Energia meccanica o Lagrangiana?

[wackos1]

Buongiorno a tutti.

avrei bisogno, se possibile, di alcune delucidazioni.

Sto studiando meccanica razionale e sono giunto alle equazioni di moto.
vedendo alcuni esercizi svolti ho notato che in alcuni esercizi (per calcolare le equazioni del moto) viene utilizzata la conservazione dell'energia meccanica ovvero:

$ E = T - U $ da cui $(dE)/dt = 0 $ e mi trovo l'equazione

In altri esercizi invece viene utilizzata la Lagrangiana, ovvero:

$ L = T + U $ da cui $d/dt ((dL)/dot(x)) = (dL)/dx $ (nel caso di x coordinata libera) e mi trovo l'equazione.

Io se devo esser sincero ho provato a risolvere alcuni esercizi con lo stesso metodo e devo dire che mi sono usciti... non so se è un caso o se è così che funziona. Se cosi dovesse essere mi chiedo... come faccio nel caso di più coordinate libere? nel caso del metodo della Lagrangiana non ci sono problemi (derivo una coordinata libera alla volta e ottengo più equazioni) ma, nel caso della conservazione dell'energia meccanica come ottengo più equazioni?

spero di esser stato abbastanza chiaro. Ringrazio tutti in anticipo

[poll89]

mmm francamente non ho mai usato l'energia meccanica in questo modo. A occhio direi che con l'energia meccanica non ottieni più equazioni ma una sola perchè la conservazione dell'energia discende semplicemente dalla definizione di potenziale, e quindi vale solo $d/(dt) E = 0$. otterrai comunque un'equazione del moto ma sarà una funzione in più variabili.
Potrei sbagliarmi eh, come ho detto non uso mai E in questo modo. Di quel che segue sono piuttosto sicuro invece.

Per la Lagrangiana il discorso cambia: magari non non lo sai perchè nel tuo corso si salta allegramente ma per forze generiche (ovvero non necessariamente conservative) esistono comunque delle equazioni di Lagrange e si dimostrano a partire dalla legge di newton $ F = m ddot x$ (uso il grassetto per i vettori, altrimenti con anche i puntini poi non si capisce niente ).
Chiaramente, siccome non abbiamo un potenziale, non avremo la lagrangiana, ed infatti tali equazioni riguardano l'energia cinetica ed una "forza generalizzata" che non sto a definirti qui. Se ti interessa questa parte posso mandarti il link alle dispense su cui ho studiaot e sto tuttora studiando; lì trovi tutto, compresa la dim di quanto dico adesso.

Nel caso particolare in cui le forze in gioco siano conservative, quindi si abbia un potenziale, allora si definisce la funzione lagrangiana e si ottengono le equazioni di Lagrange nella forma che hai usato anche tu nell'esercizio. Questo si fa perchè quest'ultima forma è decisamente più semplice da usare nella pratica.

conclusione: se hai una sola variabile e forze conservative, puoi usare L o E indifferentemente per le equazioni del moto, ma se hai più variabili allora L si impone in virtù delle equazioni di Lagrange.