Energia potenziale e forze non conservative
Buonasera,
mi sono imbattuto nello studio dei vari tipi di energia (cinetica, potenziale...) e con la definizione di energia potenziale ho dei dubbi.
La definizione di energia potenziale è \( \triangle U = -L = \int_{x_i}^{x_f} F(x)dx \).
Se $x_i = x_f$ \( \Rightarrow \) l'integrale \( \int_{x_i}^{x_i} F(x)dx \) è nullo, quindi \( \triangle U = 0 \).
Se ci sono solo forze conservative, cioè si ha $L=0$ per un percorso chiuso, questa definizione "torna".
Se invece ci sono forze non conservative non è detto che $L=0$ in un percorso chiuso e quindi non è detto si abbia \( \triangle U = 0 \) come invece dovrebbe essere seguendo la definizione. In pratica sarebbe come avere una funzione che associa ad un elemento del dominio due elementi del codominio (contro la definizione).
Dato che la definizione di energia potenziale potrebbe essere violata, sarebbe corretto dire che nel momento in cui sono presenti forze non conservative l'energia potenziale non esiste? Oppure è un modo sbagliato di dire/pensare?
mi sono imbattuto nello studio dei vari tipi di energia (cinetica, potenziale...) e con la definizione di energia potenziale ho dei dubbi.
La definizione di energia potenziale è \( \triangle U = -L = \int_{x_i}^{x_f} F(x)dx \).
Se $x_i = x_f$ \( \Rightarrow \) l'integrale \( \int_{x_i}^{x_i} F(x)dx \) è nullo, quindi \( \triangle U = 0 \).
Se ci sono solo forze conservative, cioè si ha $L=0$ per un percorso chiuso, questa definizione "torna".
Se invece ci sono forze non conservative non è detto che $L=0$ in un percorso chiuso e quindi non è detto si abbia \( \triangle U = 0 \) come invece dovrebbe essere seguendo la definizione. In pratica sarebbe come avere una funzione che associa ad un elemento del dominio due elementi del codominio (contro la definizione).
Dato che la definizione di energia potenziale potrebbe essere violata, sarebbe corretto dire che nel momento in cui sono presenti forze non conservative l'energia potenziale non esiste? Oppure è un modo sbagliato di dire/pensare?
Risposte
"Lorenzo_99":
[...] sarebbe corretto dire che nel momento in cui sono presenti forze non conservative l'energia potenziale non esiste? Oppure è un modo sbagliato di dire/pensare?
Be' sì...il potenziale si può definire solo per un campo di forze conservative.
"Faussone":
Be' sì...il potenziale si può definire solo per un campo di forze conservative.
A questo punto mi sorgono 2 domande:
1° domanda:
Esistono dei casi in cui ci sono sia forze conservative che non conservative e che debba essere presente anche dell'energia potenziale?
In questo caso come dovrei trattare l'energia potenziale visto che non è definita per quelle forze non conservative?
2° domanda (ignorando l'esistenza dell'energia interna):
Dal principio della conservazione dell'energia abbiamo che la variazione di energia cinetica è uguale alla variazione di energia potenziale ( \( \triangle K = -\triangle U \) ) nel caso di forze conservative che agiscono su un percorso chiuso (nel caso di forze conservative che agiscono su un percorso non chiuso ciò non è vero poiché il lavoro non è nullo).
Nel caso di forze non conservative però, dato che l'energia potenziale non esiste, in cosa si traduce questo principio?
EDIT: aggiunto il segno meno all'uguaglianza \( \triangle K = \triangle U \).
"Lorenzo_99":
1° domanda:
Esistono dei casi in cui ci sono sia forze conservative che non conservative e che debba essere presente anche dell'energia potenziale?
In questo caso come dovrei trattare l'energia potenziale visto che non è definita per quelle forze non conservative?
Dipende quello che devi fare.... Comunque se hai delle forze conservative è utile utilizzare il concetto di energia potenziale: banalmente hai un corpo in cima ad un piano inclinato, sai il coefficiente di attrito dinamico tra piano e corpo e vuoi calcolare la velocità finale che il corpo ha quando giunge alla fine del piano inclinato. Ovviamente in tal caso è comodo utilizzare l'energia potenziale gravitazionale.
"Lorenzo_99":
2° domanda (ignorando l'esistenza dell'energia interna):
Dal principio della conservazione dell'energia abbiamo che la variazione di energia cinetica è uguale alla variazione di energia potenziale ( \( \triangle K = \triangle U \) ) nel caso di forze conservative che agiscono su un percorso chiuso (nel caso di forze conservative che agiscono su un percorso non chiuso ciò non è vero poiché il lavoro non è nullo).
