare in quanti modi puoi selezionare 6 oggetti da 10 oggetti diversi (visto che ogni volta che prendi 6 oggetti ne restano 4 dall'altra parte è equivalente a chiedere appunto in quanti modi puoi prendere 4 oggetti da 10).
Non importa per il ritardo e ti ringraizo per la rispsota . Certo quello che hai detto mi è chiaro.
Quello che volevo analizzare in realtà era molto semplice, prendendo la $(n!)/((n-k)!)$ (*) quello che volevo dire è quanto segue: questa formula ci dice in quanti modi ordinati posso disporre k oggetti, però se ne infischiava dei modi in cui posso disporre gli $n-k$ oggetti che rimangono dopo aver contato quanti ordini k posso avere. Sempre pensando alla scatola bipartita essa mi dice che mi importa sapere in che modi ordinare k particelle delle n totali a sinistra, ma a destra puoi porle come vuoi.
Infatti a sinstra ordinare a b c d è diverso da ordinare b a c d. Però a destra posso metterle come voglio.
Quindi mi chiedevo, ma se voglio una formula che mi dice in quanti modi posso ordinare le k palline a sinistra assieme alle n-k a destra (però contando come ordini distinti quelle a destra oltre quelle a sinistra, cioè se a destra avessi a b c d e f lo voglio distinto da a c b d e f, cosa che la formula (*) non fa) che formula uso?
. Certo quello che hai detto mi è chiaro.Quello che volevo analizzare in realtà era molto semplice, prendendo la $(n!)/((n-k)!)$ (*) quello che volevo dire è quanto segue: questa formula ci dice in quanti modi ordinati posso disporre k oggetti, però se ne infischiava dei modi in cui posso disporre gli $n-k$ oggetti che rimangono dopo aver contato quanti ordini k posso avere. Sempre pensando alla scatola bipartita essa mi dice che mi importa sapere in che modi ordinare k particelle delle n totali a sinistra, ma a destra puoi porle come vuoi.
Infatti a sinstra ordinare a b c d è diverso da ordinare b a c d. Però a destra posso metterle come voglio.
Quindi mi chiedevo, ma se voglio una formula che mi dice in quanti modi posso ordinare le k palline a sinistra assieme alle n-k a destra (però contando come ordini distinti quelle a destra oltre quelle a sinistra, cioè se a destra avessi a b c d e f lo voglio distinto da a c b d e f, cosa che la formula (*) non fa) che formula uso?
"cactmandu":
Quindi mi chiedevo, ma se voglio una formula che mi dice in quanti modi posso ordinare le k palline a sinistra assieme alle n-k a destra (però contando come ordini distinti quelle a destra oltre quelle a sinistra, cioè se a destra avessi a b c d e f lo voglio distinto da a c b d e f, cosa che la formula (*) non fa) che formula uso?
$n!$, infatti se gli oggetti sono ordinati sia a sinistra che a destra, alla fine ti stai chiedendo in quanti modi puoi ordinare $n$ oggetti diversi.
Ti ringrazio molto. Era proprio quello che pensavo e avevo cercato di abbozzare in quel link (cioè la mia risposta) ma non ero stato chiaro. Però, almeno, ho conferma che fosse giusto, per quanto non fossi riuscito a spiegarmi .
In un certo senso volevo partire da quella binomiale e dire: "mi levo (moltiplicandole)" le restizioni sugli ordini a sinisrra che sono k! e a destra che sono (n-k)! cioè si avrà: $(k!)/(k!(n-k)!)*k!*(n-k)! =n!$. L'idea era questa.
Grazie per il tuo aiutone.
.In un certo senso volevo partire da quella binomiale e dire: "mi levo (moltiplicandole)" le restizioni sugli ordini a sinisrra che sono k! e a destra che sono (n-k)! cioè si avrà: $(k!)/(k!(n-k)!)*k!*(n-k)! =n!$. L'idea era questa.
Grazie per il tuo aiutone.
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