Energia potenziale efficace nei moti centrali
Ciao a tutti,
mi serve un aiuto per capire un argomento teorico.
Sto affrontando il problema dei due corpi e del loro moto in un campo di forze centrale a simmetria sferica.
Ho compreso bene la conservazione del momento angolare e dell'energia meccanica.
Questa ultima è data da: $Em = EnCINETICA.RADIALE + Veff$ dove $Veff = V(r) + p^2/(2mr^2)$.
A questo punto parte la discussione dei vari casi. Ipotizziamo per ora p = 0. Considerando ad esempio il caso della forza elettrostatica repulsiva si ha $V(r) > 0$, il cui valore diminuisce con l'aumentare della distanza tra i due corpi. In questo caso l'energia meccanica è sempre positiva (somma di energia cinetica radiale e V(r) che in questo caso è positiva).
Si ha $Em = V(Rmin)$ (costante) e pertanto il moto è possibile solo per $R > Rmin$ perchè altrimenti l'energia cinetica radiale assumerebbe valore negativo (impossibile).
Considerando invece la forza gravitazionale si ha $V(r) < 0$, il cui valore aumenta con il diminuire della distanza tra i due corpi. Qui inizia la parte che non ho capito: sul libro leggo che l'energia meccanica può assumere segno positivo o negativo.
Ma essa non è comunque data da $Em = V(Rmax)$ ? Perchè in tal caso dovrebbe essere per forza negativa!
Mi serve un'illuminazione anche perchè poi non riesco a capire le condizioni da porre affinchè sia possibile il moto in questo caso.
mi serve un aiuto per capire un argomento teorico.
Sto affrontando il problema dei due corpi e del loro moto in un campo di forze centrale a simmetria sferica.
Ho compreso bene la conservazione del momento angolare e dell'energia meccanica.
Questa ultima è data da: $Em = EnCINETICA.RADIALE + Veff$ dove $Veff = V(r) + p^2/(2mr^2)$.
A questo punto parte la discussione dei vari casi. Ipotizziamo per ora p = 0. Considerando ad esempio il caso della forza elettrostatica repulsiva si ha $V(r) > 0$, il cui valore diminuisce con l'aumentare della distanza tra i due corpi. In questo caso l'energia meccanica è sempre positiva (somma di energia cinetica radiale e V(r) che in questo caso è positiva).
Si ha $Em = V(Rmin)$ (costante) e pertanto il moto è possibile solo per $R > Rmin$ perchè altrimenti l'energia cinetica radiale assumerebbe valore negativo (impossibile).
Considerando invece la forza gravitazionale si ha $V(r) < 0$, il cui valore aumenta con il diminuire della distanza tra i due corpi. Qui inizia la parte che non ho capito: sul libro leggo che l'energia meccanica può assumere segno positivo o negativo.
Ma essa non è comunque data da $Em = V(Rmax)$ ? Perchè in tal caso dovrebbe essere per forza negativa!
Mi serve un'illuminazione anche perchè poi non riesco a capire le condizioni da porre affinchè sia possibile il moto in questo caso.
Risposte
Non capisco cosa intendi quando dici moto possibile o moto non possibile. Potresti chiarire meglio?
In altre parole cosa significa in questo contesto moto possibile?
In altre parole cosa significa in questo contesto moto possibile?
Premetto che prima avevo invertito i valori Rmax e Rmin (ora ho corretto).
Sto cercando anche io di interpretare un paragrafo del mio libro di Fisica Generale... Se ho capito bene, qui si trattano i moti centrali a simmetria sferica, in particolare quello dovuto all'attrazione gravitazionale. Nello specifico si vuole andare ad analizzare il tipo di moto (per esempio di un pianeta rispetto al Sole) analizzando il valore dell'energia meccanica (sfruttandone l'espressione che ho riportato sopra).
Ad esempio, nel caso di V(r) > 0, si ha Em = V(RMin) (perchè alla minima distanza si ha solo energia potenziale). Se fosse possibile il moto del corpo ad una distanza r* < Rmin si avrebbe V(r*) > V(Rmin) e quindi (poichè l'energia meccanica totale si conserva) l'energia cinetica diventerebbe negativa, cosa che risulta impossibile. Il moto risulta quindi concesso solo per r > Rmin.
Non riesco bene ad analizzare il caso specifico dell'attrazione gravitazionale, in cui si ha V(r) < 0.
In particolare non capisco il senso del segno positivo/negativo che può assumere l'energia meccanica.
Sto cercando anche io di interpretare un paragrafo del mio libro di Fisica Generale... Se ho capito bene, qui si trattano i moti centrali a simmetria sferica, in particolare quello dovuto all'attrazione gravitazionale. Nello specifico si vuole andare ad analizzare il tipo di moto (per esempio di un pianeta rispetto al Sole) analizzando il valore dell'energia meccanica (sfruttandone l'espressione che ho riportato sopra).
Ad esempio, nel caso di V(r) > 0, si ha Em = V(RMin) (perchè alla minima distanza si ha solo energia potenziale). Se fosse possibile il moto del corpo ad una distanza r* < Rmin si avrebbe V(r*) > V(Rmin) e quindi (poichè l'energia meccanica totale si conserva) l'energia cinetica diventerebbe negativa, cosa che risulta impossibile. Il moto risulta quindi concesso solo per r > Rmin.
