Energia meccanica, reazione normale- esercizio
Ciao a tutti, vi scrivo perché non capisco dove sbaglio in questo esercizio.
Io ho imposto che l'energia meccanica alla base della guida circolare sia puramente cinetica, e ho chiamato la velocità che ha il punto materiale quando si trova alla base della guida circolare come $tilde(v)$.
Dopodiché, ho imposto che l'energia meccanica quando il punto materiale si trova alla base della guida circolare, sia maggiore dell'energia potenziale di quando il punto materiale si trova nel punto più alto della guida circolare.
Facendo ciò, dato che ho conservazione dell'energia meccanica, quando il punto materiale si troverà nel punto più alto della guida circolare, avrà anche dell'energia cinetica e non si staccherà dalla guida.
$1/2mtilde(v)^2 >= 2mgR$
$tilde(v) >= 2sqrt(gR)$
Dopodichè, chiamiamo $L$ la lunghezza del tratto inclinato.
Assumendo che il punto materiale parta da fermo dalla parte di guida rettilinea inclinata di $pi/4$, uso nuovamente la conservazione dell'energia meccanica:
$mgLsin(pi/4)= 1/2mtilde(v)^2$
$L= sqrt(2)/2 (4gR)/g$
$L= 2sqrt(2)R$
La mia soluzione sembra essere sbagliata. La soluzione corretta è $5/sqrt(2)R$.
Dice inoltre di provare a risolverlo considerando la reazione vincolare $N$ della guida maggiore di zero.
Io non capisco dove sbaglio, per quale ragione non giungo alla soluzione corretta?
Ed inoltre non saprei come risolverlo nell'altro modo da lui suggerito, utilizzando la reazione vincolare $N$.
Io ho imposto che l'energia meccanica alla base della guida circolare sia puramente cinetica, e ho chiamato la velocità che ha il punto materiale quando si trova alla base della guida circolare come $tilde(v)$.
Dopodiché, ho imposto che l'energia meccanica quando il punto materiale si trova alla base della guida circolare, sia maggiore dell'energia potenziale di quando il punto materiale si trova nel punto più alto della guida circolare.
Facendo ciò, dato che ho conservazione dell'energia meccanica, quando il punto materiale si troverà nel punto più alto della guida circolare, avrà anche dell'energia cinetica e non si staccherà dalla guida.
$1/2mtilde(v)^2 >= 2mgR$
$tilde(v) >= 2sqrt(gR)$
Dopodichè, chiamiamo $L$ la lunghezza del tratto inclinato.
Assumendo che il punto materiale parta da fermo dalla parte di guida rettilinea inclinata di $pi/4$, uso nuovamente la conservazione dell'energia meccanica:
$mgLsin(pi/4)= 1/2mtilde(v)^2$
$L= sqrt(2)/2 (4gR)/g$
$L= 2sqrt(2)R$
La mia soluzione sembra essere sbagliata. La soluzione corretta è $5/sqrt(2)R$.
Dice inoltre di provare a risolverlo considerando la reazione vincolare $N$ della guida maggiore di zero.
Io non capisco dove sbaglio, per quale ragione non giungo alla soluzione corretta?
Ed inoltre non saprei come risolverlo nell'altro modo da lui suggerito, utilizzando la reazione vincolare $N$.
Risposte
Hai sbagliato qui
$mgLsin[pi/4]=1/2mv^2$
$mgLsin[pi/4]=1/2mv^2$
"professorkappa":
Hai sbagliato qui
$mgLsin[pi/4]=1/2mv^2$
Perché?
Se pongo lo zero della funzione potenziale sulla retta orizzontale sulla quale giace la guida circolare,
ho che, nell'istante iniziale, l'energia meccanica è uguale a:
$E=U+T = mgLsin(pi/4)+0= mgLsin(pi/4)$
nell'istante in cui il punto materiale arriva sulla suddetta retta, ho che l'energia meccanica è uguale a:
$E=U+T = 0+1/2mv^2= 1/2mv^2$
Dato che l'energia meccanica si conserva, pongo l'energia meccanica iniziale uguale all'energia meccanica finale, che significa scrivere:
$mgLsin(pi/4)=1/2mv^2$
da cui:
$L= (1/2v^2)/(g sin(pi/4)$
Dove sta l'errore? Dovevo forse scrivere, anziché $=$, $>=$ ? Trovando quanto deve essere la lunghezza per l'appunto minima?
Il risultato non cambierebbe.
Ma tu devi far fare il gro completo alla macchina!!!!
Vuol dire che la macchina deve arrivare con velocita $v^2/R$ in cima al cerchio altrimenti casca giu' prima di arrivarci.
Quindi?
Vuol dire che la macchina deve arrivare con velocita $v^2/R$ in cima al cerchio altrimenti casca giu' prima di arrivarci.
Quindi?
"professorkappa":
Ma tu devi far fare il gro completo alla macchina!!!!
Vuol dire che la macchina deve arrivare con velocita $v^2/R$ in cima al cerchio altrimenti casca giu' prima di arrivarci.
Quindi?
