Energia potenziale
Ciao ragazzi 
sto studiando lavoro, energia cinetica e potenziale e mi sono imbattuto in questo fatto:
C'è però qualcosa che non mi torna. Partiamo dal fatto che secondo questa posizione ad un lavoro motore corrisponde una diminuzione di energia potenziale in quanto di avrebbe $DeltaU<0$ mentre ad un lavoro resistente corrisponde un aumento di energia potenziale.
Il problema è che se affrontassi matematicamente la cosa mi verrebbe esattamente l'opposto ossia
Se per esempio lanciassi un oggetto di massa $m$ verticalmente verso l'alto con velocità $v_0$ considerando come unica forza agente sulla massa la forza peso $P=-mghat(j)$ avremmo che il lavoro compiuto dalla forza peso sarà
[size=90]
che è ben diverso da $mgh$ a questo punto mi viene in mente: non è che forse la definizione di energia potenziale è
domanda: se consideriamo di poter porre il riferimento nel punto a potenziale nullo, non sarebbe corretto[nota]dico sarebbe perchè non so se ho semplicemente considerato una fonte sbagliata[/nota] affermare che l'energia potenziale che possiede un corpo in un punto equivale al lavoro necessario per riportarlo nella situazione iniziale?
sto studiando lavoro, energia cinetica e potenziale e mi sono imbattuto in questo fatto:
sia $F$ una forza conservativa e $U$ un potenziale scalare, allora si pone
$L=-DeltaU$
$L=-DeltaU$
C'è però qualcosa che non mi torna. Partiamo dal fatto che secondo questa posizione ad un lavoro motore corrisponde una diminuzione di energia potenziale in quanto di avrebbe $DeltaU<0$ mentre ad un lavoro resistente corrisponde un aumento di energia potenziale.
Il problema è che se affrontassi matematicamente la cosa mi verrebbe esattamente l'opposto ossia
$L=int_(a)^(b)F(r(t))*r'(t)dt=int_(a)^(b)nablaU(r(t))*r'(t)dt=U(r(b))-U(r(a))=DeltaU$
Se per esempio lanciassi un oggetto di massa $m$ verticalmente verso l'alto con velocità $v_0$ considerando come unica forza agente sulla massa la forza peso $P=-mghat(j)$ avremmo che il lavoro compiuto dalla forza peso sarà
[size=90]
$L=int_(0)^(s)P*(P/mt+v_0)dt=1/2mg^2s^2=mg*(1/2g s^2 )-mg*v_0s=-mg (underbrace(-1/2gs^2+sv_0)_(h))=-mgh$
[/size]che è ben diverso da $mgh$ a questo punto mi viene in mente: non è che forse la definizione di energia potenziale è
$E_(P)(Q)=-U(Q)+c$ e quindi $DeltaE_P=-DeltaU=-L=int_(b)^(a)F(r(t))*r'(t)dt$
domanda: se consideriamo di poter porre il riferimento nel punto a potenziale nullo, non sarebbe corretto[nota]dico sarebbe perchè non so se ho semplicemente considerato una fonte sbagliata[/nota] affermare che l'energia potenziale che possiede un corpo in un punto equivale al lavoro necessario per riportarlo nella situazione iniziale?
Risposte
Lanciando un sasso verso l'alto, il lavoro compiuto dalla forza peso (diretta verso il basso) è $-mgh$, negativo.
Se l'energia potenziale $U$ è definita da $L = -Delta U$, abbiamo $-mgh = - Delta U$ ossia $DeltaU = mgh$, positivo.
L'energia potenziale è AUMENTATA. Dov'è il problema?
Se l'energia potenziale $U$ è definita da $L = -Delta U$, abbiamo $-mgh = - Delta U$ ossia $DeltaU = mgh$, positivo.
