Ensemble canonico
Considerare un gas classico di N particelle libere distinguibili con Hamiltoniana $ H = sqrt (p^2c^2 + m^2c^4)$, calcolare nel limite relativistico H $\simeq$ (non funziona sotto il simbolo..) pc la funzione di partizione canonica e l'energia libera. A questo punto:
- Calcolare l'energia interna U ed il calore specifico a volume costante $c_v$
- Derivare l'equazione di stato pv= U/3
Allora per prima cosa mi sono ricavata la funzione di partizione per una singola particella che sarebbe:
$ Z_1 $= $ int_()^() d^3p e ^(-beta * pc) $
da qui mi ricavo quella canonica che sarebbe $(Z_1)^N / (N!)$
Poi l'energia interna ed il calore specifico sono facili da calcolare, ma è comunque giusto? Poi quell'integrale come lo risolvo ?
- Calcolare l'energia interna U ed il calore specifico a volume costante $c_v$
- Derivare l'equazione di stato pv= U/3
Allora per prima cosa mi sono ricavata la funzione di partizione per una singola particella che sarebbe:
$ Z_1 $= $ int_()^() d^3p e ^(-beta * pc) $
da qui mi ricavo quella canonica che sarebbe $(Z_1)^N / (N!)$
Poi l'energia interna ed il calore specifico sono facili da calcolare, ma è comunque giusto? Poi quell'integrale come lo risolvo ?
Risposte
I miei omaggi, Daenerys Targaryen
è un onore per me poterti offrire il mio umile aiuto, o Khaleesi, nata dalla tempesta, madre dei draghi, colei che riconquisterà il trono di spade, riporterà la pace nei sette regni e...
ok, sorry, sono un nerd
procediamo:
mmm quasi, devi mettere un fattore $1/h^3$ davanti all’integrale (così da adimensionalizzare $Z$, in modo che rappresenti il numero di microstati, invece del volume nello spazio delle fasi) e inoltre ricordati di integrare anche sulle coordinate spaziali, cioè
$ Z_1 = 1/h^3 int_()^() e ^(-beta * pc) d^3q d^3p $
l’integrale in $d^3q$ ti fornisce semplicemente il volume $V$ occupato dal gas, visto che l’hamiltoniana non dipende dalla posizione
per l’integrale in $d^3p$, invece, puoi passare alle coordinate polari nello spazio degli impulsi (del tipo $d^3p -> 4 pi p^2 dp$ ), e poi integrare per parti
se hai problemi dimmi pure, così appena ho un pc sotto mano butto giù i passaggi (per scriverli dal cell ci metterei più tempo di quanto ne impiega Martin a scrivere “The winds of winter”)
è un onore per me poterti offrire il mio umile aiuto, o Khaleesi, nata dalla tempesta, madre dei draghi, colei che riconquisterà il trono di spade, riporterà la pace nei sette regni e...
ok, sorry, sono un nerd
procediamo:
"daenerys":
ma è comunque giusto?
mmm quasi, devi mettere un fattore $1/h^3$ davanti all’integrale (così da adimensionalizzare $Z$, in modo che rappresenti il numero di microstati, invece del volume nello spazio delle fasi) e inoltre ricordati di integrare anche sulle coordinate spaziali, cioè
$ Z_1 = 1/h^3 int_()^() e ^(-beta * pc) d^3q d^3p $
"daenerys":
Poi quell'integrale come lo risolvo ?
l’integrale in $d^3q$ ti fornisce semplicemente il volume $V$ occupato dal gas, visto che l’hamiltoniana non dipende dalla posizione
per l’integrale in $d^3p$, invece, puoi passare alle coordinate polari nello spazio degli impulsi (del tipo $d^3p -> 4 pi p^2 dp$ ), e poi integrare per parti
se hai problemi dimmi pure, così appena ho un pc sotto mano butto giù i passaggi (per scriverli dal cell ci metterei più tempo di quanto ne impiega Martin a scrivere “The winds of winter”)
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