Energia potenziale gravitazionale e implicazioni.
Volevo ragionare un po' con voi su alcuni aspetti dell'applicazione del principio di conservazione dell'energia ai campi gravitazionali legati al moto dei pianeti, ovvero all' interazione degli oggetti con questi campi. Per semplicità, faccio conto che l'universo sia composto solo dal nostro pianeta e dal campo gravitazionale da esso generato, quindi trascuro le interazioni con altri corpi o altre perturbazioni (atmosfera, Luna, meteoriti vaganti, etc.) in grado di influenzare il moto. La Terra inoltre la considero come un sistema inerziale, di conseguenza scelgo un corpo avente massa $m$ molto piccola rispetto a quella della Terra.
C'è la classica definizione, secondo cui:
Se :
$E < 0$, corpo e pianeta costituiscono un sistema legato;
$E > 0$, il corpo è capace di fuggire dal campo gravitazionale terrestre;
$E = 0$, il corpo si trova ad un limite difficilmente identificabile, almeno per me.
Volevo ragionare un po' con voi per vedere da dove prendono origine queste osservazioni, da dove derivano. Io provo ad abbozzare un ragionamento, poi mi direte. Non ho ancora studiato la derivazione delle leggi di Keplero (antistorica, ma adottata da molti testi) dalla legge di gravitazione universale, ma non credo che questo possa essere importante.
Dunque, se $E < 0$, significa che la somma:
$1/2 m*v^2 - \frac {GMm}{r}$ sarà sempre negativa. Si studia a tal punto il caso limite in cui $v = 0$, cioè il caso in cui l'energia cinetica si tramuta tutta in energia potenziale. Se l'identità è possibile, cioè se può essere $- \frac {GMm}{r} = E$ (e questo può essere solo se l'energia è negativa, perchè il termine al primo membro lo sarà sicuramente), allora ciò vuol dire che ci sarà un istante in cui il corpo si ferma. Poichè esiste un valore di energia potenziale in tale caso limite (poichè è verificata l'identità), allora il corpo rimane nel campo gravitazionale terrestre, il che equivale a dire che esso costituisce un sistema legato alla Terra.
Se E > 0, allora per analoghe dimostrazioni matematiche sarà:
$1/2 m* v^2 - \frac{GMm}{r} >= 0$. Di conseguenza, la velocità non potrà mai annullarsi, perchè altrimenti l'identità non potrebbe essere verificata (sempre perchè $\frac{GMm}{r}$ è sempre positivo, e dunque il suo opposto sempre negativo; non solo, la velocità dovrà avere un valore maggiore a $sqrt(\frac{2GM}{r})$.
Se l'energia è nulla, allora $|v| = sqrt(\frac {2GM} {r})$,
Quelle che ho detto sinora rappresentano gli unici motivi per cui riesco a giustificarmi le tre implicazioni scritte all'inizio. Se magari qualcuno di voi avesse una spiegazione teoricamente più fondata, gliene sarei grato.
Dal punto di vista fisico, poi, non riesco a configurare bene la situazione.
So che un punto cui viene applicata una forza capace di allontanarlo dalla sorgente di un campo gravitazionale subisce un'attrazione da parte della sorgente che tende a fermarlo. Quindi se un punto, al momento in cui raggiunge velocità nulla, si trova ancora nel campo, irrimediabilmente subisce una forza attrattiva che consente di mantenerlo nel campo.
Ora suppongo l'esempio della Terra. Se il corpo viene lanciato dalla Terra con una velocità superiore al valore $v_L = sqrt(\frac{2GM}{r_T$, dove $r_T$ è il raggio terrestre (distanza dal centro di massa della terra, quindi distanza dalla sorgente gravitazionale), allora esso riesce ad uscire dal campo gravitazionale della Terra.
Se invece il valore di $v$ è proprio uguale a $sqrt(\frac{2GM}{r})$, dovrebbe fermarsi proprio alla linea di confine del campo. Chi mi sa dire di più su quest'ultima cosa (prescindiamo dal fatto che la "linea di confine" è un concetto puramente esplicativo")?
Chi mi aiuta anche in tal senso?
C'è la classica definizione, secondo cui:
Se :
$E < 0$, corpo e pianeta costituiscono un sistema legato;
$E > 0$, il corpo è capace di fuggire dal campo gravitazionale terrestre;
$E = 0$, il corpo si trova ad un limite difficilmente identificabile, almeno per me.
Volevo ragionare un po' con voi per vedere da dove prendono origine queste osservazioni, da dove derivano. Io provo ad abbozzare un ragionamento, poi mi direte. Non ho ancora studiato la derivazione delle leggi di Keplero (antistorica, ma adottata da molti testi) dalla legge di gravitazione universale, ma non credo che questo possa essere importante.
Dunque, se $E < 0$, significa che la somma:
$1/2 m*v^2 - \frac {GMm}{r}$ sarà sempre negativa. Si studia a tal punto il caso limite in cui $v = 0$, cioè il caso in cui l'energia cinetica si tramuta tutta in energia potenziale. Se l'identità è possibile, cioè se può essere $- \frac {GMm}{r} = E$ (e questo può essere solo se l'energia è negativa, perchè il termine al primo membro lo sarà sicuramente), allora ciò vuol dire che ci sarà un istante in cui il corpo si ferma. Poichè esiste un valore di energia potenziale in tale caso limite (poichè è verificata l'identità), allora il corpo rimane nel campo gravitazionale terrestre, il che equivale a dire che esso costituisce un sistema legato alla Terra.
