Energia in circuiti RL
Volevo capire come si gestisce il "bilancio energetico" in presenza di campi elettromagnetici. Ho un circuito RL su cui scorre della corrente alternata. Nel libro c'è scritto che nell'induttore "si immagazzina energia", e questa viene conteggiata come $$\frac{1}{2} L^2 I$$. Cosa significa l'espressione "energia immagazzinata in un induttore? Di che tipo di energia stiamo parlando? Domanda secondo me correlata: se sull'induttore circola una "corrente indotta", questa per effetto joule produrrà un ulteriore riscaldamento del filo. Da dove viene presa quest'energia? l'energia non dovrebbe essere fornita solo dalla batteria?
Risposte
... sei sicuro che sia riportata in quel modo 
Ad ogni modo se abbiamo una rete L R (per esempio in serie) in regime sinusoidale (ovvero a transitorio esaurito), avremo che la corrente $i(t)$ attraverserà sia l'induttore (ideale) sia il resistore (ideale) e quindi avremo che ai morsetti di detti bipoli (per ipotesi unica "porta" di scambio energetico degli stessi con il mondo esterno), anche delle tensioni $v_L(t)$ e $v_R(t)$, che si possono ricavare dalle equazioni costitutive degli stessi (legge di Faraday-Neumann-Lenz per l'induttore e legge di Ohm per il resistore).
La potenza che istantaneamente viene a transitare da queste "porte" sarà data dal prodotto dei valori istantanei delle rispettive $v(t)$ e della comune $i(t)$; una volta assunta la convenzione di corrente entrante nel morsetto scelto positivo per la misura della tensione, potremo poi asserire che se $v(t)i(t)>0$ la potenza sarà veramente entrante nel bipolo, se minore di zero, uscente.
Nell'induttore, per esempio, il passaggio di una corrente produrrà un campo magnetico associato al flusso $Li(t)$ e quindi maggiore sarà la corrente, maggiore sarà l'energia immagazzinata nel campo magnetico, di conseguenza, per la sinusoidalità di $i(t)$ questo campo avrà delle oscillazioni nel tempo, fra un valore massimo ad un valore minimo nullo; visto poi che supponendo la corrente sinusoidale $i(t)=I_Msin(\omega t)$ la legge di F-N-L porterà ad una tensione cosinusoidale,
$v_L(t)=L\frac{\di(t) }{\dt}=\omega L I_Mcos(\omega t)$
la potenza assorbita da L sarà alternativamente positiva e negativa, visto che dipende dal prodotto $sin()cos()$, ma avrà valore medio nullo, ovvero uno scambio e non un reale assorbimento.
Diverso è il discorso per il resistore, nel quale (per Ohm) la $v_R(t)=Ri(t)$ e quindi la $p(t)=v(t)i(t)=Ri(t)^2$ sempre maggiore di zero, vista la dipendenza da $sin^2()$ ; potenza che sarà sempre assorbita e trasformata per effetto Joule in calore.
L'energia necessaria sia per creare il campo magnetico sia per l'effetto Joule sarà fornita dal generatore di tensione che alimenta la serie dei due bipoli ma, mentre quella richiesta del resistore è sempre positiva (assorbita) quella richiesta dall'induttore può essere sia positiva (assorbita), negli intervalli di tempo nei quali $v_L(t)$ e $i(t)$ sono entrambe positive o negative, sia negativa (generata) negli intervalli di tempo nei quali $v_L(t)$ e $i(t)$ hanno segno opposto (restituita all'annullarsi del campo magnetico).
Ad ogni modo se abbiamo una rete L R (per esempio in serie) in regime sinusoidale (ovvero a transitorio esaurito), avremo che la corrente $i(t)$ attraverserà sia l'induttore (ideale) sia il resistore (ideale) e quindi avremo che ai morsetti di detti bipoli (per ipotesi unica "porta" di scambio energetico degli stessi con il mondo esterno), anche delle tensioni $v_L(t)$ e $v_R(t)$, che si possono ricavare dalle equazioni costitutive degli stessi (legge di Faraday-Neumann-Lenz per l'induttore e legge di Ohm per il resistore).