Cosa è che non è vero nel caso il percorso non fosse chiuso? Non capisco quello che vuoi dire...
"Lorenzo_99":
Nel caso di forze non conservative però, dato che l'energia potenziale non esiste, in cosa si traduce questo principio?
Nel caso di forze non conservative non è vero che si conserva l'energia meccanica (somma di energia cinetica e potenziale) va considerato il lavoro delle forze non conservative appunto.
"Faussone":
Dipende quello che devi fare.... Comunque se hai delle forze conservative è utile utilizzare il concetto di energia potenziale: banalmente hai un corpo in cima ad un piano inclinato, sai il coefficiente di attrito dinamico tra piano e corpo e vuoi calcolare la velocità finale che il corpo ha quando giunge alla fine del piano inclinato. Ovviamente in tal caso è comodo utilizzare l'energia potenziale gravitazionale.
Il fatto però che ci sia attrito (forza non conservativa) non altera in qualche modo il risultato atteso con l'energia potenziale?
Cioè: se non ci fosse attrito userei senza pensarci l'energia potenziale sapendo di ottenere un risultato corretto. Nel momento in cui la forza di attrito è presente non userei l'energia potenziale perché penserei di ottenere un risultato incoerente/non corretto in quanto è una forza non conservativa per cui l'energia potenziale non è definita.
Volendo trovare un'analogia sarebbe come usare le formule del moto rettilineo uniforme per un moto uniformemente accelerato ( = risultati non corretti).
"Faussone":
Cosa è che non è vero nel caso il percorso non fosse chiuso? Non capisco quello che vuoi dire...
Se il percorso non è chiuso ($x_i != x_f$) non è detto che il lavoro sia nullo (anche se le forze sono conservative). Di conseguenza non si avrebbe a priori \( \triangle K = -\triangle U \), bensì \( \triangle K + \triangle U = L \) $ != 0$.
"Faussone":
Nel caso di forze non conservative non è vero che si conserva l'energia meccanica (somma di energia cinetica e potenziale) va considerato il lavoro delle forze non conservative appunto
Quindi in generale (sia per forze conservative che non) si ha \( \triangle K + \triangle U = L \). Se il lavoro è nullo allora l'energia si conserva, se il lavoro non è nullo l'energia non si conserva.
Poi quale sia il motivo per cui il lavoro è nullo o meno (ad es. una forza conservativa che "lavora" su un percorso chiuso) non è rilevante. È corretto?
A questo punto però mi domando, visto che in generale si ha \( \triangle K + \triangle U = L \), come si definisce \( \triangle U \) se siamo con forze non conservative? Cioè questo tipo di energia non esiste con queste forze per cui il principio in cosa consisterebbe? Solo in \( \triangle K = L \)?
"Lorenzo_99":
Il fatto però che ci sia attrito (forza non conservativa) non altera in qualche modo il risultato atteso con l'energia potenziale?
Cioè: se non ci fosse attrito [....]
Il potenziale si riferisce alla forza gravitazionale ovviamente, non all'attrito: anche se c'è attrito non fa un bel nulla, devi solo tener conto che la variazione di energia potenziale non finisce tutta in energia cinetica, ma che parte è spesa in lavoro di attrito.
"Lorenzo_99":
Se il percorso non è chiuso ($x_i != x_f$) non è detto che il lavoro sia nullo (anche se le forze sono conservative). Di conseguenza non si avrebbe a priori \( \triangle K = -\triangle U \), bensì \( \triangle K + \triangle U = L \) $ != 0$.
Continuo a non capire, lavoro di cosa? Quale è lo scenario che hai in mente?
"Lorenzo_99":
Quindi in generale (sia per forze conservative che non) si ha \( \triangle K + \triangle U = L \). Se il lavoro è nullo allora l'energia si conserva, se il lavoro non è nullo l'energia non si conserva.
Poi quale sia il motivo per cui il lavoro è nullo o meno (ad es. una forza conservativa che "lavora" su un percorso chiuso) non è rilevante. È corretto?
[...]
Come sopra: lavoro di chi?
Se sei in un campo di forze conservative (un campo gravitazionale per esempio) l'energia meccanica si conserva se non agiscono altre forze non conservative, altrimenti va considerato il lavoro delle forze non conservative che fa diminuire l'energia meccanica. Tutto lì.
Forse sto facendo confusione per via dell'assenza dell'energia interna e di una spiegazione non esatta del principio di conservazione dell'energia (che non credo sia \( L_{totale} \) $= Delta K + Delta U$ ma bensì $L_(noncons) = Delta K + Delta U$).