Se E > 0, allora per analoghe dimostrazioni matematiche sarà:
$1/2 m* v^2 - \frac{GMm}{r} >= 0$. Di conseguenza, la velocità non potrà mai annullarsi, perchè altrimenti l'identità non potrebbe essere verificata (sempre perchè $\frac{GMm}{r}$ è sempre positivo, e dunque il suo opposto sempre negativo; non solo, la velocità dovrà avere un valore maggiore a $sqrt(\frac{2GM}{r})$.
Se l'energia è nulla, allora $|v| = sqrt(\frac {2GM} {r})$,
Quelle che ho detto sinora rappresentano gli unici motivi per cui riesco a giustificarmi le tre implicazioni scritte all'inizio. Se magari qualcuno di voi avesse una spiegazione teoricamente più fondata, gliene sarei grato.
Dal punto di vista fisico, poi, non riesco a configurare bene la situazione.
So che un punto cui viene applicata una forza capace di allontanarlo dalla sorgente di un campo gravitazionale subisce un'attrazione da parte della sorgente che tende a fermarlo. Quindi se un punto, al momento in cui raggiunge velocità nulla, si trova ancora nel campo, irrimediabilmente subisce una forza attrattiva che consente di mantenerlo nel campo.
Ora suppongo l'esempio della Terra. Se il corpo viene lanciato dalla Terra con una velocità superiore al valore $v_L = sqrt(\frac{2GM}{r_T$, dove $r_T$ è il raggio terrestre (distanza dal centro di massa della terra, quindi distanza dalla sorgente gravitazionale), allora esso riesce ad uscire dal campo gravitazionale della Terra.
Se invece il valore di $v$ è proprio uguale a $sqrt(\frac{2GM}{r})$, dovrebbe fermarsi proprio alla linea di confine del campo. Chi mi sa dire di più su quest'ultima cosa (prescindiamo dal fatto che la "linea di confine" è un concetto puramente esplicativo")?
Chi mi aiuta anche in tal senso?
Risposte
Allora, secondo me è per comprendere il concetto è utile considerare le traiettorie. Nel caso di soli due corpi hai solo la possibilità di compiere orbite piane, il che implica:
E<0, l'equazione della traiettoria sarà una curva chiusa, cioè un'ellisse, avente la terra come uno dei fuochi, l'ellisse al limite può essere una circonferenza se l'eccentricità è nulla.
Con E>0 significa che l'energia cinetica del corpo è tale da consentirgli di sfuggire all'attrazione della terra, di conseguenza la traiettoria sarà una iperbole.
Con E=0 siamo al limite, perciò la traiettoria sarà una parabola.
La differenza tra la parabola e l'iperbole è che l'iperbole ha un asintoto, ovvero che al limite il corpo tenderà a raggiungere una traiettoria rettilinea che lo porta ad allontanarsi all'infinito in linea retta, mentre la parabola al limite è sempre curvilinea. In pratica è una curva chiusa all'infinito, la puoi vedere come un ellisse che ha una distanza infinita tra i 2 fuochi, perciò ha solo un fuoco.
In caso di oggetto lanciato dalla terra con velocità pari esattamente alla velocità di fuga, hai che il corpo si allontana all'infinito seguendo una parabola.
In ogni caso ellisse, iperbole e parabola possono degenerare in traiettorie rettilinee: ad esempio se lanci un corpo in verticale perpendicolarmente alla terra, se la velocità è < di quella di fuga il corpo ricade sulla terra seguendo una retta (poi si ferma a terra, perchè si schianta, ma se potesse proseguire senza attriti seguirebbe un moto armonico avanti e indietro centrato sul centro della terra). Invece se la velocità è uguale o magiore di quella di fuga si allontanerebbe all'infinito seguendo una retta.
La spiegazione matimatica io l'ho trovata anche su wikipedia, dove c'è una serie di passaggi abbastanza chiara:
http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_dei_due_corpi
E<0, l'equazione della traiettoria sarà una curva chiusa, cioè un'ellisse, avente la terra come uno dei fuochi, l'ellisse al limite può essere una circonferenza se l'eccentricità è nulla.
Con E>0 significa che l'energia cinetica del corpo è tale da consentirgli di sfuggire all'attrazione della terra, di conseguenza la traiettoria sarà una iperbole.
Con E=0 siamo al limite, perciò la traiettoria sarà una parabola.
La differenza tra la parabola e l'iperbole è che l'iperbole ha un asintoto, ovvero che al limite il corpo tenderà a raggiungere una traiettoria rettilinea che lo porta ad allontanarsi all'infinito in linea retta, mentre la parabola al limite è sempre curvilinea. In pratica è una curva chiusa all'infinito, la puoi vedere come un ellisse che ha una distanza infinita tra i 2 fuochi, perciò ha solo un fuoco.
In caso di oggetto lanciato dalla terra con velocità pari esattamente alla velocità di fuga, hai che il corpo si allontana all'infinito seguendo una parabola.
In ogni caso ellisse, iperbole e parabola possono degenerare in traiettorie rettilinee: ad esempio se lanci un corpo in verticale perpendicolarmente alla terra, se la velocità è < di quella di fuga il corpo ricade sulla terra seguendo una retta (poi si ferma a terra, perchè si schianta, ma se potesse proseguire senza attriti seguirebbe un moto armonico avanti e indietro centrato sul centro della terra). Invece se la velocità è uguale o magiore di quella di fuga si allontanerebbe all'infinito seguendo una retta.
La spiegazione matimatica io l'ho trovata anche su wikipedia, dove c'è una serie di passaggi abbastanza chiara:
http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_dei_due_corpi
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