Energia potenziale gravitazionale
Su un pianeta A, sfericamente simmetrico e privo di atmosfera, un astronauta a uno dei poli lancia in verticale verso l’alto una pallina imprimendole una certa velocit à iniziale e vede che essa raggiunge l’altezza massima di 25 cm rispetto alla posizione di partenza. Durante una missione successiva su un altro pianeta B, sempre sfericamente simmetrico, privo di atmosfera e la cui massa è uguale a quella del pianeta A, l’astronauta effettua identico esperimento (lancio della pallina in verticale verso l’alto con stessa velocità iniziale) verificando che questa volta l’altezza massima raggiunta è di 4 metri. Si chiede:
(i) qual è́ il rapporto dei raggi dei due pianeti;
(ii) qual è́ il rapporto delle loro densità, nell’ipotesi che siano uniformi;
L’astronauta effettua poi sul pianeta B analogo esperimento ma questa volta all’equatore, verificando che l’altezza massima raggiunta dalla pallina è di 8 metri. Si chiede:
(iii) di calcolare il periodo di rotazione del pianeta, supponendo che il raggio e la massa del
pianeta B siano 5000 km e $10^27$ g rispettivamente.
Per il punto (i) è giusto supporre che:
$ U=(GMm)/R = E = mgh $
Scrivere l'equazione per i due pianeti, mettere a sistema, e cosi trovare il rapporto dei due raggi?
(i) qual è́ il rapporto dei raggi dei due pianeti;
(ii) qual è́ il rapporto delle loro densità, nell’ipotesi che siano uniformi;
L’astronauta effettua poi sul pianeta B analogo esperimento ma questa volta all’equatore, verificando che l’altezza massima raggiunta dalla pallina è di 8 metri. Si chiede:
(iii) di calcolare il periodo di rotazione del pianeta, supponendo che il raggio e la massa del
pianeta B siano 5000 km e $10^27$ g rispettivamente.
Per il punto (i) è giusto supporre che:
$ U=(GMm)/R = E = mgh $
Scrivere l'equazione per i due pianeti, mettere a sistema, e cosi trovare il rapporto dei due raggi?
Risposte
Un aiutino?
Direi di no, l'energia che hai scritto a sinistra nell'equazione è quella che servirebbe per portare la pallina a distanza infinita dal pianeta, mentre quella che hai scritto a destra è l'energia che serve a innalzare la pallina di altezza h dalla superficie (approssimando con un campo costante). Insomma le due cose non si somigliano neanche.
Io assumerei pure un campo costante per semplificare i calcoli però agirei diversamente.
Mi domanderei: a parità di energia cinetica della pallina (velocità iniziale uguale) a quale altezza giunge? La risposta è naturalmente $h=E/(mg)$. Da cui nel caso dei due pianeti si ha $h_1/h_2=g_2/g_1$, cioè le altezze sono inversamente proporzionali alle accelerazioni di gravità sulle superfici.
Però l'accelerazione di gravità alla superficie si può anche scrivere così: $g=(GM)/R^2$.
Allora sostituendo si ha $h_1/h_2=(R_1/R_2)^2$.
Poiché il rapporto delle altezze è 16, il rapporto dei raggi è 4.
Io assumerei pure un campo costante per semplificare i calcoli però agirei diversamente.
Mi domanderei: a parità di energia cinetica della pallina (velocità iniziale uguale) a quale altezza giunge? La risposta è naturalmente $h=E/(mg)$. Da cui nel caso dei due pianeti si ha $h_1/h_2=g_2/g_1$, cioè le altezze sono inversamente proporzionali alle accelerazioni di gravità sulle superfici.
Però l'accelerazione di gravità alla superficie si può anche scrivere così: $g=(GM)/R^2$.
Allora sostituendo si ha $h_1/h_2=(R_1/R_2)^2$.
Poiché il rapporto delle altezze è 16, il rapporto dei raggi è 4.
Per il punto (ii) basta semplicemente supporre che $ rho=M/V=M/(((4pi)/3) R^3) $ e fare il rapporto delle densità che risulta uguale a $ (R_B/R_A)^3=64 $ , è corretto?
Per il punto (iii) invece ho pensato che all'equatore interviene l'accelerazione centripeta, percui si può riscrivere un sistema simile al punto (i) ma per lo stesso pianeta, con altezze diverse e diverse accelerazioni. Da questo risulterebbe:
$ (h_{pol})/(h_(eq)) = (g_(pol))/(g_(pol)+a_c) $
dove $a_c$ è relazionata a omega che è relazionata al periodo richiesto dal problema...
E' corretto?
Per il punto (iii) invece ho pensato che all'equatore interviene l'accelerazione centripeta, percui si può riscrivere un sistema simile al punto (i) ma per lo stesso pianeta, con altezze diverse e diverse accelerazioni. Da questo risulterebbe:
$ (h_{pol})/(h_(eq)) = (g_(pol))/(g_(pol)+a_c) $
dove $a_c$ è relazionata a omega che è relazionata al periodo richiesto dal problema...
E' corretto?
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