Energia potenziale
consideriamo 2 aste omogenee di massa $m$ e lunghezza $L$ collegate tramite uno dei 2 estremi che chiamiamo $A$: la prima ha l'altro estremo vincolato in $O:="origine"$, mentre la seconda ha l'estremo $B$ libero di muoversi lungo l'asse delle ordinate (moto piano).
Supponiamo infine che i 2 estremi liberi ($OB$) siano collegati da una molla di costante $k$ e che il sistema si trovi su un piano verticale e sia sottoposto alla forza di gravità. Si denoti con $theta$ l'angolo formato dal segmento $OA$ e dall'asse $y$.
sto trovando difficoltà in un passaggio di questo esercizio fatto a lezione:
cercando i punti di equilibrio si arriva a trovare che l'equazione di Eulero-Lagrange è:
$2sin(theta)*(-mgL+2kL^2cos(theta))=0$
e ciò avviene se:
$1) sin(theta)=0 -> theta=0,pi$
$2) theta=+-arccos(mg/(2kL))$,con $0<=mg/(2kL)<=1$,ovvero $theta=theta_1$ oppure $theta=2pi-theta_1$
e l'energia potenziale è $U=2kL^2 cos^2(theta)-2mglcos(theta)$
da cui:
$U'(theta)=2Lsin(theta)*(-2kLcos(theta)+mg)$
da qui iniziano i miei dubbi: per studiare il segno di $u'(theta)$ il docente divide 2 casi
$1) k<=mg/(2kL)$
$2) k>mg/(2kL)$
perchè? non ho capito questa necessità?
inoltre senza fare praticamente nessun conto dice che è ovvio che:
se siamo nel caso $1)$ allora $U'(theta)>0 if theta in (0,pi)$ e $U'(theta)<0 if theta in (pi,2pi)$
se siamo nel caso $2)$ allora $U'(theta)>0 if theta in (theta_1,pi)$ oppure $theta in (2pi-theta_1,2pi)$ e $U'(theta)<0 if theta "altrimenti"$
come fa a trovare questi valori di $theta$?
e perchè nel caso $1)$ non si considera l'angolo $theta_1$ e $2pi-theta_1$ mentre nel caso $2)$ si?
grazie
Supponiamo infine che i 2 estremi liberi ($OB$) siano collegati da una molla di costante $k$ e che il sistema si trovi su un piano verticale e sia sottoposto alla forza di gravità. Si denoti con $theta$ l'angolo formato dal segmento $OA$ e dall'asse $y$.
sto trovando difficoltà in un passaggio di questo esercizio fatto a lezione:
cercando i punti di equilibrio si arriva a trovare che l'equazione di Eulero-Lagrange è:
$2sin(theta)*(-mgL+2kL^2cos(theta))=0$
e ciò avviene se:
$1) sin(theta)=0 -> theta=0,pi$
$2) theta=+-arccos(mg/(2kL))$,con $0<=mg/(2kL)<=1$,ovvero $theta=theta_1$ oppure $theta=2pi-theta_1$
e l'energia potenziale è $U=2kL^2 cos^2(theta)-2mglcos(theta)$
da cui:
$U'(theta)=2Lsin(theta)*(-2kLcos(theta)+mg)$
da qui iniziano i miei dubbi: per studiare il segno di $u'(theta)$ il docente divide 2 casi
$1) k<=mg/(2kL)$
$2) k>mg/(2kL)$
perchè? non ho capito questa necessità?
inoltre senza fare praticamente nessun conto dice che è ovvio che:
se siamo nel caso $1)$ allora $U'(theta)>0 if theta in (0,pi)$ e $U'(theta)<0 if theta in (pi,2pi)$
se siamo nel caso $2)$ allora $U'(theta)>0 if theta in (theta_1,pi)$ oppure $theta in (2pi-theta_1,2pi)$ e $U'(theta)<0 if theta "altrimenti"$
come fa a trovare questi valori di $theta$?
e perchè nel caso $1)$ non si considera l'angolo $theta_1$ e $2pi-theta_1$ mentre nel caso $2)$ si?
grazie
Risposte
"Aletzunny":
$U'(theta)=2Lsin(theta)*(-2kLcos(theta)+mg)$
da qui iniziano i miei dubbi: per studiare il segno di $U'(theta)$ il docente divide 2 casi
$1) k<=mg/(2L)$
$2) k>mg/(2L)$
perchè? non ho capito questa necessità?
