Energia elettrostatica di due distribuzioni
Buon giorno a tutti! Ho il seguente problema :
Ho pensato di risolverlo cosi :
Se $r<=R$ ; $rho(r)=\alpha r = \frac{3Q}{4\pi r^3}$ da cui $\alpha=\frac{3Q}{4\pi r^4}$
Se $r>R$ : $\alpha=\frac{3Q}{4\pi R^3 r}$
Usando la legge di Gauss determino il campo E
Se $r<=R$ ; $E_i=\frac{\alpha r}{3 \epsilon_0}$ con $\alpha=\frac{3Q}{4\pi r^4}$
Se $r>R$ :$ E_e=\frac{\alpha R^3}{3 \epsilon_0 r}$ con $\alpha=\frac{3Q}{4\pi R^3 r}$
Per la velocità minima ho pensato di sfruttare l'energia cinetica :
$\frac{1}{2}mv^2=Q[\int_R^{\infty} E_e dr + int_0 ^R E_i dr $ da cui ricavo $v=\sqrt{\frac{Q^2}{2\pi m \epsilon_0} [\frac{1}{R^4} + \frac{1}{R^2}]}$
Per l'ultimo punto pensavo di procere cosi $U=U_f-U_i$ ma U_f per definizione è $U=\frac{3K_eQ^2}{5}=\frac{3Q^2}{20\pi\epsilon_0}$ e $U_i=\frac{1}{8\pi Ke \epsilon_0}\int_0 ^{\infty} (E_i)^2 + (E_e)^2 dr $ ma diverge...
Qualche consiglio? Grazie
Ho pensato di risolverlo cosi :
Se $r<=R$ ; $rho(r)=\alpha r = \frac{3Q}{4\pi r^3}$ da cui $\alpha=\frac{3Q}{4\pi r^4}$
Se $r>R$ : $\alpha=\frac{3Q}{4\pi R^3 r}$
Usando la legge di Gauss determino il campo E
Se $r<=R$ ; $E_i=\frac{\alpha r}{3 \epsilon_0}$ con $\alpha=\frac{3Q}{4\pi r^4}$
Se $r>R$ :$ E_e=\frac{\alpha R^3}{3 \epsilon_0 r}$ con $\alpha=\frac{3Q}{4\pi R^3 r}$
Per la velocità minima ho pensato di sfruttare l'energia cinetica :
$\frac{1}{2}mv^2=Q[\int_R^{\infty} E_e dr + int_0 ^R E_i dr $ da cui ricavo $v=\sqrt{\frac{Q^2}{2\pi m \epsilon_0} [\frac{1}{R^4} + \frac{1}{R^2}]}$
Per l'ultimo punto pensavo di procere cosi $U=U_f-U_i$ ma U_f per definizione è $U=\frac{3K_eQ^2}{5}=\frac{3Q^2}{20\pi\epsilon_0}$ e $U_i=\frac{1}{8\pi Ke \epsilon_0}\int_0 ^{\infty} (E_i)^2 + (E_e)^2 dr $ ma diverge...
Qualche consiglio? Grazie
Risposte
Tanto per cominciare ...
No, mi spieghi da dove arriva quella prima uguaglianza?
No, non esiste nessuna densità di carica esternamente alla sfera di raggio R.
Io ti consiglio di integrare la carica infinitesima contenuta nel generico guscio sferico di spessore $dr$ da zero a R e uguagliare detto integrale a Q.
"MillesoliSamuele":
...
Se $r<=R$ ; $rho(r)=\alpha r = \frac{3Q}{4\pi r^3}$ da cui $\alpha=\frac{3Q}{4\pi r^4}$
No, mi spieghi da dove arriva quella prima uguaglianza?
"MillesoliSamuele":
...Se $r>R$ : $\alpha=\frac{3Q}{4\pi R^3 r}$
No, non esiste nessuna densità di carica esternamente alla sfera di raggio R.
"MillesoliSamuele":
Qualche consiglio?
Io ti consiglio di integrare la carica infinitesima contenuta nel generico guscio sferico di spessore $dr$ da zero a R e uguagliare detto integrale a Q.
"RenzoDF":
Tanto per cominciare ...
[quote="MillesoliSamuele"]...
Se $r<=R$ ; $rho(r)=\alpha r = \frac{3Q}{4\pi r^3}$ da cui $\alpha=\frac{3Q}{4\pi r^4}$
No, mi spieghi da dove arriva quella prima uguaglianza? [/quote]
Dal testo , e sapendo per definizione che $\rho=\frac{Q}{V}$ ho pensato di eguagliare le due relazioni..