La potenza che istantaneamente viene a transitare da queste "porte" sarà data dal prodotto dei valori istantanei delle rispettive $v(t)$ e della comune $i(t)$; una volta assunta la convenzione di corrente entrante nel morsetto scelto positivo per la misura della tensione, potremo poi asserire che se $v(t)i(t)>0$ la potenza sarà veramente entrante nel bipolo, se minore di zero, uscente.
Nell'induttore, per esempio, il passaggio di una corrente produrrà un campo magnetico associato al flusso $Li(t)$ e quindi maggiore sarà la corrente, maggiore sarà l'energia immagazzinata nel campo magnetico, di conseguenza, per la sinusoidalità di $i(t)$ questo campo avrà delle oscillazioni nel tempo, fra un valore massimo ad un valore minimo nullo; visto poi che supponendo la corrente sinusoidale $i(t)=I_Msin(\omega t)$ la legge di F-N-L porterà ad una tensione cosinusoidale,
$v_L(t)=L\frac{\di(t) }{\dt}=\omega L I_Mcos(\omega t)$
la potenza assorbita da L sarà alternativamente positiva e negativa, visto che dipende dal prodotto $sin()cos()$, ma avrà valore medio nullo, ovvero uno scambio e non un reale assorbimento.
Diverso è il discorso per il resistore, nel quale (per Ohm) la $v_R(t)=Ri(t)$ e quindi la $p(t)=v(t)i(t)=Ri(t)^2$ sempre maggiore di zero, vista la dipendenza da $sin^2()$ ; potenza che sarà sempre assorbita e trasformata per effetto Joule in calore.
L'energia necessaria sia per creare il campo magnetico sia per l'effetto Joule sarà fornita dal generatore di tensione che alimenta la serie dei due bipoli ma, mentre quella richiesta del resistore è sempre positiva (assorbita) quella richiesta dall'induttore può essere sia positiva (assorbita), negli intervalli di tempo nei quali $v_L(t)$ e $i(t)$ sono entrambe positive o negative, sia negativa (generata) negli intervalli di tempo nei quali $v_L(t)$ e $i(t)$ hanno segno opposto (restituita all'annullarsi del campo magnetico).
$1/2 L I^2$
up
up
Visto che insisti mi costringi a risponderti.
Premesso che non conosco la tua preparazione in fisica e/o campi elettromagnetici, ma prima di capire che cosa rappresenta la relazione $ 1/2LI^2 $, devi capire che cosa vogliono dire in termici fisici le parole " immagazzinata " e ( cosa molto più importante ) " energia".
Partiamo dalla più facile che è la parola " immagazzinata ". Questo termine è del tutto equivalente a quello che si usa in termodinamica quando si parla di " energia interna di un sistema " ( quello che solitamente si indica con $dU$ ). E fino a qui penso non vi siano problemi.
Per quanto riguarda, invece, la seconda parola, ENERGIA, qui le cose si complicano leggermente e ti chiedo: come definiresti in termini rigorosi l'energia di un sistema?
Se sai rispondere a questa domanda stai a metà strada
Premesso che non conosco la tua preparazione in fisica e/o campi elettromagnetici, ma prima di capire che cosa rappresenta la relazione $ 1/2LI^2 $, devi capire che cosa vogliono dire in termici fisici le parole " immagazzinata " e ( cosa molto più importante ) " energia".
Partiamo dalla più facile che è la parola " immagazzinata ". Questo termine è del tutto equivalente a quello che si usa in termodinamica quando si parla di " energia interna di un sistema " ( quello che solitamente si indica con $dU$ ). E fino a qui penso non vi siano problemi.
Per quanto riguarda, invece, la seconda parola, ENERGIA, qui le cose si complicano leggermente e ti chiedo: come definiresti in termini rigorosi l'energia di un sistema?
Se sai rispondere a questa domanda stai a metà strada
Giusto per darti un altro aiuto, è noto che, ad esempio, l'energia potenziale di una massa puntiforme vale $ E_p=mgh $ mentre l'energia cinetica vale $ E_c=1/2mv^2 $.
