Energia potenziale
Salve, ho un dubbio sull'energia potenziale. Ho capito che è legata a forze conservative.
Ma la definizione: La variazione di energia potenziale è uguale al lavoro fatto dalle forze è corretta? Grazie
Ma la definizione: La variazione di energia potenziale è uguale al lavoro fatto dalle forze è corretta? Grazie
Risposte
Ci sono vari modi di definirla. Provo a farti una trattazione un attimo rigorosa e ti presento i vari modi (equivalenti) di approcciare il problema.
Modo 1 (più semplice e comune)
Sia dato un campo di forze $\vec{F}:RR^3->RR^3$ e sia $\gamma:(a,b)->RR^3$ una curva nello spazio. Definisco lavoro di $F$ lungo $\gamma$ la quantità $W_\gamma=\int_\gamma \vec{F}*d\vec{s}$. [nota]Cosa è questo integrale? E' semplicemente l'integrale su $\gamma$ della 1-forma differenziale $F_1dx+F_2dy+F_3dz$[/nota]
Dico che tale campo è conservativo se per ogni $\gamma:(a,b)->RR^3$ tale che $\gamma(a)=\gamma(b)$ sia ha che $W_\gamma=0$. In tal caso, scelto $x_0\in RR^3$ posso definire una funzione $U:RR^3->RR$ tale che $U(x_0)=0$ e tale che per ogni curva $\eta:(c,d)->RR^3$ si ha che $U(c)-U(d)=W_\eta$. Tale funzione $U$ si dice potenziale della forza.
Modo 2
Alternativamente puoi dire che la forza è conservativa se esiste $U:RR^3->RR$ tale che $\vec{F}=-\nabla U$. Tale funzione si dice potenziale della forza. Nota che il potenziale non è univocamente definito da questa relazione ma come prima devi fissarne il valore in un punto.
Modo 3 (più astratto)
A $\vec{F}$ puoi associare una 1-forma differenziale $\omega \in \Omega^1(RR^3)$ definendo $\omega=F_1dx+F_2dy+F_3dz$. Dirai che la forza è conservativa se $\omega$ è una forma esatta, ovvero se esiste una funzione $U:RR^3->RR$ tale che $\omega=-dU$. Tale funzione si dice potenziale.
Modo 1 (più semplice e comune)
Sia dato un campo di forze $\vec{F}:RR^3->RR^3$ e sia $\gamma:(a,b)->RR^3$ una curva nello spazio. Definisco lavoro di $F$ lungo $\gamma$ la quantità $W_\gamma=\int_\gamma \vec{F}*d\vec{s}$. [nota]Cosa è questo integrale? E' semplicemente l'integrale su $\gamma$ della 1-forma differenziale $F_1dx+F_2dy+F_3dz$[/nota]
Dico che tale campo è conservativo se per ogni $\gamma:(a,b)->RR^3$ tale che $\gamma(a)=\gamma(b)$ sia ha che $W_\gamma=0$. In tal caso, scelto $x_0\in RR^3$ posso definire una funzione $U:RR^3->RR$ tale che $U(x_0)=0$ e tale che per ogni curva $\eta:(c,d)->RR^3$ si ha che $U(c)-U(d)=W_\eta$. Tale funzione $U$ si dice potenziale della forza.
Modo 2
Alternativamente puoi dire che la forza è conservativa se esiste $U:RR^3->RR$ tale che $\vec{F}=-\nabla U$. Tale funzione si dice potenziale della forza. Nota che il potenziale non è univocamente definito da questa relazione ma come prima devi fissarne il valore in un punto.
Modo 3 (più astratto)
A $\vec{F}$ puoi associare una 1-forma differenziale $\omega \in \Omega^1(RR^3)$ definendo $\omega=F_1dx+F_2dy+F_3dz$. Dirai che la forza è conservativa se $\omega$ è una forma esatta, ovvero se esiste una funzione $U:RR^3->RR$ tale che $\omega=-dU$. Tale funzione si dice potenziale.
quindi la variazione di energia potenziale è uguale al lavoro fatto dalle forze? Giusto?
La variazione di energia potenziale tra due punti di un qualcosa che si trova in un campo di forze conservativo è pari al lavoro fatto dalle forze del campo quando quel qualcosa passa da un punto all'altro del campo.
"chiaramc":
quindi la variazione di energia potenziale è uguale al lavoro fatto dalle forze? Giusto?
No. La variazione di energia potenziale è uguale all'opposto del lavoro fatto dalla forza conservativa. Per essere più chiari, detti $A$ e $B$, rispettivamente, il punto di partenza ed il punto di arrivo del corpo soggetto alla forza conservativa, si ha:
\(\displaystyle L_{A\rightarrow B}=U(A)-U(B)=-\Delta U \)
da cui
\(\displaystyle \Delta U = -L_{A\rightarrow B} \)
ok grazie. Quindi sarebbe stato corretto se diceva che la variazione di energia potenziale è uguale al lavoro fatto dalla forza conservativa, oppure al lavoro fatto dalle forze cambiato di segno?
Mi sembra molto chiaro il messaggio di mathbells, non ho capito perché richiedi quanto lui ha appena spiegato lì.
(Io avevo parlato genericamente di variazione di energia potenziale senza precisare nulla sui segni, avendo il focus sul discorso del lavoro delle forze conservative del campo, va prestato attenzione però appunto al fatto che la variazione di energia potenziale è uguale ma opposta al lavoro compiuto dalle forze del campo conservativo.)
(Io avevo parlato genericamente di variazione di energia potenziale senza precisare nulla sui segni, avendo il focus sul discorso del lavoro delle forze conservative del campo, va prestato attenzione però appunto al fatto che la variazione di energia potenziale è uguale ma opposta al lavoro compiuto dalle forze del campo conservativo.)
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