[...]
come fa a trovare questi valori di $theta$?
e perchè nel caso $1)$ non si considera l'angolo $theta_1$ e $2pi-theta_1$ mentre nel caso $2)$ si?
Sta risolvendo una semplice disequazione goniometrica.
[tex]2L\sin\theta\cdot(-2kL\cos\theta+mg)> 0[/tex]
Studiamo separatamente i segni dei due fattori nell'intervallo [tex][0,2\pi)[/tex]:
[*:3t860i0z][tex]2L\sin\theta>0[/tex] sse [tex]\theta\in(0,\pi)[/tex];[/*:m:3t860i0z]
[*:3t860i0z][tex]-2kL\cos\theta+mg>0[/tex] sse [tex]\cos\theta < \frac{mg}{2kL}[/tex]; si distinguono due casi:
[*:3t860i0z]se [tex]\frac{mg}{2kL}\geq1[/tex] sse [tex]k\leq\frac{mg}{2L}[/tex] la retta di equazione [tex]y=\frac{mg}{2kL}[/tex] interseca il grafico del coseno nel punto di massimo [tex]\theta=0[/tex] (se [tex]k=\frac{mg}{2L}[/tex]), e quindi annulla l'energia potenziale, oppure non lo interseca (se [tex]k<\frac{mg}{2L}[/tex]), e pertanto il secondo fattore è sempre positivo in [tex](0,2\pi)[/tex] poiché [tex]\cos\theta\leq 1\leq\frac{mg}{2kL}[/tex].[/*:m:3t860i0z]
[*:3t860i0z]se [tex]0<\frac{mg}{2kL}<1[/tex] sse [tex]k>\frac{mg}{2L}>0[/tex], allora la retta di equazione [tex]y=\frac{mg}{2kL}[/tex] interseca il grafico del coseno nei punti di ascissa [tex]\theta_1[/tex] e [tex]2\pi-\theta_1[/tex] che hai calcolato in precedenza, e il secondo fattore è positivo nell'intervallo [tex](\theta_1,2\pi-\theta_1)[/tex].[/*:m:3t860i0z][/list:u:3t860i0z][/*:m:3t860i0z][/list:u:3t860i0z]
Facendo la tabellina dei segni nei due casi hai:
[*:3t860i0z] per [tex]k\leq \frac{mg}{2L}[/tex], [tex]U'(\theta)>0[/tex] per [tex]\theta\in(0,\pi)[/tex];[/*:m:3t860i0z]
[*:3t860i0z] per [tex]k>\frac{mg}{2L}>0[/tex], [tex]U'(\theta)>0[/tex] per [tex]\theta\in (\theta_1,\pi)\cup(2\pi-\theta_1,2\pi)[/tex].[/*:m:3t860i0z][/list:u:3t860i0z]
"Aletzunny":
inoltre senza fare praticamente nessun conto dice che è ovvio che:
se siamo nel caso $1)$ allora $U'(theta)>0 if theta in (0,pi)$ e $U'(theta)<0 if theta in (pi,2pi)$
se siamo nel caso $2)$ allora $U'(theta)>0 if theta in (theta_1,pi)$ oppure $theta in (2pi-theta_1,2pi)$ e $U'(theta)<0 if theta "altrimenti"$
Il fatto che lui non abbia fatto i conti in classe non significa che tu non debba farli da solo a casa
Grazie mille! Ora ho capito! Non avevo capito il ragionamento alla base, mentre invece era uno studio di funzione.
Si è vero i conti vanno fatti a casa, ma alla mia domanda a lezione mi aveva risposto "è evidente dalla parte precedente" e quindi mi ero immaginato chissà quali ragionamenti ci fossero sotto e non ho pensato a fare i conti espliciti a mano.
Si è vero i conti vanno fatti a casa, ma alla mia domanda a lezione mi aveva risposto "è evidente dalla parte precedente" e quindi mi ero immaginato chissà quali ragionamenti ci fossero sotto e non ho pensato a fare i conti espliciti a mano.
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