Energia potenziale elastica...livello zero?
ciao a tutti, ho bisogno di chiarire un dubbio che ho da parecchio tempo...
Non riesco a capire se quando utilizzo l'energia potenziale elastica (ad esempio nella conservazione dell'energia meccanica) posso spostare arbitrariamente il "livello zero", come si fa con l'energia potenziale gravitazionale, oppure no...per essere più chiaro faccio un esempio...supponiamo di avere una molla di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo $l_0$; chiamiamo $x$ e $y=x+5cm$ due tratti di cui viene compressa la molla. Proviamo ora a scrivere la differenza di energia potenziale elastica fra la posizione in cui la molla è poco compressa ($x$) e la posizione in cui la molla è più compressa ($y$) posizionando il livello zero dell'energia potenziale elastica "al livello di $x$" questa differenza risulta essere $1/2ky^2$, invece posizionando il livello zero dell'energia potenziale elastica al livello di $l_0$ (come si fa generalmente), la stessa differenza di energia potenziale risulta $1/2k(x+y)^2-1/2kx^2$ sviluppando il quadrato risulta $1/2kx^2+kyx+1/2ky^2-1/2kx^2 =
kyx+1/2ky^2$ che quindi differisce dal precedente risultato per il termine $kyx$. Quindi mi chiedo, qual'è quello corretto da usare?...Il fatto che non siano uguali implica che non si può scegliere il livello zero dell'energia potenziale elastica arbitrariamente, altrimenti otterremmo sempre risultati diversi...o sbaglio?
Non riesco a capire se quando utilizzo l'energia potenziale elastica (ad esempio nella conservazione dell'energia meccanica) posso spostare arbitrariamente il "livello zero", come si fa con l'energia potenziale gravitazionale, oppure no...per essere più chiaro faccio un esempio...supponiamo di avere una molla di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo $l_0$; chiamiamo $x$ e $y=x+5cm$ due tratti di cui viene compressa la molla. Proviamo ora a scrivere la differenza di energia potenziale elastica fra la posizione in cui la molla è poco compressa ($x$) e la posizione in cui la molla è più compressa ($y$) posizionando il livello zero dell'energia potenziale elastica "al livello di $x$" questa differenza risulta essere $1/2ky^2$, invece posizionando il livello zero dell'energia potenziale elastica al livello di $l_0$ (come si fa generalmente), la stessa differenza di energia potenziale risulta $1/2k(x+y)^2-1/2kx^2$ sviluppando il quadrato risulta $1/2kx^2+kyx+1/2ky^2-1/2kx^2 =
kyx+1/2ky^2$ che quindi differisce dal precedente risultato per il termine $kyx$. Quindi mi chiedo, qual'è quello corretto da usare?...Il fatto che non siano uguali implica che non si può scegliere il livello zero dell'energia potenziale elastica arbitrariamente, altrimenti otterremmo sempre risultati diversi...o sbaglio?
Risposte
L'energia potenziale e' definita sempre a meno di una costante additiva. Infatti $F = - grad (U + k) = - grad U$.
Lo so ma non è la risposta alla mia domanda..
Ciao. Volevo dirti che arrigo ti ha risposto correttamente alla domanda che tu hai fatto. La spiegazione sta nel fatto che la funzione potenziale è sempre definita a meno di una costante totalmente arbitraria.
In ogni caso se io provo a fare i conti, il risultato mi viene corretto.
$\int _{l_0} ^{x} kx dx = 1/2 k (x^2-l_0 ^2 )$ $\int _{l_0} ^{y} kx dx = 1/2 k (y^2-l_0 ^2 )$ e la sottrazione del primo meno il secondo mi darà $1/2 k (y^2 -x^2) $. Se pongo come punto di partenza per l'integrale il punto x e poi arrivo a y otterro di nuovo lo stesso risultato. Dunque vedi che se prendi come punto di riferimento un punto qualsiasi, poi puoi misurare qualsiasi differenza di energia potenziale (NOTA: puoi misurare solo la differenza!!! È per questo che si può utilizzare una costante arbitraria).
In ogni caso è normale che se cambi la costante arbitraria, cioè il punto di riferimento da cui partire, l'energia risultate sarà diversa e il motivo è sempre che tu stai misurando la differenza di energia da un certo punto ad un altro. Nessuno fino ad ora è riuscito a misurare l'energia assoluta, ma solo la differenza di energia con un punto di riferimento arbitrario, che ci scegliamo a piacere e in modo che sia utile. Ad esempio, nel caso nel caso delle molle, si sceglie la posizione a riposo, proprio perchè siamo sicuri che la molla in quella posizione non ha alcuna energia potenziale associata alla compressione o tensione della molla stessa.
In ogni caso se io provo a fare i conti, il risultato mi viene corretto.
$\int _{l_0} ^{x} kx dx = 1/2 k (x^2-l_0 ^2 )$ $\int _{l_0} ^{y} kx dx = 1/2 k (y^2-l_0 ^2 )$ e la sottrazione del primo meno il secondo mi darà $1/2 k (y^2 -x^2) $. Se pongo come punto di partenza per l'integrale il punto x e poi arrivo a y otterro di nuovo lo stesso risultato. Dunque vedi che se prendi come punto di riferimento un punto qualsiasi, poi puoi misurare qualsiasi differenza di energia potenziale (NOTA: puoi misurare solo la differenza!!! È per questo che si può utilizzare una costante arbitraria).
In ogni caso è normale che se cambi la costante arbitraria, cioè il punto di riferimento da cui partire, l'energia risultate sarà diversa e il motivo è sempre che tu stai misurando la differenza di energia da un certo punto ad un altro. Nessuno fino ad ora è riuscito a misurare l'energia assoluta, ma solo la differenza di energia con un punto di riferimento arbitrario, che ci scegliamo a piacere e in modo che sia utile. Ad esempio, nel caso nel caso delle molle, si sceglie la posizione a riposo, proprio perchè siamo sicuri che la molla in quella posizione non ha alcuna energia potenziale associata alla compressione o tensione della molla stessa.
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