Energia potenziale e punti di equilibrio - esercizio

[anonymous_f3d38a]

Ciao a tutti,


Devo trovare le posizioni di equilibrio del seguente sistema:



Si considerino due punti materiali $P_1$ e $P_2$, entrambi di massa $m$, che sono costretti a muoversi su una circonferenza di raggio $R$.

I punti si trovano su un piano verticale $xy$ e sono inoltre collegati da una molla (la linea verde in figura).

Le variabili sono due $vartheta_1$ e $vartheta_2$.

Per trovare le configurazioni di equilibrio scrivo l'energia potenziale e derivo rispetto ad ognuna delle variabili.

Vi mostro il mio procedimento:

$V= V_(mg1) + V_(mg2) + V_(el)$

$V= mgRsin(vartheta_1) + mgRsin(vartheta_2) +1/2k( 2Rsin((vartheta_1 - vartheta_2)/2))^2$

Derivo rispetto a ciascuna delle variabili e pongo il potenziale uguale a zero:



$ { ( (dV)/(dvartheta_1)= mgRcos(vartheta_1)+kR^2 sin(vartheta_1-vartheta_2)=0 ),( (dV)/(dvartheta_2)= mgRcos(vartheta_2)-kR^2 sin(vartheta_1-vartheta_2)=0 ):} $

sostituendo opportunamente:

$ { ( sin(vartheta_1 - vartheta_2)= -(mg)/(kR)cos(vartheta_1)),( -kR^2((mg)/(kR)cos(vartheta_1))=mgRcos(vartheta_2) ):} $

Che implica :

$cos(vartheta_1)= -cos(vartheta_2)$

Qualcuno saprebbe dirmi se ho sbagliato?

[tottomagoog]

Ciao. Ho scorso il testo e non ho controllato i vari passaggi, ma prima di farlo potrei sapere perchè ritieni il risultato sbagliato? A me pare evidente che, se ho inteso bene il problema, l'unica configurazione di equilibro stabile sia quella in cui i punti siano nella parte inferiore della circonferenza e simmetrici rispetto all'asse y. Che è proprio la condizione sui coseni che hai ottenuto.

[Faussone]

Anche io ho scorso velocemente, però in effetti la soluzione non mi pare corretta, perché presupporrebbe che qualunque posizione simmetrica sia di equilibrio, invece a me non pare sia così perché l'equilibrio su ogni massa è dato da un bilanciamento tra reazione normale della guida, peso e forza di richiamo della molla.
Mi sfugge qualcosa?

[anonymous_f3d38a]

"ZerOmega":Ciao. Ho scorso il testo e non ho controllato i vari passaggi, ma prima di farlo potrei sapere perchè ritieni il risultato sbagliato? A me pare evidente che, se ho inteso bene il problema, l'unica configurazione di equilibro stabile sia quella in cui i punti siano nella parte inferiore della circonferenza e simmetrici rispetto all'asse y. Che è proprio la condizione sui coseni che hai ottenuto.

Sono d'accordo, per alcune configurazioni la mia soluzione è sensata. Ma non per tutte.

[tottomagoog]

Naturalmente non è definita, perché manca un altro vincolo che non hai ancora usato, ma non vuol dire che quel risultato sia sbagliato. C'è l'altra equazione no? Lì non spariscono le costanti fisiche necessarie a determinare la soluzione che come Faussone ha giustamente ricordato devono permanere. Usa anche quella. Applica le formule di sottrazione del seno e sostituisci dentro la condizione del coseno. Sempre seguendo l'occhio, che quindi può fallare, mi pare resti una condizione del tipo somma dei seni degli angoli pari a quella costante complessiva. Fai questa verifica e vediamo cosa esce.

[anonymous_0b37e9]

Come ti hanno fatto notare, si tratta di risolvere un sistema di due equazioni. Dopo aver determinato le soluzioni della prima:

$[\theta_1=\theta_2=\pi/2] vv [\theta_1=\theta_2=3/2\pi] vv [\theta_2=\pi-\theta_1]$

è necessario sostituire nella seconda:

$[\theta_1=\theta_2=\pi/2] vv [\theta_1=\theta_2=3/2\pi] ^^ [mgcos\theta_1+kRsin(\theta_1-\theta_2)=0] rarr [0=0]$

$[\theta_2=\pi-\theta_1] ^^ [mgcos\theta_1+kRsin(\theta_1-\theta_2)=0] rarr [mgcos\theta_1-kRsin2\theta_1=0] rarr$

$rarr [cos\theta_1(mg-2kRsin\theta_1)=0] rarr [sin\theta_1=(mg)/(2kR)]$

[anonymous_f3d38a]

Scusa ma non capisco cosa intendi

[anonymous_0b37e9]

Non c'è una terza equazione:

$\{(mgcos\theta_1+kRsin(\theta_1-\theta_2)=0),(mgcos\theta_2-kRsin(\theta_1-\theta_2)=0):} harr \{(mgcos\theta_1+kRsin(\theta_1-\theta_2)=0),(cos\theta_1+cos\theta_2=0):}$

[Faussone]

"anonymous_f3d38a":Scusate se sono duro (quasi di coccio)... Non capisco quale sia la terza equazione da scrivere. C'ho ragionato su ma non mi è venuto in mente niente.

All'inizio leggendo il tuo risultato finale e il primo commento di ZerOmega avevo frainteso.

Non c'è una terza equazione, una volta trovata la relazione tra i coseno devi sostituirla ancora per calcolare uno dei $theta$ e quindi anche l'altro.
@anonymous_0b37e9 ha svolto tutto in pratica.

[anonymous_f3d38a]

Ho capito. Grazie mille a tutti, soprattutto a Sergeant Elias!!!