L'energia potenziale è AUMENTATA. Dov'è il problema?
il problema è che $DeltaU$ è il risultato dato dal teorema fondamentale del calcolo integrale, ossia
se si ponesse $L=-DeltaU$ si avrebbe $DeltaU=-DeltaU => DeltaU=0$
Non può essere semplicemente che la definizione sia $E_P=-DeltaU$?
Secondo me c'è confusione nelle notazioni:
- $E_p:=$ energia potenziale
- $DeltaU:=$ lavoro
$L=int_(a)^(b)F(r(t))*r'(t)dt=U(r(b))-U(r(a))=DeltaU, nablaU=F$
se si ponesse $L=-DeltaU$ si avrebbe $DeltaU=-DeltaU => DeltaU=0$
Non può essere semplicemente che la definizione sia $E_P=-DeltaU$?
Secondo me c'è confusione nelle notazioni:
- $E_p:=$ energia potenziale
- $DeltaU:=$ lavoro
L'argomento è stato discusso innumerevoli volte.
Un post recente, dove mi pare che si chiarisca bene quanto c'è di convenzionale nella faccenda è questo
Un post recente, dove mi pare che si chiarisca bene quanto c'è di convenzionale nella faccenda è questo
Si l'avevo letta ieri questa discussione, però non ho risolto il dubbio.
Sono d'accordo sul fatto che siano convenzioni, quindi per convenzione e convenzione, preferisco vederla come
questa affermazione come la vedi?
Sono d'accordo sul fatto che siano convenzioni, quindi per convenzione e convenzione, preferisco vederla come
$E_p:=-DeltaU$
"anto_zoolander":
affermare che l'energia potenziale che possiede un corpo in un punto equivale al lavoro necessario per riportarlo nella situazione iniziale?
questa affermazione come la vedi?
"anto_zoolander":
l'energia potenziale che possiede un corpo in un punto equivale al lavoro necessario per riportarlo nella situazione iniziale
Ti propongo un esempio: hai una massa $m$ ad una quota $h$ rispetto al livello del mare. Qual è la sua situazione iniziale? Cioè, sai dov'era prima di essere lì? E supponiamo che tu lo sappia: prima di essere dove tu sai che era, sai dov'era? Qual è la situazione iniziale ? Sarà per questa visione delle cose che tutti gli integrali che hai scritto sono rispetto al tempo
?EDIT: per cosa la stai studiando sta roba?
"anto_zoolander":
[quote="anto_zoolander"]affermare che l'energia potenziale che possiede un corpo in un punto equivale al lavoro necessario per riportarlo nella situazione iniziale?
questa affermazione come la vedi?[/quote]
Dipende da cosa intendi per "situazione iniziale". Quella a potenziale zero? Mica tanto... direi che ha il segno opposto...
Per es., caso della gravità, caso 1: potenziale zero = livello del suolo. Se un corpo sta più in alto, il lavoro NECESSARIO per portarlo al suolo è NEGATIVO,se, per necessario, intendi quello compiuto da una forza ESTERNA, non dal peso. Se invece intendi il lavoro compiuto dal peso, ok, è positivo, e coincide con l'energia potenziale. Ma allora la frase sopra non va bene: non il lavoro "necessario", ma il lavoro "compiuto dalla forza del campo"
gravità, caso 2: potenziale zero all'infinito. Il lavoro necessario per portare un corpo all'infinito è positivo, mentre l'energia potenziale di un corpo in uno stato legato è negativa. Di nuovo, tutto va a posto se intendi come lavoro quello compiuto dalle forze del campo.
Quindi, la definizione che mi sento di appoggiare è:
l'energia potenziale che possiede un corpo in un punto equivale al lavoro compiuto dalle forze del campo per portarlo nel punto a potenziale zero
dove chiaramente resta l'arbitrarietà nella scelta del punto a potenziale zero
@entrambi
quindi se poniamo $A$ il punto a potenziale zero e $B$ un altro punto, essendo $F$ conservativa possiamo considerare un qualsiasi cammino $r$ che li colleghi.