"MillesoliSamuele":
...Se $r>R$ : $\alpha=\frac{3Q}{4\pi R^3 r}$
"RenzoDF":
No, non esiste nessuna densità di carica esternamente alla sfera di raggio R.
Hai perfettamente ragione...che sbadato!
Riprovo seguendo il tuo consiglio
$Q=\int \int \int _V \rho(r) dV=\int_0^R \alpha r 4 \pi\r^2 dr=\alpha\pi R^4$ da cui $\alpha=\frac{Q}{\pi R^4}$
Per determinare il campo E uso la legge di Gauss sapendo che:
$Q=\rho V= \frac{Qr}{4\pi r^4}\frac{4\pi}{3r^3}$ se $r<=R$
Da cui avrò $E(r<=R)=\frac{Qr^2}{12\pi\epsilon_0 R^4}$ e $E(r>R)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$
$Q=\rho V= \frac{Qr}{4\pi r^4}\frac{4\pi}{3r^3}$ se $r<=R$
Da cui avrò $E(r<=R)=\frac{Qr^2}{12\pi\epsilon_0 R^4}$ e $E(r>R)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$
Ok per alfa ma poi per il campo interno non ci siamo proprio [nota]Non capisco cosa tu abbia scritto per ricavartelo, anche se una mezza idea ce l'avrei, ma la filastrocca recitava così "in Italia c'è il duce e c'è il re, quattro terzi pigreco erre tre" 
[/nota] ... (ok chiaramente per quello esterno).
Puoi percorrere due strade risolutive:
a) la prima, per via integrale, andando a ricavarti la carica interna alla generica sfera di raggio r e quindi E(r)
b) la seconda per via locale ricordando che
$\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\epsilon_0}$
dalla quale ricordando la divergenza in coordinate sferiche ricavi E(r).
NB Io ti consiglierei entrambe; anche se la prima strada può sembrare più semplice, le relazioni locali sono spesso indispensabili e di conseguenza è meglio farci un po' di pratica.
[/nota] ... (ok chiaramente per quello esterno).Puoi percorrere due strade risolutive:
a) la prima, per via integrale, andando a ricavarti la carica interna alla generica sfera di raggio r e quindi E(r)
b) la seconda per via locale ricordando che
$\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\epsilon_0}$
dalla quale ricordando la divergenza in coordinate sferiche ricavi E(r).
NB Io ti consiglierei entrambe; anche se la prima strada può sembrare più semplice, le relazioni locali sono spesso indispensabili e di conseguenza è meglio farci un po' di pratica.
Sarà stata la stanchezza , alzarsi alle 5 ogni mattino incide un pò 
Allora io avevo pensato di procedere cosi :
Essendo $\rho(r)=\frac{Qr}{\piR^4}=\frac{Q_i}{\frac{4}{3}\pi r^3}$ da cui $Q_i=\frac{4Qr^4}{3R^4}$
Usando la legge di Gauss trovo : $E(r<=R)=\frac{Qr^2}{3\pi\epsilon_0 R^4}$
Ma se uso la forma locale trovo $E(r<=R)=\frac{Qr^2}{2\pi\epsilon_0 R^4}$ Eppure dalla legge locale,tramite passaggi analitici si arriva alla legge di Gauss! Non capisco dove sbaglio
Allora io avevo pensato di procedere cosi :
Essendo $\rho(r)=\frac{Qr}{\piR^4}=\frac{Q_i}{\frac{4}{3}\pi r^3}$ da cui $Q_i=\frac{4Qr^4}{3R^4}$
Usando la legge di Gauss trovo : $E(r<=R)=\frac{Qr^2}{3\pi\epsilon_0 R^4}$
Ma se uso la forma locale trovo $E(r<=R)=\frac{Qr^2}{2\pi\epsilon_0 R^4}$ Eppure dalla legge locale,tramite passaggi analitici si arriva alla legge di Gauss! Non capisco dove sbaglio
No, ora che conosci alfa:
a) la carica interna dobbiamo determinarla ancora per via integrale
$Q_i=\int_0^r \rho(r) 4 \pi r^2 dr $
e da quella il campo interno.
b) vista la simmetria sferica avremo un solo termine non nullo per la divergenza
$ \nabla \cdot \vec E=\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2E_r)}{\partial r}=\frac{\rho(r)}{\epsilon_0} $
Lascio a te completare.
a) la carica interna dobbiamo determinarla ancora per via integrale
$Q_i=\int_0^r \rho(r) 4 \pi r^2 dr $
e da quella il campo interno.
b) vista la simmetria sferica avremo un solo termine non nullo per la divergenza
$ \nabla \cdot \vec E=\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2E_r)}{\partial r}=\frac{\rho(r)}{\epsilon_0} $
Lascio a te completare.
