Energia relativistica
Salve a tutti , sto studiando la RR e ho un problema con questo passaggio :
$(dp)/p=(dv)/v(1+gamma^2 (v^2)/(c^2))=gamma^2 (dv)/v $
Non capisco come mai $ (1+gamma^2 (v^2)/(c^2)) $ faccia $gamma^2$
Grazie.
$(dp)/p=(dv)/v(1+gamma^2 (v^2)/(c^2))=gamma^2 (dv)/v $
Non capisco come mai $ (1+gamma^2 (v^2)/(c^2)) $ faccia $gamma^2$
Grazie.
Risposte
Ecco i passaggi :
$ 1 + \gamma^2 v^2/c^2 = 1 + (v^2/c^2)/(1-v^2/c^2) = (1 - v^2/c^2 + v^2/c^2)/(1-v^2/c^2) = 1/(1-v^2/c^2) = \gamma^2 $
Scusa, per curiosità, mi dici dove hai trovato quella relazione?
$ 1 + \gamma^2 v^2/c^2 = 1 + (v^2/c^2)/(1-v^2/c^2) = (1 - v^2/c^2 + v^2/c^2)/(1-v^2/c^2) = 1/(1-v^2/c^2) = \gamma^2 $
Scusa, per curiosità, mi dici dove hai trovato quella relazione?
Grazie Navigatore .
La relazione l' ho trovata sul Mazzoldi-Nigro-Voci , pagina 119 formula (3.21)
La relazione l' ho trovata sul Mazzoldi-Nigro-Voci , pagina 119 formula (3.21)
Ah, ho capito.
E immagino che l'autore se ne serva, per ricavare la trasformazione relativistica dell'energia e della quantità di moto tra riferimenti inerziali...
E immagino che l'autore se ne serva, per ricavare la trasformazione relativistica dell'energia e della quantità di moto tra riferimenti inerziali...
Si il capitolo riguarda proprio quello .
Inizialmente però usa quella formula per far notare un altro fatto :
quando una particella viaggia a valori prossimi a c , l 'applicazione di una forza contribuisce si all' aumento della quantità di moto , ma questo aumento non è tanto della velocità , bensì del fattore $gamma$ .
Ora , algebricamente torna tutto . Volevo chiederti se c' era un 'interpretazione più intuitiva di questo concetto che prescindesse dal fatto che la velocità di una particella , per esempio, non può crescere illimitatamente .
Inizialmente però usa quella formula per far notare un altro fatto :
quando una particella viaggia a valori prossimi a c , l 'applicazione di una forza contribuisce si all' aumento della quantità di moto , ma questo aumento non è tanto della velocità , bensì del fattore $gamma$ .
Ora , algebricamente torna tutto . Volevo chiederti se c' era un 'interpretazione più intuitiva di questo concetto che prescindesse dal fatto che la velocità di una particella , per esempio, non può crescere illimitatamente .
C'è, ed è stata data dallo stesso Einstein : chi meglio di lui?
Nel 1907 (credo, non ricordo bene la data) A.E. , che aveva già "fatto" la Relatività Ristretta, scrisse un articolo:
" L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia? "
Risposta affermativa : l'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia.
Naturalmente AE lo dimostra, ma io non ti scrivo formule. Forse ve ne parlerà il vostro prof. Ti dico solo questo:
- in Meccanica Classica, in teoria non c'è limite alla accelerazione che puoi dare ad un corpo applicandogli una forza, pure se il corpo rispetto ad un osservatore ha già una spaventosa velocità e quindi una grande energia cinetica : $K = 1/2mv^2$
Cioè, in Meccanica classica $F=ma$ indipendentemente dalla velocità che già possiede il corpo.
-in Meccanica Relativistica, non è cosi. Più grande è l'energia cinetica che il corpo già possiede, più grande è l'inerzia del corpo stesso : ad alte velocità, paragonabili a $c$, non si è più capaci di mutare molto la velocità di un corpo (cioè di accelerarlo ulteriormente), comunque grande sia la forza che applichi. Infatti, quella energia cinetica che già ha il corpo costituisce per così dire una "inerzia" aggiuntiva, e come sai la massa di un corpo è l'espressione dell'inerzia, cioè della resistenza all'accelerazione. {Ma non è solo l'energia cinetica, che aumenta l'inerzia di un corpo (a vel. relativistiche, si intende!)} .
