Energia elettrostatica distribuzione sferica

[VittoriaDeLuca1]

Mi sono scontrata con questo esercizio all'apparenza piuttosto semplice ma che mi hai creato dei dubbi:
Calcolare l'energia elettrostatica, in joule, di una distribuzione sferica di carica elettrica la cui densità
volumetrica dipende da r secondo la legge: $ rho (r)=k(1-r^2/a^2) $ per $ r<= a $ e zero altrove, mi viene poi data la carica complessiva Q ed il valore numerico di a.
Ho pensato di procedere scrivendo l'energia di configurazione come; $ U=1/2int_(V)^() rho VdV^I $ con V=potenziare in r(raggio della sfera), poi ho cercato il potenziale con la formula: $ V(r)=int_(0)^(a) (k-kr^2/a^2)1/rdV=k1/a4/3 pir^3-ka/a^2 4/3pir^3 $ questo mi si semplifica e mi diventa un potenziale nullo, quindi a questo punto dovrei concludere che anche l'energia elettrostatica è nulla... Ci sono degli errori in questo ragionamento? Le conclusioni sono affrettate?

[anonymous_0b37e9]

"VittoriaDeLuca":
Ci sono degli errori in questo ragionamento?

Hai senz'altro sbagliato qualcosa. Ad ogni modo, per completezza, dopo aver determinato $k$ in funzione dei dati:

$[Q=\int_{0}^{a}k(1-r^2/a^2)4\pir^2dr=4\pik\int_{0}^{a}(r^2-r^4/a^2)dr=4\pik(a^3/3-a^3/5)=8/15\pika^3] rarr$

$rarr [k=(15Q)/(8\pia^3)]$

puoi procedere anche determinando il campo elettrico:

$[0 lt= r lt= a] rarr$

$rarr [4\pir^2E(r)=1/\epsilon_0\int_{0}^{r}k(1-x^2/a^2)4\pix^2dx] rarr$

$rarr [r^2E(r)=k/\epsilon_0\int_{0}^{r}(x^2-x^4/a^2)dx] rarr$

$rarr [r^2E(r)=k/\epsilon_0(r^3/3-r^5/(5a^2))] rarr$

$rarr [E(r)=k/\epsilon_0(r/3-r^3/(5a^2))] rarr$

$rarr [E(r)=k/(15\epsilon_0a^2)r(5a^2-3r^2)] rarr$

$rarr [E(r)=Q/(8\pi\epsilon_0a^5)r(5a^2-3r^2)]$

$[r gt a] rarr$

$rarr [4\pir^2E(r)=Q/\epsilon_0] rarr$

$rarr [E(r)=Q/(4\pi\epsilon_0)1/r^2]$

e, trattandosi di un integrale generalizzato convergente, concludere utilizzando la seguente formula:

$[U=\epsilon_0/2\int_{0}^{+oo}E^2 4\pir^2dr]$