Energia elettrostatica superficie sferica
Ciao, mi sono trovato ad un dubbio per il calcolo dell'energia elettrostatica di una superficie sferica (di raggio R e carica Q), per un r>R generico.
Vi spiego che relazioni ho usato ed in che modo:
$ U(r)=1/2intsigma*V*dS $ , con V=potenziale e l'integrale esteso alla superficie S
$ sigma(r)=Q/(4*pi*r^2 $
$ V(r)=Q/(4*pi*epsi*r $
$ U(r)=1/2int(Q/(4*pi*r^2))*(Q/(4*pi*epsi*r))*dS $ poi $ U(r)=1/2*(Q^2/(16*epsi*(pi^2)))int1/(r^3)*dS $
Ora ho pensato: che se varia la superficie varia anche il raggio, quindi r è funzione di S [r(s)], quindi non posso portarlo fuori dall'integrale.
Ho pensato quindi di ricorrere alla coordinate sferiche:
$ U(r)=1/2*(Q^2/(16*epsi*(pi^2)))int1/(r^3)*r^2*sen(alpha)*dalpha*cos(phi) $
ma giungo ad un risultato non corretto.
Giungerei al risultato corretto se arrivato a questo punto $ U(r)=1/2*(Q^2/(16*epsi*(pi^2)))int1/(r^3)*dS $ considerassi r indipendente da S e lo portassi fuori dall'integrale.
Sapete chiarirmi un pò le idee?
Grazie!
[modifica al messaggio]
Ho notato che arrivato a questo punto $ U(r)=1/2*(Q^2/(16*epsi*(pi^2)))int1/(r^3)*r^2*sen(alpha)*dalpha*cos(phi) $ non ho un dr nell'integrale, quindi posso direttamente portare fuori 1/r e dopo giungo al risultato corretto.
Ma ancora non mi torna concettualmente che in questo passaggio $ U(r)=1/2*(Q^2/(16*epsi*(pi^2)))int1/(r^3)*dS $ posso portare fuori r anche se r(s).
[ulteriore modifica al messaggio]
Ho forse capito dove è l'errore nel mio ragionamento, quando affermo che se varia la superficie varia anche il raggio è vero. Ma per quanto riguarda l'integrale sarebbe S(r) e non r(S). E' la superficie ad essere dipendente dal raggio e non è molto corretto che sia il raggio a dipendere dalla superficie.
é così?
Ho preferito lasciarvi tutti i passaggi iniziali e le ulteriori modifiche per farvi capire meglio il ragionamento.
Vi spiego che relazioni ho usato ed in che modo:
$ U(r)=1/2intsigma*V*dS $ , con V=potenziale e l'integrale esteso alla superficie S
$ sigma(r)=Q/(4*pi*r^2 $
$ V(r)=Q/(4*pi*epsi*r $
$ U(r)=1/2int(Q/(4*pi*r^2))*(Q/(4*pi*epsi*r))*dS $ poi $ U(r)=1/2*(Q^2/(16*epsi*(pi^2)))int1/(r^3)*dS $
Ora ho pensato: che se varia la superficie varia anche il raggio, quindi r è funzione di S [r(s)], quindi non posso portarlo fuori dall'integrale.
Ho pensato quindi di ricorrere alla coordinate sferiche:
$ U(r)=1/2*(Q^2/(16*epsi*(pi^2)))int1/(r^3)*r^2*sen(alpha)*dalpha*cos(phi) $
ma giungo ad un risultato non corretto.
Giungerei al risultato corretto se arrivato a questo punto $ U(r)=1/2*(Q^2/(16*epsi*(pi^2)))int1/(r^3)*dS $ considerassi r indipendente da S e lo portassi fuori dall'integrale.
Sapete chiarirmi un pò le idee?
Grazie!
[modifica al messaggio]
Ho notato che arrivato a questo punto $ U(r)=1/2*(Q^2/(16*epsi*(pi^2)))int1/(r^3)*r^2*sen(alpha)*dalpha*cos(phi) $ non ho un dr nell'integrale, quindi posso direttamente portare fuori 1/r e dopo giungo al risultato corretto.
