ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE

[michele836]

Dunque, mi rivolgo a voi nel tentativo di chiarire alcuni dubbi riguardanti l'energia potenziale gravitazionale. Partirò un pò dall'inizio per farvi capire se ci sono pecche nei miei ragionamenti.
Per calcolarne il valore dell'energia potenziale gravitazionale, si pone una massa "M" fissa e al centro del sistema di riferimento. Si parte dal calcolo del lavoro compiuto dalla forza di gravità per spostare un corpo di massa "m" da un punto iniziale "A" ad una posizione finale "B". Il segmento congiungente il punto A con il corpo di massa M lo chiamiamo r1, mentre il segmento congiungente il punto B(più distante rispetto al corpo di massa M) con il corpo di massa M lo chiamiamo r2. Dopo di che, si integra la forza in dr tra due estremi r1 e r2 e si ricava che il lavoro compiuto dalla forza per spostare il corpo "m" da A a B. Esso è pari a GMm/r2 - GMm/r1. Poi sappiamo anche che, nel caso delle forze conservative, la variazione di energia potenziale è uguale a meno il lavoro per spostare un corpo da A a B, ma COME SI ARRIVA ALLA DEFINIZIONE DI ENERGIA POTENZIALE U = -GMm/r ?? E come si arriva a U=mgh ?? INFINITAMENTE GRATO A CHI MI SARA' D'AIUTO. Vi prego di essere quanto più chiari possibile.

[mazzarri1]

Credo correggimi se sbaglio che lo abbia gia fatto tu.
La cosa che hai trovato $G(Mm)/r$si definisce energia potenziale gravitazionale.
Prova a calcolare il lavoro fatto dalla forza peso per spostare um corpo che cade da una torre (per esempio) da una altezza $h_1$ a una altezza $h_2$. Integrando troverai una cosa che non sai che cosa è e la chiami energia potenziale.

[Falco5x]

Partendo dalla forza gravitazionale
$${\bf{F}} = - \frac{{GmM}}
{{{r^3}}}{\bf{r}}$$
il lavoro elementare per uno spostamento elementare in direzione qualsiasi è
$$dL = {\bf{F}} \cdot {\bf{ds}} = - Fdr = - \frac{{GmM}}
{{{r^2}}}dr$$
da cui integrando da una posizione iniziale 1 a una finale 2
$${L_{12}} = - \int_{r1}^{r2} {\frac{{GmM}}
{{{r^2}}}dr = } GmM\left[ {\frac{1}
{{{r_2}}} - \frac{1}
{{{r_1}}}} \right]$$
Si può pertanto definire la funzione potenziale, valida a meno di una costante arbitraria C
$$U = - \frac{{GmM}}
{r} + C$$
da cui risulta
$${L_{12}} = {U_1} - {U_2}$$

Derivando la U si vede che ha la dimensione di una forza, che chiamiamo forza di gravità
$$\frac{{dU}}
{{dr}} = \frac{{GmM}}
{{{r^2}}}$$
la quale in prossimità della superficie terrestre ha il valore
$$ - {F_g} = \frac{{GmM}}
{{{R^2}}}$$
dove R è il raggio terrestre.
In prossimità della superficie terrestre, dunque, si può definire la seguente grandezza che rimane grosso modo costante per piccoli spostamenti:
$$g = \frac{{GM}}
{{{R^2}}}$$
Posto dunque
$$dr \simeq \Delta h$$
per piccoli spostamenti si ha infine
$$\Delta U = mg\Delta h$$