Traducendo quello che hai detto equivale al dire
$E_p=int_(b)^(a)F(r(t))*r’(t)dt=-int_(a)^(b)F(r(t))*r’(t)dt=-L=-DeltaU$
Che poi in sostanza era quello che io, ossia che coincide con il lavoro necessario per riportarlo al punto di pontenziale nullo, o comunque al potenziale iniziale.
@pallit sto preparando fisica 1 a matematica e le cose non solidificate bene hanno vita breve nel mio cervello
quindi se poniamo $A$ il punto a potenziale zero e $B$ un altro punto, essendo $F$ conservativa possiamo considerare un qualsiasi cammino $r$ che li colleghi.
Traducendo quello che hai detto equivale al dire
$E_p=int_(b)^(a)F(r(t))*r’(t)dt=-int_(a)^(b)F(r(t))*r’(t)dt=-L=-DeltaU$
Che poi in sostanza era quello che io, ossia che coincide con il lavoro necessario per riportarlo al punto di pontenziale nullo, o comunque al potenziale iniziale.
@pallit sto preparando fisica 1 a matematica e le cose non solidificate bene hanno vita breve nel mio cervello
Temo che il problema sia legato ad una sottile differenza nel modo in cui i matematici ed i fisici definiscono la parentela tra forza e potenziale. Per i primi è $vec(F)=nabla phi$, per i secondi è $vec(F)=-nabla phi$. Se imposti il problema del corpo lanciato in aria con velocità iniziale $v_0$, hai:
$L_(A to B)=int_A^B(-mgvec(j))*dvec(r)=int_A^B(-mgvec(j))*(vec(j)dy)=-int_(h_1)^(h_2)mgdy=mgh_1-mgh_2=$
$=U(A)-U(B)$
se definisci $U(P)=mgh_P+U_0$. Il che è perfettamente coerente col fatto che se l'oggetto parte da terra (dove potremmo porre $h=0$) ed arriva ad una quota $h$ il lavoro compiuto dal peso sia $-mgh$.
$L_(A to B)=int_A^B(-mgvec(j))*dvec(r)=int_A^B(-mgvec(j))*(vec(j)dy)=-int_(h_1)^(h_2)mgdy=mgh_1-mgh_2=$
$=U(A)-U(B)$
se definisci $U(P)=mgh_P+U_0$. Il che è perfettamente coerente col fatto che se l'oggetto parte da terra (dove potremmo porre $h=0$) ed arriva ad una quota $h$ il lavoro compiuto dal peso sia $-mgh$.
Ecco hai colto il punto che mi mancava, che fosse definito così dai fisici il potenziale scalare.
Adesso ha tutto senso anche se nonostante tutto le cose continuano ad avere una sottile relazione considerando che il mio potenziale è l’opposto di quello mostrato da te precedentemente.
Quindi per lasciarlo legato alla mia memoria uso questa relazione
Che poi quel potenziale definito dai fisici è il potenziale del campo di forze opposto e che quindi ‘lavorano al contrario’
Grazie
Adesso ha tutto senso anche se nonostante tutto le cose continuano ad avere una sottile relazione considerando che il mio potenziale è l’opposto di quello mostrato da te precedentemente.
Quindi per lasciarlo legato alla mia memoria uso questa relazione
Che poi quel potenziale definito dai fisici è il potenziale del campo di forze opposto e che quindi ‘lavorano al contrario’
Grazie
Eh voi siete dei perversi, come la faccenda del versore normale scelto entrante nelle superfici chiuse, che sballa il segno nel teorema della divergenza… mah, bisogna aver pazienza.