Ma ancora non mi torna concettualmente che in questo passaggio $ U(r)=1/2*(Q^2/(16*epsi*(pi^2)))int1/(r^3)*dS $ posso portare fuori r anche se r(s).
[ulteriore modifica al messaggio]
Ho forse capito dove è l'errore nel mio ragionamento, quando affermo che se varia la superficie varia anche il raggio è vero. Ma per quanto riguarda l'integrale sarebbe S(r) e non r(S). E' la superficie ad essere dipendente dal raggio e non è molto corretto che sia il raggio a dipendere dalla superficie.
é così?
Ho preferito lasciarvi tutti i passaggi iniziali e le ulteriori modifiche per farvi capire meglio il ragionamento.
Risposte
Ti ricordo che l'elemento infinitesimo d'area di una superficie sferica è $dS=r^2 sin(\theta) d\theta d\phi$ . Quindi? Non stai integrando sul raggio, sei su una superficie sferica quindi, per definizione, a raggio costante. Cosa non ti torna?
Ponendolo in coordinate sferiche mi torna. Ma visto senza coordinate sferiche potevo ragionare sul fatto che la superficie dipende dal raggio ma il raggio non dipende dalla superficie e portare quindi fuori dall'integrale il termine 1/(r^3) ?
Allora se la superficie dipende dal raggio , il raggio non può non dipendere dalla superficie. Il punto è che quell'integrale è fatto a raggio costante. Non dai il valore, certo, quindi resta indicato ma quale che sia è fisso nell'integrazione. Quindi se vuoi portalo fuori e poi moltiplica per l'area della superficie sferica, ma è esattamente quello che la scrittura della misura infinitesima ti dice non sono due ragionamenti diversi. Comunque ti consiglio di fare sempre tutti i passaggi in questi casi, a tirare fuori roba si rischia di sbagliare.
Si, hai ragione se la superficie dipende dal raggio, il raggio non può dipendere dalla superficie.
Facevo confusione su questo discorso.
Ho iniziato a pensare che se variava la superficie variava anche il raggio.
Grazie!
Facevo confusione su questo discorso.
Ho iniziato a pensare che se variava la superficie variava anche il raggio.
Grazie!
"matteo_g":
se la superficie dipende dal raggio, il raggio non può dipendere dalla superficie.
Curiosa, questa affermazione...
Ho detto non può non dipendere. Tuttavia in questo caso il problema non si pone perché il raggio lo fissi tu e ti muovi solo con gli angoli. Cioè cambiando il raggio cambia S e cambiando S cambia r ma nel momento in cui scegli la superficie di integrazione stai fissando il raggio automaticamente. Chiaro ora?
mi sono espresso male, ma come concetto confermo ciò che ho scritto (che credo sia anche ciò suggerito da nikikinki), in questo caso il raggio non può dipendere dalla superficie.
Io fisso il raggio, quindi sarà la superficie a dipendere dal raggio e non viceversa.
Io fisso il raggio, quindi sarà la superficie a dipendere dal raggio e non viceversa.
Quando dici che il raggio non dipende dalla superficie fai venire una sincope a tutti 
Cerco di spiegarmi meglio, poi il risultato è lo stesso ma metterti in testa concetti sbagliati poi ti farà sbagliare in quei casi in cui il "risultato non è lo stesso". Credo tu abbia un problema di fondo con il concetto stesso di integrazione. Cioè non ha senso dire che il raggio non dipende dalla superficie, perché se l'elemento d'area è $dS=r^2 sin(\theta) d\theta d\phi$ allora $r^2=(dS)/(sin(\theta) d\theta d\phi)$. Il punto è che devi capire bene cosa significa calcolare un integrale.
$\int f(.) dx $ significa che stai sommando il valore della funzione $f(.)$ usando la misura $dx$ . L'unica cosa che puoi far variare è ciò che è scritto come differenziale. Ora se $dS=r^2 sin(\theta) d\theta d\phi$ l'unica cosa che puoi far variare per fare le tue somme sono i due angoli, quindi basta. Il raggio non lo fai variare perché, di fatto, lo hai fissato tu avendo definito il dominio di integrazione come una certa superficie sferica di raggio $r$; la relazione tra raggio e superficie permane, ma l'hai "congelata" nel momento in cui lo fissi e quindi nell'integrazione tratti $r$ come una costante.
