Eneriga meccanica, correzioni :)

[FrederichN.]

Ciao ragazzi, ultimamente ho trovato una dispensa carina sul web con alcuni esercizi circa l'energia meccanica, visti i risultati dovrei aver sbagliato qualcosa ma non fidandomi del tutto di queste raccolte.. Potreste dare un'occhiata ai miei svolgimenti?
Vi ringrazio come al solito in anticipo:):

"Una piccola sfera inestensibile di massa $m$ è attaccata ad un filo di lunghezza $a=0.9m$. La massa viene lasciata libera dalla posizione orizzontale a filo teso. Un piccolo perno si trova ad una distanza $h$ sotto il punto a cui la massa è appesa. Si dica il minimo valore di h per il quale la massa riesce ad avvolgersi attorno al peso"


Bene, il problema sta dunque nel trovare la distanza "primo perno, secondo perno" per la quale la sferetta, partendo con velocità nulla da posizione orizzontale, riesce ad avvolgersi al secondo perno.
Posso considerare la prima fase del moto come un moto circolare di raggio a, la seconda come un moto circolare di raggio $(a-h)$.
Condizione affinchè la pallina faccia un giro completo attorno il secondo perno è che la velocità in P (apice secondo moto circolare) sia

$v_p >= sqrt(g*(a-h))$ (*)

Per ragione 'fisiche' il perno dovrà essere a distanza maggiore di a/2 per cui, $ h >= 45 cm$

Nel punto più basso della traiettoria, C, l'energia cinetica è massima, potendo utilizzare la conservazione dell'energia:

$E_m = mga $ -> In quanto la pallina viene rilasciata da questa posizione (orizzontale) con velocità nulla
$K_c = mgl$

Posso facilmente ricavare la velocità nel punto C:

$v_c= sqrt(2gl)$

Successivamente al passaggio in C il corpo prende a percorrere la seconda traiettoria circolaredi raggio $(a-h)$

Anche i nquesto caso l'energia sarà conservativa (tensione sempre perpendicolare spostamento), e data la condizione (*) per la quale la sferetta compie un giro attorno al perno:

$ K_c + V_c = K_(v_p) + V_p$

Che si riduce a:

$ K_c = K_(v_p) + V_p $

Risolvendo ricavo che $h >= (2/3)*l$

La soluzione proposta parla di 54 cm.

Ho provato anche ad evitare la condizione (*) supponendo bastasse che la sferetta arrivi in P con velocità piccola a piacere (successivamente il filo si sarebbe afflosciato sul perno), in questo caso il risultato è 45cm (anche se curiosamente, 45 risulta essere un 54 con cifre invertite, non vorrei si trattasse di un errore di battitura)!

AiuDo

[legendre]

Io mi calcolerei tramite la conservazione dell'energia la velocita' angolare con cui la sfera arriva nel punto piu' basso nella posizione verticale(dove il momento d'inerzia di c.m.
e' rispetto al soffitto),poi di nuovo la conservazione dell'energia con la condizione che la massa arrivi nel punto piu' alto verticalmente(momento d'inerzia di c.m.rispetto al perno)

[eppe1]

Forse mi sfugge qualcosa, ma se il secondo giro non deve farlo a filo teso allora la risposta credo sia 45 cm. Se il filo deve essere teso allora la parobola che descriverebbe la massa, se non fosse legata al filo, dovrebbe avere nel vertice (punto P) la stessa curvatura della circonferenza di raggio a-h.