Energia Potenziale per sistema lineare elastico isotropo

[*pizzaf40]

Ciao a tutti

Studiando un esame di metodi numerici, come esempio di principio variazionale diretto viene fatto il caso della minimizzazione dell'energia potenziale per un sistema lineare elastico e materiale isotropo.

Ora, il problema non è strettamente riguardante l'esame, ma è mio....nel senso che non rieco a capire da dove derivi questa espressione!
E' scritta per un sistema tridimensionale in stato deformativo generico, ma semplificandolo ad uno stato di deformazione piana e mettendolo in relazione alle tensioni con le equazioni di deformazione piana, non mi risulta l'equazione di Beltrami che conosco!
Questa è la formula scritta sul libro

$U=int int int_R ( (E nu)/(2(1+nu)(1-2nu)) ( (delta u)/(delta x) + (delta v)/(delta y) + (delta w)/(delta z) )^2 + E/(2(1+nu)) ( ((delta u)/(delta x))^2 + ((delta v)/(delta y))^2 + ((delta w)/(delta z))^2 ) + E/(4(1+nu)) [ ( (delta u)/(delta y) + (delta v)/(delta x) )^2 + ( (delta u)/(delta z) + (delta w)/(delta x) )^2 + ( (delta v)/(delta z) + (delta w)/(delta y) )^2 ] )dxdydz$

e questo significherebbe che l'equazione della densità di energia potenziale di deformazione sia:

$E/(2(1+nu)) [ nu/(1-2nu) ( epsilon_x + epsilon_y + epsilon_z )^2 + ( epsilon_x^2 + epsilon_y^2 + epsilon_z^2 ) + 1/2 ( gamma_(xy)^2 + gamma_(xz)^2 + gamma_(yz)^2 ) ]$

Ora ponendo la deformazione piana $epsilon_z=gamma_(xz)=gamma_(yz)=0$ rimane:

$E/(2(1+nu)) [ nu/(1-2nu) ( epsilon_x + epsilon_y )^2 + ( epsilon_x^2 + epsilon_y^2 ) + 1/2 gamma_(xy)^2 ]$

e sostituendo all'interno:

$epsilon_x=(1+nu)/E [(1-nu)sigma_x - nu sigma_y]$
$epsilon_y=(1+nu)/E [(1-nu)sigma_y - nu sigma_x]$
$gamma_(xy)=tau/G=(2(1+nu))/E tau$

ho provato una volta sola, ma ero ben lontano dal risultato di Beltrami

$( sigma_(theta)^2 + sigma_r^2 + sigma_z^2 - 2 nu (sigma_(theta) sigma_r + sigma_(theta) sigma_z + sigma_r sigma_z ) + 2 (1+nu) tau_(r theta)^2 )/(2E)$

che in coordinate cartesiane dovrebbe essere (per invariabilità secondo mohr della somma delle sigma):

$( sigma_x^2 + sigma_y^2 + sigma_z^2 - 2 nu (sigma_x sigma_y + sigma_x sigma_z + sigma_y sigma_z ) + f(tau_(xy)) )/(2E)$

in cui non esplicito la parte del taglio perchè non ho volgia di ricavarmenla ora.



So che c'è un errore, infatti già non è un buon punto di partenza non sapere le ipotesi di sollecitazione di Beltrami, perchè sembra esserci uno statopiano di tensione con una tensione normale in $z$ aggiunta (di questo me ne sono accorto ora...prima pensavo che essendoci $sigma_z$ fosse deformazione piana)

Secondo vuoi l'errore è quello? Nel senso che a partire dalla prima e sviluppando tutto secondo tensionepiana e quindi senza escludere le $epsilon_z$ e con le relazioni $sigma$-$epsilon$ cambiate dovrebbe venirmi il Beltrami che ho scritto lì sopra?


Ho tanto cercato in internet e tra i libri, ma non ho trovato nulla, e la mia memoria non è certo nota per le sue capacità...anzi, è fuori dal comune per il motivo opposto

[*pizzaf40]

Ho risolto...diciamo che era più facile prendere il Beltrami completo per stato di sollecitazione generico (con tutti gli sforzi di taglio) e sostituirci le generiche equazioni $sigma=f(epsilon)$ derivate dall'inversione delle "più meglio" conosciute $epsilon=f(sigma)$