Sebbene entrambe le chiamiamo energie e le misuriamo in $J$ esiste una profonda differenza tra le due energie in termini di definizione rigorosa.
Sebbene entrambe le chiamiamo energie e le misuriamo in $J$ esiste una profonda differenza tra le due energie in termini di definizione rigorosa.
L'energia potenziale è il lavoro, cambiato di segno, che un campo conservativo fa sopra un sistema che si sposta da un punto O preso come riferimento, e il punto in esame.
L'energia cinetica invece è solo un termine matematico tale che il lavoro che faccio per spostare un punto da A a B è uguale a $$K(B)-K(A)$$
L'energia cinetica invece è solo un termine matematico tale che il lavoro che faccio per spostare un punto da A a B è uguale a $$K(B)-K(A)$$
Non ti ho chiesto questo, ma la definizione di energia. Ripeto: che cos'è l'energia di un qualsiasi sistema?
ci avviciniamo al filosofico..l'energia totale è un espressione matematica, o meglio un "integrale primo" che in presenza di forze solo conservative si mantiene costante durante il moto.
Semplicemente ti accorgi di scrivere il lavoro da una traiettoria A-B sia come
$L = K(B)-K(A) = \frac{1}{2} mv_b^2-\frac{1}{2} mv_a^2$
che come
$L = U_B-U_A$ (1)
dove U_j è il lavoro fatto dal punto di riferimento fino al punto j. La (1) usa che su un percorso chiuso il lavoro totale è nullo, che è come dire che la forza è un differenziale esatto
Semplicemente ti accorgi di scrivere il lavoro da una traiettoria A-B sia come
$L = K(B)-K(A) = \frac{1}{2} mv_b^2-\frac{1}{2} mv_a^2$
che come
$L = U_B-U_A$ (1)
dove U_j è il lavoro fatto dal punto di riferimento fino al punto j. La (1) usa che su un percorso chiuso il lavoro totale è nullo, che è come dire che la forza è un differenziale esatto
Ci sei quasi, ma staccati dalla matematica: l'energia di un sistema ( ricordati quello che accade in termodinamica ) è una funzione delle sole variabili di stato del sistema!
Infatti in termodinamica, sebbene $Q$ ed $L$ li misuriamo in $J$, non le indichiamo con il simbolo di differenziale esatto perchè non sono energie nel senso stretto della definizione che ho dato prima, ma sono delle " energie in transito ", mentre $U$ è la vera energia interna o immagazzinata nel sistema in quanto è funzione delle sole variabile di stato.
Analoga cosa sulle energie potenziale e cinetica, la prima non è una energia nel senso stretto della definizione mentre la seconda lo è ( ti ricordo che mentre la velocità è una variabile di stato per un sistema, lo spostamento non è variabile di stato ).
Capito, ora, che cosa è l'energia, si tratta di capire quanto vale l'energia interna del sistema campo magnetico ( o in generale campo elettromagnetico ); ma non so i tuoi studi dove arrivano: ad esempio, hai mai sentito parlare del teorema di Poynting?
Infatti in termodinamica, sebbene $Q$ ed $L$ li misuriamo in $J$, non le indichiamo con il simbolo di differenziale esatto perchè non sono energie nel senso stretto della definizione che ho dato prima, ma sono delle " energie in transito ", mentre $U$ è la vera energia interna o immagazzinata nel sistema in quanto è funzione delle sole variabile di stato.
Analoga cosa sulle energie potenziale e cinetica, la prima non è una energia nel senso stretto della definizione mentre la seconda lo è ( ti ricordo che mentre la velocità è una variabile di stato per un sistema, lo spostamento non è variabile di stato ).
Capito, ora, che cosa è l'energia, si tratta di capire quanto vale l'energia interna del sistema campo magnetico ( o in generale campo elettromagnetico ); ma non so i tuoi studi dove arrivano: ad esempio, hai mai sentito parlare del teorema di Poynting?
Capisco poco questa tua "demonizzazione" della matematica!XD
Comunque non vedo in che modo dentro un induttore debba esserci dell' "energia interna", per lo meo,no in senso termodinamico...io vedo solo un filo arrotolato su cui scorre della corrente, e che produce un campo magnetico variabile che causa a sua volta una corrente indotta...ciò detto, chi fornisce l'energia a questi elettroni? Dentro un circuito RL l'energia si conserva?