Inoltre, anche solo geometricamente, per definire una superficie nello spazio ti servono due parametri, se ne usi tre stai cercando di descrivere un volume e l'integrale diventerebbe triplo.
Cerco di spiegarmi meglio, poi il risultato è lo stesso ma metterti in testa concetti sbagliati poi ti farà sbagliare in quei casi in cui il "risultato non è lo stesso". Credo tu abbia un problema di fondo con il concetto stesso di integrazione. Cioè non ha senso dire che il raggio non dipende dalla superficie, perché se l'elemento d'area è $dS=r^2 sin(\theta) d\theta d\phi$ allora $r^2=(dS)/(sin(\theta) d\theta d\phi)$. Il punto è che devi capire bene cosa significa calcolare un integrale. $\int f(.) dx $ significa che stai sommando il valore della funzione $f(.)$ usando la misura $dx$ . L'unica cosa che puoi far variare è ciò che è scritto come differenziale. Ora se $dS=r^2 sin(\theta) d\theta d\phi$ l'unica cosa che puoi far variare per fare le tue somme sono i due angoli, quindi basta. Il raggio non lo fai variare perché, di fatto, lo hai fissato tu avendo definito il dominio di integrazione come una certa superficie sferica di raggio $r$; la relazione tra raggio e superficie permane, ma l'hai "congelata" nel momento in cui lo fissi e quindi nell'integrazione tratti $r$ come una costante.
Inoltre, anche solo geometricamente, per definire una superficie nello spazio ti servono due parametri, se ne usi tre stai cercando di descrivere un volume e l'integrale diventerebbe triplo.
Ti ringrazio per l'accurata risposta.
Si ho sicuramente problemi con il concetto di integrazione e non solo, con grande parte della matematica. Mi sto organizzando per recuperare
Puoi farmi ancora un pò di chiarezza sul discorso " ∫f(.)dx significa che stai sommando il valore della funzione f(.) usando la misura dx " ?
Cosa intendi precisamente usando la misura dx?
Grazie.
Si ho sicuramente problemi con il concetto di integrazione e non solo, con grande parte della matematica. Mi sto organizzando per recuperare
Puoi farmi ancora un pò di chiarezza sul discorso " ∫f(.)dx significa che stai sommando il valore della funzione f(.) usando la misura dx " ?
Cosa intendi precisamente usando la misura dx?
Grazie.
Se quello che ho detto non basta purtroppo il problema è che hai studiato maluccio l'integrazione che, assieme al calcolo differenziale, va conosciuta come le proprie tasche 
. Potrei farti tutta la spiegazione di come si fa ad integrare una funzione, il concetto geometrico etc ma è fatta mille volte meglio su altrettanti libri di analisi 1 che mi sembra molto meglio rimandarti a loro o alle tante dispense in rete o anche solo alla buona vecchia wikipedia, perché è un argomento veramente fondamentale e semplice se si segue passo passo. Fidati, qualunque spiegazione io o chiunque altro ti possa dare su un forum su un concetto base come l'integrazione non farà altro che crearti ulteriori dubbi se tu questo studio non l'hai fatto a dovere. Magari riprendilo dall'inizio e poi mentre lo studi posta i tuoi quesiti, magari nella sezione matematica dove potresti trovare risposte più rigorose ( o quantomeno gente che ha voglia di essere più rigorosa )
. Potrei farti tutta la spiegazione di come si fa ad integrare una funzione, il concetto geometrico etc ma è fatta mille volte meglio su altrettanti libri di analisi 1 che mi sembra molto meglio rimandarti a loro o alle tante dispense in rete o anche solo alla buona vecchia wikipedia, perché è un argomento veramente fondamentale e semplice se si segue passo passo. Fidati, qualunque spiegazione io o chiunque altro ti possa dare su un forum su un concetto base come l'integrazione non farà altro che crearti ulteriori dubbi se tu questo studio non l'hai fatto a dovere. Magari riprendilo dall'inizio e poi mentre lo studi posta i tuoi quesiti, magari nella sezione matematica dove potresti trovare risposte più rigorose ( o quantomeno gente che ha voglia di essere più rigorosa )
Va bene, farò il possibile per recuperare
Buone feste!!
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