In questo link :
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
trovi delle interessanti connessioni, che chiariscono il concetto.
In queste dispense, il primo capitolo spiega, fisicamente e matematicamente, perché $c$ è una velocità limite e che cosa è l'inerzia dell'energia :
http://theory.fi.infn.it/casalbuoni/lav ... tivita.pdf
sono 18 pagine, avevo già segnalato questo link : leggile, e parlane col prof.
Sottolineo una cosa importante: ancora oggi alcuni parlano di "massa relativistica" che varia con la velocità : $m = \gamma*m_0$ . È sbagliato, almeno inopportuno. Lo stesso Einstein, che inizialmente considerò la massa relativistica, successivamente si corresse scrivendo questo :
"It is not good to introduce the concept of the mass of a moving body for which no clear definition can be given. It is better to introduce no other mass concept than the 'rest mass' m. Instead of introducing M it is better to mention the expression for the momentum and energy of a body in motion."
Quindi meglio parlare della sola "massa invariante" , da alcuni detta "massa di riposo" .
E poi parlare di "quantità di moto" ed "energia relativistica" , che sono connesse tra loro intimamente, attraverso il 4-vettore energia- impulso,come vedrai (o hai già visto) .
Nel 1907 (credo, non ricordo bene la data) A.E. , che aveva già "fatto" la Relatività Ristretta, scrisse un articolo:
" L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia? "
Risposta affermativa : l'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia.
Naturalmente AE lo dimostra, ma io non ti scrivo formule. Forse ve ne parlerà il vostro prof. Ti dico solo questo:
- in Meccanica Classica, in teoria non c'è limite alla accelerazione che puoi dare ad un corpo applicandogli una forza, pure se il corpo rispetto ad un osservatore ha già una spaventosa velocità e quindi una grande energia cinetica : $K = 1/2mv^2$
Cioè, in Meccanica classica $F=ma$ indipendentemente dalla velocità che già possiede il corpo.
-in Meccanica Relativistica, non è cosi. Più grande è l'energia cinetica che il corpo già possiede, più grande è l'inerzia del corpo stesso : ad alte velocità, paragonabili a $c$, non si è più capaci di mutare molto la velocità di un corpo (cioè di accelerarlo ulteriormente), comunque grande sia la forza che applichi. Infatti, quella energia cinetica che già ha il corpo costituisce per così dire una "inerzia" aggiuntiva, e come sai la massa di un corpo è l'espressione dell'inerzia, cioè della resistenza all'accelerazione. {Ma non è solo l'energia cinetica, che aumenta l'inerzia di un corpo (a vel. relativistiche, si intende!)} .
In questo link :
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
trovi delle interessanti connessioni, che chiariscono il concetto.
In queste dispense, il primo capitolo spiega, fisicamente e matematicamente, perché $c$ è una velocità limite e che cosa è l'inerzia dell'energia :
http://theory.fi.infn.it/casalbuoni/lav ... tivita.pdf
sono 18 pagine, avevo già segnalato questo link : leggile, e parlane col prof.
Sottolineo una cosa importante: ancora oggi alcuni parlano di "massa relativistica" che varia con la velocità : $m = \gamma*m_0$ . È sbagliato, almeno inopportuno. Lo stesso Einstein, che inizialmente considerò la massa relativistica, successivamente si corresse scrivendo questo :
"It is not good to introduce the concept of the mass of a moving body for which no clear definition can be given. It is better to introduce no other mass concept than the 'rest mass' m. Instead of introducing M it is better to mention the expression for the momentum and energy of a body in motion."
Quindi meglio parlare della sola "massa invariante" , da alcuni detta "massa di riposo" .
E poi parlare di "quantità di moto" ed "energia relativistica" , che sono connesse tra loro intimamente, attraverso il 4-vettore energia- impulso,come vedrai (o hai già visto) .
Grazie ancora .
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