$Q_i=\frac{Qr^4}{R^4}$
per cui $E=\frac{Qr^2}{4\pi\epsilon_0 R^4}$ Dalla relazione locale ricavo un campo differente , posto i calcoli :
$\frac{1}{r^2}\frac{\partial r^2 E}{\partial r}=\frac{Qr}{\pi R^4 \epsilon_0}$
$\frac{2E}{r}=\frac{Qr}{\pi R^4 \epsilon_0}$ da cui $E=\frac{Qr^2}{2\pi\epsilon_0 R^4}$
per cui $E=\frac{Qr^2}{4\pi\epsilon_0 R^4}$ Dalla relazione locale ricavo un campo differente , posto i calcoli :
$\frac{1}{r^2}\frac{\partial r^2 E}{\partial r}=\frac{Qr}{\pi R^4 \epsilon_0}$
$\frac{2E}{r}=\frac{Qr}{\pi R^4 \epsilon_0}$ da cui $E=\frac{Qr^2}{2\pi\epsilon_0 R^4}$
"MillesoliSamuele":
$Q_i=\frac{Qr^4}{R^4}$
per cui $E=\frac{Qr^2}{4\pi\epsilon_0 R^4}$
"MillesoliSamuele":
... Dalla relazione locale ricavo un campo differente , posto i calcoli :
$\frac{2E}{r}=\frac{Qr}{\pi R^4 \epsilon_0}$ da cui $E=\frac{Qr^2}{2\pi\epsilon_0 R^4}$
Non capisco questo passaggio; dalla
$\frac{1}{r^2}\frac{\partial r^2 E}{\partial r}=\frac{Qr}{\pi R^4 \epsilon_0}$
$\frac{\partial r^2 E}{\partial r}=\frac{Qr^3}{\pi R^4 \epsilon_0} $
$r^2 E =\frac{Qr^4}{4\pi R^4 \epsilon_0} $
Per sbaglio avevo derivato ciò che vi era dentro parentesi ..
Andando avanti... il mio ragionamento per determinare la velocità della particella è corretto?
Andando avanti... il mio ragionamento per determinare la velocità della particella è corretto?
Si, (usando i campi corretti).
Fantastico! Bella notizia e per quanto riguarda l ultimo punto?
e per quanto riguarda l ultimo punto?
Ho dimenticato di aggiungere : e per quanto riguarda il mio ragionamento sulla ultimo punto? È scritto nel primo messaggio,errore di battitura
"MillesoliSamuele":
... e per quanto riguarda il mio ragionamento sulla ultimo punto? È scritto nel primo messaggio ...
Non me ne ero accorto
... ma non capisco ne quella Uf (che probabilmente scambi con quella iniziale), calcolata poi per quale "definizione" [nota]Ti ricordo che nel nostro caso la distribuzione di carica non è uniforme nella sfera, ovvero $\rho$ non è una costante ma funzione lineare del raggio $r$.[/nota] ? ... ne la Ui con quello "strano" integrale di linea.Ti chiedo quindi: quali sono le due strade percorribili per ricavare l'energia immagazzinata in un campo elettrostatico; di sicuro le conosci.
L'energia potenziale associata per creare una distribuzione di carica attorno ad una sfera è data da $U_e=\frac{1}{2}\int_0^{\infty} E^2 dV$ ora io devo calcolare la differenza la chiamo $U=U_i - U_f$ dove con $U_i$ indico l'energia potenziale iniziale che è $U_i=\frac{1}{2}\epsilon_0\int_0^R [ E(r<=R) ] ^2 4\pi r^2 dr +\frac{1}{2}\epsilon_0 \int_0^{\infty} [ E(r>R)]^2 4\pi r^2 dr$ questo quando $\rho$ non è costante , mentre la $U_f$ sarebbe il lavoro che serve per creare tale distribuzione che è $U_f=\frac{3}{5}K_e\frac{Q^2}{R}$ ( Analogo al caso gravitazionale $U=-\frac{3}{5}G\frac{M^2}{R}$ ) quando $\rho$ è costante..