Perché $v^2/R $ ? Non capisco perché proprio quel valore.
@anonymous_f3d38a
Non dice che la macchina deve arrivare fino all'altezza massima della guida circolare, ma che deve fare il giro completo lungo la guida, quindi deve percorrere una traiettoria circolare per cui nel punto più alto della traiettoria la forza peso deve fornire esattamente l'accelerazione centripeta alla macchina (quindi la reazione della guida sulla macchina deve essere nulla).
Non dice che la macchina deve arrivare fino all'altezza massima della guida circolare, ma che deve fare il giro completo lungo la guida, quindi deve percorrere una traiettoria circolare per cui nel punto più alto della traiettoria la forza peso deve fornire esattamente l'accelerazione centripeta alla macchina (quindi la reazione della guida sulla macchina deve essere nulla).
Ciao
$sen(pi/4)=sqrt(2)/2$ e $h_min=5/2R$ per noti motivi.
Infatti se fai il bilancio energetico nel punto più critico, ovvero nel punto del cerchio con energia potenziale massima hai:
$mgh sin(pi/4)= 2mgr+1/2 mgR$
Questo poiché deve essere $mv^2/r=mg$ quindi $v^2=gr$
E ti viene il risultato
$sen(pi/4)=sqrt(2)/2$ e $h_min=5/2R$ per noti motivi.
Infatti se fai il bilancio energetico nel punto più critico, ovvero nel punto del cerchio con energia potenziale massima hai:
$mgh sin(pi/4)= 2mgr+1/2 mgR$
Questo poiché deve essere $mv^2/r=mg$ quindi $v^2=gr$
E ti viene il risultato
"Lucacs":
Ciao
$sen(pi/4)=sqrt(2)/2$ e $h_min=5/2R$ per noti motivi.
Infatti se fai il bilancio energetico nel punto più critico, ovvero nel punto del cerchio con energia potenziale massima hai:
$mgh sin(pi/4)= 2mgr+1/2 mgR$
Questo poiché deve essere $mv^2/r=mg$ quindi $v^2=mg$
E ti viene il risultato
Ciao Faussone, professorkappa e Lucacs, vi ringrazio per avermi risposto.
Non capisco tre concetti.
1) Perché $mv^2/r=mg$ ? Dov'è la reazione normale della guida $N$?
Io avrei scritto $mv^2/r=mg + N$
Ho sempre saputo che se la reazione vincolare della guida $N$ è uguale a zero, il punto materiale si stacca dalla guida!
2) Perché, per fare un giro completo (detto anche giro della morte), la velocità deve essere proprio maggiore o uguale a quel valore?
3) $mv^2/r=mg$
implica
$v^2=gr$ giusto?
Te lo chiedo perché manca il termine $r$ nel secondo membro della tua seconda equazione.
Si scusami metto a posto
Quando il punto arriva nel cerchio ad avere massimo potenziale locale, questo viene bilanciato dall'energia cinetica.
In questo modo non hai la reazione e il punto non si stacca. Sono le condizioni di minimo.
La velocità non è nulla, perché il potenziale iniziale e'maggiore, ma tu non sai quanto, e questo lo ricavi
$N=m(a_c-g) =m(v^2/r -g) $
Stai semplicemente applicando la seconda equazione di Newton quando $vartheta=pi$
$P+N=ma$ che nel tuo caso diventa
$ N-mgcos(vartheta) =ma_c$ dove si ha $cos(vartheta) =-1$
Quando il punto arriva nel cerchio ad avere massimo potenziale locale, questo viene bilanciato dall'energia cinetica.
In questo modo non hai la reazione e il punto non si stacca. Sono le condizioni di minimo.
La velocità non è nulla, perché il potenziale iniziale e'maggiore, ma tu non sai quanto, e questo lo ricavi
$N=m(a_c-g) =m(v^2/r -g) $
Stai semplicemente applicando la seconda equazione di Newton quando $vartheta=pi$
$P+N=ma$ che nel tuo caso diventa
$ N-mgcos(vartheta) =ma_c$ dove si ha $cos(vartheta) =-1$
@ Lucacs: [ot]Ma alla fine troviamo sempre $3mg$ o no?[/ot]
"Lucacs":
Si scusami metto a posto
Quando il punto arriva nel cerchio ad avere massimo potenziale locale, questo viene bilanciato dall'energia cinetica.
Cosa vuol dire "questo viene bilanciato dall'energia cinetica" ?
"Lucacs":
In questo modo non hai la reazione e il punto non si stacca.
Perché questo accade?
Esiste quindi un caso in cui, pur avendo la reazione normale $N$ uguale a zero, il punto non si stacca?
"Lucacs":
Sono le condizioni di minimo.
?
"Lucacs":
La velocità non è nulla, perché il potenziale iniziale e'maggiore, ma tu non sai quanto, e questo lo ricavi
$N=m(a_c-g) =m(v^2/r -g) $
Stai semplicemente applicando la seconda equazione di Newton quando $vartheta=pi$
$P+N=ma$ che nel tuo caso diventa
$ N-mgcos(vartheta) =ma_c$ dove si ha $cos(vartheta) =-1$
Ma $N$ non era uguale a zero? Non avevamo detto che non avevamo la reazione?
