Energia Meccanica Pendolo.

[Ame1992]

Ciao a tutti,
devo calcolare l'energia meccanica di un asta (per poi calcolare l'accelerazione angolare), di massa M e lunghezza 4R imperneata nel suo estremo superiore tramite un perno orizzontale, e un disco di massa M e raggio R, imperneato in B (l'altro estremo dell'asta). L'asta forma con la verticale un angolo $ theta $ di $ pi /6 $.

Ho proceduto così:
E=T+U

T=(Energia cinetica asta+Energia cinetica disco)= $ 1/ 2 MV_G^2 + 1 / 2 I_A dot(theta)^2 + 1 / 2 MV_B^2 $
$ rarr $ Siccome l'asta ruota e trasla ho messo sia energia cinetica rotazionale che quella classica chiamando con G il centro di massa. Il disco dato che è imperniato non ruota, quindi ha solo energia cinetica di traslazione.

$ rarr V_G^2=4R^2 dot(theta)^2 $ , $ V_B^2=16R^2 dot(theta)^2 $ , $ I_A= (M16R^2) / 3+(MR^2) / 2+ 16MR^2 = 131/6 MR^2 $

Allora l'energia cinetica totale del sistema diventerà:
$ 1/ 2 M4R^2 dot(theta)^2 + 131/12 MR^2 dot (theta)^2 + 1 / 2 M16R^2 dot(theta)^2 = $

$ = 2MR^2 dot(theta)^2 + 131/12 MR^2 dot(theta)^2 + 8MR^2 dot(theta)^2= 191/6 MR^2 dot(theta)^2 $

Per calcolare l'energia potenziale gravitazionale U, ho preso come punto 0, quando l'asta è verticale. Ho trovato il centro di massa del sistema e ho calcolato l'altezza $ h_C $ che mi viene $ 4R-4R cos theta $:

$ U=2Mgh_C = 2Mg(4R-4Rcos theta) $

L'energia meccanica totale mi diventa allora:
$ E= 191/6 MR^2 dot(theta)^2 + 2Mg(4R-4Rcos theta) = 191/6 MR^2 dot(theta)^2 + 8MgR - 8MgR cos theta $

Per trovare l'accelerazione del sistema ne faccio la derivata nel tempo:
$ (dE)/dt = 382/6 MR^2 dot(theta)^2 ddot(theta) + dot(theta)8MgR sen theta = 0 rarr $ siccome le forze sono conservative.

Ditemi se il mio ragionamento è giusto perchè alla fine non mi torna il risultato che dovrebbe... dovrebbe tornare $ 10,5 (rad)/s^2 $ ma non mi torna...

Grazie Mille e scusate il tempo rubato.

[Ame1992]

Non rispondete in troppi mi raccomando...