Le due strade alle quali mi riferivo sono:
a) attraverso l'energia totale della distribuzione di carica,
$U=\frac{1}{2}\int_{v_q }^{ }\rho V dv$
con l'integrazione sul volume $v_q$ della distribuzione.
b) attraverso l'energia immagazzinata nel campo,
$U=\frac{1}{2}\int_{v_\infty }^{ }\epsilon_0|\vec E|^2 dv$
con l'integrazione su tutto lo spazio.
Sia per la Ui sia per la Uf possono essere usate entrambe a seconda della convenienza computazionale.
Ripeto, non siamo in presenza di una distribuzione uniforme di carica; non usare formule preconfezionate, cerca di ricavartele.
a) attraverso l'energia totale della distribuzione di carica,
$U=\frac{1}{2}\int_{v_q }^{ }\rho V dv$
con l'integrazione sul volume $v_q$ della distribuzione.
b) attraverso l'energia immagazzinata nel campo,
$U=\frac{1}{2}\int_{v_\infty }^{ }\epsilon_0|\vec E|^2 dv$
con l'integrazione su tutto lo spazio.
Sia per la Ui sia per la Uf possono essere usate entrambe a seconda della convenienza computazionale.
"MillesoliSamuele":
... quando $\rho$ è costante..
Ripeto, non siamo in presenza di una distribuzione uniforme di carica; non usare formule preconfezionate, cerca di ricavartele.
Avevo pensato alla strada b) ma avevo dimenticato di trascrivere $\epsilon_0$
Direi che per la $U_f$ finale, ovvero per carica interamente distribuita sulla superficie sferica, conviene la strada a) che sostanzialmente porta alla relazione notevole per l'energia immagazzinata in un condensatore; visto che V è costante per tutte le cariche avremo infatti che l'integrale porta a
$U_f=\frac{1}{2}QV(R)$
Per la $U_i$ iniziale, puoi sempre partire da quel potenziale iniziale $V(R)$ sulla superficie ed andare a ricavarti il potenziale relativo al generico raggio $r$ con
$V(r)=\int_{r}^{R}E_i(r)dr+V(R)$
per poi usare detto potenziale nell'integrale di cui in a).
Chiaramente la strada b) porta agli stessi risultati, usa quella che preferisci.
Lascio a te quest'ultimo calcolo.
$U_f=\frac{1}{2}QV(R)$
Per la $U_i$ iniziale, puoi sempre partire da quel potenziale iniziale $V(R)$ sulla superficie ed andare a ricavarti il potenziale relativo al generico raggio $r$ con
$V(r)=\int_{r}^{R}E_i(r)dr+V(R)$
per poi usare detto potenziale nell'integrale di cui in a).
Chiaramente la strada b) porta agli stessi risultati, usa quella che preferisci.
Lascio a te quest'ultimo calcolo.
Non vorrai dirmi che abbandoni questo problema proprio in prossimità del traguardo, vero?
Io non abbandono mai nulla Scusami se ho lasciato in "13" il discorso ma essendo tutto il giorno in dipartimento non trovo il tempo di accendere il Pc . Detto ciò ho scelto la strada b) :
$U=U_i-U_f=$
$=\frac{\epsilon_0}{2}[ int_0^R 4\pi r^2 (\frac{Qr^2}{4\pi \epsilon_0 R^4})^2 dr+\int_R^{\infty} 4\pir^2 (\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2})^2 dr ] -\frac{\epsilon_0}{2}\int_R ^{\infty} 4\pir^2 (\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2})^2 dr = $
$=\frac{\epsilon_0}{2} int_0^R 4\pi r^2 (\frac{Qr^2}{4\pi \epsilon_0 R^4})^2 dr=\frac{Q^2}{56\pi \epsilon_0 R}$
Scusami se ho lasciato in "13" il discorso ma essendo tutto il giorno in dipartimento non trovo il tempo di accendere il Pc . Detto ciò ho scelto la strada b) : $U=U_i-U_f=$
$=\frac{\epsilon_0}{2}[ int_0^R 4\pi r^2 (\frac{Qr^2}{4\pi \epsilon_0 R^4})^2 dr+\int_R^{\infty} 4\pir^2 (\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2})^2 dr ] -\frac{\epsilon_0}{2}\int_R ^{\infty} 4\pir^2 (\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2})^2 dr = $
$=\frac{\epsilon_0}{2} int_0^R 4\pi r^2 (\frac{Qr^2}{4\pi \epsilon_0 R^4})^2 dr=\frac{Q^2}{56\pi \epsilon_0 R}$
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