Quindi, ripartendo da capo:
l'energia meccanica $E_M$ di un sistema si conserva se il lavoro non conservativo totale (di tutte le forze non conservative agenti sul sistema) è nullo.
Nel caso non ci siano forze non conservative il lavoro non conservativo è ovviamente nullo => l'energia meccanica si conserva (infatti $Delta E_M = L_(noncons) = 0$).
In tutti gli altri casi (presenza di forze non conservative) il lavoro non conservativo non è nullo e di conseguenza l'energia meccanica varia.
Questo principio di conservazione dell'energia ($L_(noncons) = Delta K + Delta U$ oppure, in un'altra forma, \( L_{totale} \) $= Delta K$ dove \( L_{totale} \) $ = L_(noncons) + L_(cons)$ e $L_(cons) = - Delta U$) vale in generale (sia con forze conservative che non conservative). Nel caso non ci siano forze conservative l'energia potenziale è semplicemente nulla (visto che per le non conservative non è definita) e si ha $L_(noncons) = Delta K$.
Esempi:
Nel caso di un corpo che si sposta su un piano orizzontale si ha una forza non conservativa (attrito) che spende un po' di energia meccanica per compiere lavoro (l'energia meccanica spesa è per la precisione energia cinetica che diventa energia interna).
Nel caso di un corpo che scende su un piano inclinato senza attrito si ha solo una forza conservativa, dunque l'energia meccanica si conserva (l'energia potenziale si trasforma in cinetica, ergo l'energia meccanica è invariata).
Nel caso di un corpo che scende su un piano inclinato con attrito si ha sia una forza conservativa che una non conservativa. In questo caso l'energia meccanica non si conserva (l'energia potenziale si trasforma in cinetica e una parte della cinetica viene spesa; per la precisione la parte della cinetica spesa per l'attrito diventa energia interna).
Ho sbagliato qualcosa?
Quindi, ripartendo da capo:
l'energia meccanica $E_M$ di un sistema si conserva se il lavoro non conservativo totale (di tutte le forze non conservative agenti sul sistema) è nullo.
Nel caso non ci siano forze non conservative il lavoro non conservativo è ovviamente nullo => l'energia meccanica si conserva (infatti $Delta E_M = L_(noncons) = 0$).
In tutti gli altri casi (presenza di forze non conservative) il lavoro non conservativo non è nullo e di conseguenza l'energia meccanica varia.
Questo principio di conservazione dell'energia ($L_(noncons) = Delta K + Delta U$ oppure, in un'altra forma, \( L_{totale} \) $= Delta K$ dove \( L_{totale} \) $ = L_(noncons) + L_(cons)$ e $L_(cons) = - Delta U$) vale in generale (sia con forze conservative che non conservative). Nel caso non ci siano forze conservative l'energia potenziale è semplicemente nulla (visto che per le non conservative non è definita) e si ha $L_(noncons) = Delta K$.
Esempi:
Nel caso di un corpo che si sposta su un piano orizzontale si ha una forza non conservativa (attrito) che spende un po' di energia meccanica per compiere lavoro (l'energia meccanica spesa è per la precisione energia cinetica che diventa energia interna).
Nel caso di un corpo che scende su un piano inclinato senza attrito si ha solo una forza conservativa, dunque l'energia meccanica si conserva (l'energia potenziale si trasforma in cinetica, ergo l'energia meccanica è invariata).
Nel caso di un corpo che scende su un piano inclinato con attrito si ha sia una forza conservativa che una non conservativa. In questo caso l'energia meccanica non si conserva (l'energia potenziale si trasforma in cinetica e una parte della cinetica viene spesa; per la precisione la parte della cinetica spesa per l'attrito diventa energia interna).
Ho sbagliato qualcosa?
Se vuoi scrivere la conservazione dell'energia in ottica primo principio allora vale per un dato sistema:
$Delta U=-L$
dove in $U$ considero sia variazioni di energia interna che potenziale che cinetica. ...che di qualunque altra forma, $L$è il lavoro fatto dal sistema sull'esterno e assunto non ci siano scambi di calore con l'esterno.
Non c'entra nulla in questa ottica la distinzione tra lavoro delle forze conservative o meno.
$Delta U=-L$
dove in $U$ considero sia variazioni di energia interna che potenziale che cinetica. ...che di qualunque altra forma, $L$è il lavoro fatto dal sistema sull'esterno e assunto non ci siano scambi di calore con l'esterno.
Non c'entra nulla in questa ottica la distinzione tra lavoro delle forze conservative o meno.
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