Nel punto piu' alto, concordi che la legge e'
$mg+N=mv^2/R$
Se si, N=0 e' la condizione di imminente distacco. Fino a che c'e' N, il corpo sta premendo sulla guida, verso l'alto. Se N e' nulla e' in condizione limite di distacco.
Quindi l'energia totale del corpo in alto e' $1/2mv^2+2mgR$.
L'energia all'inizio e' $mgLsqrt2/2$
Eguaglia e hai fatto.
$mg+N=mv^2/R$
Se si, N=0 e' la condizione di imminente distacco. Fino a che c'e' N, il corpo sta premendo sulla guida, verso l'alto. Se N e' nulla e' in condizione limite di distacco.
Quindi l'energia totale del corpo in alto e' $1/2mv^2+2mgR$.
L'energia all'inizio e' $mgLsqrt2/2$
Eguaglia e hai fatto.
"professorkappa":
...
Quindi l'energia totale del corpo in alto e' $1/2mv^2+2mgR$.
L'energia all'inizio e' $mgLsqrt2/2$
Eguaglia e hai fatto.
Tuttavia se scrivo:
$mgLsqrt2/2 = 1/2mv^2+2mgR$.
Ho un'equazione e due incognite, che sono $v$ e $L$.
Sbaglio?
Seguo il post, ho le stesse perplessità che ha training e lunedì ho l'esame perdincibacco.
Non hai 1 equazione, ti sei dimenticato di
$mg+N=mv^2/R$ che a casa mia e' un'equazione
E ora non dirmi che hai 3 incognite, eh ?????
$mg+N=mv^2/R$ che a casa mia e' un'equazione
E ora non dirmi che hai 3 incognite, eh ?????
È corretta la soluzione ufficiale data.
È corretto che nel punto più alto della guida la velocità deve essere $sqrt(gR)$
È corretto dire che la reazione della guida dev'essere maggiore di zero affinché la macchina non si stacchi dalla guida per cui, in direzione radiale centripeta, deve valere
$mv^2/R=N-mg cos theta$
Con $theta$ angolo tra direzione verticale e raggio posizione della macchina sulla guida, quindi $theta=0°$ nel punto più basso e 180° nel più alto.
Quindi
$N=mv^2/R+mg cos theta>=0$
Nel punto più alto la reazione va al limite di zero da cui discende quanto detto.
Edit. Ha risposto pure pk, vabbé repetita iuvant...
È corretto che nel punto più alto della guida la velocità deve essere $sqrt(gR)$
È corretto dire che la reazione della guida dev'essere maggiore di zero affinché la macchina non si stacchi dalla guida per cui, in direzione radiale centripeta, deve valere
$mv^2/R=N-mg cos theta$
Con $theta$ angolo tra direzione verticale e raggio posizione della macchina sulla guida, quindi $theta=0°$ nel punto più basso e 180° nel più alto.
Quindi
$N=mv^2/R+mg cos theta>=0$
Nel punto più alto la reazione va al limite di zero da cui discende quanto detto.
Edit. Ha risposto pure pk, vabbé repetita iuvant...
"professorkappa":
Non hai 1 equazione, ti sei dimenticato di
$mg+N=mv^2/R$ che a casa mia e' un'equazione
E ora non dirmi che hai 3 incognite, eh ?????
Con grande vergogna invece te lo dico.
Avrei due equazioni con due incognite se non ci fosse $N$. Ma non riesco ancora a capacitarmi del fatto che $N$ sia uguale a zero.
Ommaria.
facciamo cosi. Affinche il corpo resti attaccato deve essere N>0.
Almeno qui ti trovi, spero.
Allora $N=mv^2/R-mg>0$
Ora se sostituisci e risolvi per L ti verra L>5/sqrt2R$
quindi per valori maggiori di L il corpo non si stacca nel punto piu alto, anzi preme creando una reazione versa il basso.
Nel punto L preciso preciso il corpo "sfiora" la guida in alto ma la forza centrifuga non lo fa cadere.
E' piu' chiaro cosi?
facciamo cosi. Affinche il corpo resti attaccato deve essere N>0.
Almeno qui ti trovi, spero.
Allora $N=mv^2/R-mg>0$
Ora se sostituisci e risolvi per L ti verra L>5/sqrt2R$
quindi per valori maggiori di L il corpo non si stacca nel punto piu alto, anzi preme creando una reazione versa il basso.
Nel punto L preciso preciso il corpo "sfiora" la guida in alto ma la forza centrifuga non lo fa cadere.
E' piu' chiaro cosi?
Visto che repetita juvant, come dice Faussone, metto un paio di link a vecchie discussioni sul “giro della morte” , anche se non è bello citare se stessi :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8397463
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8363795
digitando “giro della morte” nella casella “cerca...” , vengono fuori 185 messaggi.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8397463
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8363795
digitando “giro della morte” nella casella “cerca...” , vengono fuori 185 messaggi.
Grazie mille a tutti!!!
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