Comunque non vedo in che modo dentro un induttore debba esserci dell' "energia interna", per lo meo,no in senso termodinamico...io vedo solo un filo arrotolato su cui scorre della corrente, e che produce un campo magnetico variabile che causa a sua volta una corrente indotta...ciò detto, chi fornisce l'energia a questi elettroni? Dentro un circuito RL l'energia si conserva?
Non demonizzo assolutamente la matematica, anzi...però alcuni concetti prescindono a volte dalla matematica.
Quel filo di cui parli tu è frutto delle teorie che tu stai affrontando negli studi e non il viceversa.
Detto questo si dimostra che, senza troppi giri di parole, che l'energia posseduta da un campo magnetico vale:
$ W=1/2muH^2 V_(ol)$ ( in realtà non è proprio così perchè $H$ è un campo vettoriale, ma supponiamolo reale tanto per le approssimazioni che faremo sta bene cosi )
PS: come vedi tale energia è intesa nel senso vero del termine: essa dipende solo dalle variabili di stato del sistema campo magnetico ovvero dal campo magnetico stesso.
Bene se usiamo la legge di circuitazione del campo magnetico ( nel caso più elementare possibile ), si ottiene:
$ W=1/2muH^2V_(ol)=1/2mu(Ni)^2/l^2V_(ol)=1/2mu(Ni)^2/lS=1/2mu(N^2S)/li^2=1/2Li^2 $
Dove:
$ L=muN^2S/l $
è stato dato il nome di coefficiente di induzione.
Ora chi ha studiato queste cose, ha preso questa relazione e ha capito che per ottenere una induttanza bastava prendere un filo di lunghezza $l$, che avesse una certa sezione $S$, avvolgerlo $N$ volte su di un supporto qualsiasi e farlo percorrere da una corrente $i$.
Purtroppo per noi, i circuiti elettrici sono frutto dei campi elettromagnetici e non il viceversa.
Quel filo di cui parli tu è frutto delle teorie che tu stai affrontando negli studi e non il viceversa.
Detto questo si dimostra che, senza troppi giri di parole, che l'energia posseduta da un campo magnetico vale:
$ W=1/2muH^2 V_(ol)$ ( in realtà non è proprio così perchè $H$ è un campo vettoriale, ma supponiamolo reale tanto per le approssimazioni che faremo sta bene cosi )
PS: come vedi tale energia è intesa nel senso vero del termine: essa dipende solo dalle variabili di stato del sistema campo magnetico ovvero dal campo magnetico stesso.
Bene se usiamo la legge di circuitazione del campo magnetico ( nel caso più elementare possibile ), si ottiene:
$ W=1/2muH^2V_(ol)=1/2mu(Ni)^2/l^2V_(ol)=1/2mu(Ni)^2/lS=1/2mu(N^2S)/li^2=1/2Li^2 $
Dove:
$ L=muN^2S/l $
è stato dato il nome di coefficiente di induzione.
Ora chi ha studiato queste cose, ha preso questa relazione e ha capito che per ottenere una induttanza bastava prendere un filo di lunghezza $l$, che avesse una certa sezione $S$, avvolgerlo $N$ volte su di un supporto qualsiasi e farlo percorrere da una corrente $i$.
Purtroppo per noi, i circuiti elettrici sono frutto dei campi elettromagnetici e non il viceversa.
Mi viene sempre piu da chiedere cosa sia "l'energia di un campo magnetico". Non è energia potenziale: infatti B non è conservativo....
Come disse una volta il mio prof di campi elettromagnetici ( Ovidio Mario Bucci ): se l'uomo riuscisse a capire che cos'è veramente l'energia allora riusciurebbe a sconfiggere la morte.
Accontentati della definizione classico: la capacità di un sistema a compiere lavoro, in questo caso è la capacità del campo magnetico a compiere lavoro
Accontentati della definizione classico: la capacità di un sistema a compiere lavoro, in questo caso è la capacità del campo magnetico a compiere lavoro
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