Non riesco bene ad analizzare il caso specifico dell'attrazione gravitazionale, in cui si ha V(r) < 0.
In particolare non capisco il senso del segno positivo/negativo che può assumere l'energia meccanica.
Ok, credo di aver capito quello che intendi. Per moto non possibile vuoi dire che a quella energia il corpo non può portarsi ad una distanza inferiore ad un dato valore, per forza di repulsione, o superiore un dato valore, per forza di attrazione, dall'altro corpo. Anche se l'espressione moto non possibile non mi piace molto.
Per cercare di rispondere al tuo dubbio inizierei col dire che l'energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria, siamo infatti interessati alla variazione di energia più che al valore assoluto. Tuttavia nel caso gravitazionale si assume per comodità energia potenziale zero a distanza infinita e di conseguenza minore di zero altrove. Ciò si ripercuote sull'energia meccanica (somma potenziale e cinetica) che può essere pertanto negativa, nulla o positiva.
Esaminiamo adesso i vari casi possibili.
1) Se l'energia meccanica è minore di zero significa che anche mandando a zero la quota cinetica, il corpo non può portarsi a distanza infinita dal corpo a cui è attratto. A tale distanza infatti l'energia potenziale dovrebbe essere nulla, mentre invece si deve conservare l'energia meccanica ma, essendo al limite nulla la quota cinetica, questa deve restare negativa. Il corpo non può sfuggire all'attrazione gravitazionale dell'altro corpo pertanto. Si dimostra che in questo caso il corpo ruota attorno all'altro (qui si assume sempre l'altro corpo molto più massico in modo da considerarlo fermo) seguendo una traiettoria a ellisse (che al limite può essere una circonferenza o un segmento).
2) Se l'energia meccanica fosse pari a zero, il corpo potrebbe arrivare a distanza al limite infinita dall'altro corpo azzerando esattamente la propria energia cinetica all'infinito. Si dimostra che la traiettoria seguita sarebbe una parabola in questo caso.
3) Se l'energia meccanica è maggiore di zero significa che a distanza infinita il corpo avrebbe ancora una energia cinetica residua. Il corpo quindi sfuggirebbe all'attrazione gravitazionale dell'altro corpo. Si dimostra che in questo caso la traiettoria seguita nello sfuggire all'altro corpo è una iperbole.
Spero questo risponda ai tuoi dubbi.
Per cercare di rispondere al tuo dubbio inizierei col dire che l'energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria, siamo infatti interessati alla variazione di energia più che al valore assoluto. Tuttavia nel caso gravitazionale si assume per comodità energia potenziale zero a distanza infinita e di conseguenza minore di zero altrove. Ciò si ripercuote sull'energia meccanica (somma potenziale e cinetica) che può essere pertanto negativa, nulla o positiva.
Esaminiamo adesso i vari casi possibili.
1) Se l'energia meccanica è minore di zero significa che anche mandando a zero la quota cinetica, il corpo non può portarsi a distanza infinita dal corpo a cui è attratto. A tale distanza infatti l'energia potenziale dovrebbe essere nulla, mentre invece si deve conservare l'energia meccanica ma, essendo al limite nulla la quota cinetica, questa deve restare negativa. Il corpo non può sfuggire all'attrazione gravitazionale dell'altro corpo pertanto. Si dimostra che in questo caso il corpo ruota attorno all'altro (qui si assume sempre l'altro corpo molto più massico in modo da considerarlo fermo) seguendo una traiettoria a ellisse (che al limite può essere una circonferenza o un segmento).
2) Se l'energia meccanica fosse pari a zero, il corpo potrebbe arrivare a distanza al limite infinita dall'altro corpo azzerando esattamente la propria energia cinetica all'infinito. Si dimostra che la traiettoria seguita sarebbe una parabola in questo caso.
3) Se l'energia meccanica è maggiore di zero significa che a distanza infinita il corpo avrebbe ancora una energia cinetica residua. Il corpo quindi sfuggirebbe all'attrazione gravitazionale dell'altro corpo. Si dimostra che in questo caso la traiettoria seguita nello sfuggire all'altro corpo è una iperbole.
Spero questo risponda ai tuoi dubbi.
Ti ringrazio davvero, direi che hai chiarito la maggior parte dei miei dubbi!!!
Ciao a tutti, scusate se ritiro fuori questo vecchio thread, non volevo aprirne un altro!
Volevo porre una domanda, su ogni libro e dovunque leggo "Si dimostra che la traiettoria è....".
Ecco, la domanda è:
Come si dimostra partendo dalla formula dell'Energia meccanica?
Vi ringrazio!
Volevo porre una domanda, su ogni libro e dovunque leggo "Si dimostra che la traiettoria è....".
Ecco, la domanda è:
Come si dimostra partendo dalla formula dell'Energia meccanica?
Vi ringrazio!
Non si dimostra partendo da sole considerazioni sull'energia meccanica.
Vanno scritte le equazioni del moto in presenza di forza gravitazionale e vanno integrate.
qui trovi qualche informazione in più (c'è anche un metodo di integrazione per via numerica).
Vanno scritte le equazioni del moto in presenza di forza gravitazionale e vanno integrate.
qui trovi qualche informazione in più (c'è anche un metodo di integrazione per via numerica).
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