Per questo la matematica mi piace così tanto
Qualche autore più chiaro degli altri , come il Mencuccini-Silvestrini , chiarisce bene come stanno le cose; parte dalla definizione del lavoro , per un campo di forze conservativo , che una forza esegue nello spostamento dal punto iniziale $A$ al punto finale $B$ :
come funzione solo del punto iniziale $A$ e del punto finale $B$ . E lo esprime alla maniera dei matematici ( per cosí dire ...) , definendo una funzione $V(P) $ delle coordinate , che chiama "funzione potenziale " , tale che :
Poi, pero' , dovendo illustrare il teorema della conservazione dell'energia meccanica, più avanti definisce la funzione "energia potenziale" , come l'opposto del potenziale : $ U = -V$ , e cosí le cose tornano a posto per quanto riguarda la fisica . Ecco la pagina :
Tra i due paragrafi, c'è una introduzione semplice delle forme differenziali lineari, dei differenziali esatti , e del gradiente , in cui si mostra che :
$f_i (x,y,z) = (delV)/(del x_i) $
per cui :
che sono le componenti del gradiente[nota]lasciamo da parte, qui, l'interpretazione più corretta per cui il gradiente non è un vettore ma una 1-forma , sono finezze che appartengono ad un campo superiore[/nota].
Non so se questo approccio faccia piu confusione, poiché in fisica si parla "sempre" di energia potenziale. Ad ogni modo, quello che conta sono le "differenze " di energia potenziale, intese come Iniziale - finale Questa differenza è uguale alla differenza tra energia cinetica finale e quella iniziale ; da cui il teorema di conservazione dell'energia per forze conservative :
$ L_(ArarrB) = int_A^B vecf*dvecs = f(A,B) $
come funzione solo del punto iniziale $A$ e del punto finale $B$ . E lo esprime alla maniera dei matematici ( per cosí dire ...) , definendo una funzione $V(P) $ delle coordinate , che chiama "funzione potenziale " , tale che :
$f(A,B) = V(B) - V(A) $
Poi, pero' , dovendo illustrare il teorema della conservazione dell'energia meccanica, più avanti definisce la funzione "energia potenziale" , come l'opposto del potenziale : $ U = -V$ , e cosí le cose tornano a posto per quanto riguarda la fisica . Ecco la pagina :
Tra i due paragrafi, c'è una introduzione semplice delle forme differenziali lineari, dei differenziali esatti , e del gradiente , in cui si mostra che :
$f_i (x,y,z) = (delV)/(del x_i) $
per cui :
$vecf = nabla V = - nabla U $
che sono le componenti del gradiente[nota]lasciamo da parte, qui, l'interpretazione più corretta per cui il gradiente non è un vettore ma una 1-forma , sono finezze che appartengono ad un campo superiore[/nota].
Non so se questo approccio faccia piu confusione, poiché in fisica si parla "sempre" di energia potenziale. Ad ogni modo, quello che conta sono le "differenze " di energia potenziale, intese come Iniziale - finale Questa differenza è uguale alla differenza tra energia cinetica finale e quella iniziale ; da cui il teorema di conservazione dell'energia per forze conservative :
$K_i + U_i = K_f + U_f$
Veramente bello, questa è stata l'idea che mi ha portato alla mia affermazione.
Leggere che non è inutile mi rincuora 
Ti ringrazio.
Ora metto un esercizio su questo argomento, abbastanza semplice, il cui fine è semplicemente coglierne il ragionamento. Ci vediamo lì
Leggere che non è inutile mi rincuora
Ti ringrazio.
Ora metto un esercizio su questo argomento, abbastanza semplice, il cui fine è semplicemente coglierne il ragionamento. Ci vediamo lì
Semplicemente si distingue tra potenziale ed energia potenziale. Il potenziale è il potenziale matematico, l'energia potenziale è il potenziale cambiato di segno, per ragioni di convenienza.
"Vulplasir":
Semplicemente si distingue tra potenziale ed energia potenziale. Il potenziale è il potenziale matematico, l'energia potenziale è il potenziale cambiato di segno, per ragioni di convenienza.
ed era proprio questo fatto che io ignoravo e che non sono riuscito a trovare, mi sembrava che le avessero definite come la stessa cosa.
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