Energia dissipata dall'attrito

[_clockwise]

Ciao, ragazzi. Ho un grosso problema con questo semplice esercizio.

Una macchina che eroga una potenza di \(100\;W\) impiega \(15\;s\) per sollevare una cassa lungo un piano inclinato. L'altezza raggiunta è di \(6.0\;m\) e la cassa pesa \(20\;kg\). Calcola l'energia dissipata dall'attrito.



Il mio testo risolve così: \(E_{dissipata}=PΔt-mgh=324\;J\).
Ora, la teoria che sta dietro al tutto è semplice: la macchina compie un lavoro che è maggiore di quello che compierebbe senza l'attrito, perché questo aumenta il valore della forza equilibrante che la macchina deve esercitare. Capito questo, ho tentato di calcolare il lavoro non conservativo come variazione di energia meccanica:

\(L_{nc}=\dfrac{1}{2}mv_f^2+mgh_f-\dfrac{1}{2}mv_i^2-mgh_i=\dfrac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)+mg(h_f-h_i)=PΔt+mgh\).

Cosa c'è che non va? Forse è quel \(Δh\) che dovrei considerare negativo, invertendo \(h_i\) e \(h_f\) per qualche ragione?

[mgrau]

1) Per quale ragione il lavoro non conservativo dovrebbe essere la variazione dell'energia meccanica? Non è che pensi a un sistema isolato? Qui c'è un lavoro esterno ($PDeltat$), che, oltre a vincere l'attrito, va ad aumentare l'energia meccanica.
2) La tua ultima uguaglianza mi pare significhi che $PDeltat$ uguaglia la variazione di energia cinetica. Quindi immagini che la cassa abbia un moto accelerato? Chiaramente non è così, si intende (implicitamente) che il moto sia uniforme.

[_clockwise]

Grazie, mgrau!
Mi era sfuggito l'importante dettaglio che l'energia meccanica si conserva solo in un sistema isolato. Ho rifatto il tutto, stavolta partendo dall'equazione di equilibrio statico:

\( F=P_{//}+F_a=mg\sin \theta+F_a=mg\dfrac{h}{\Delta s}+\dfrac{L_{nc}}{\Delta s} \)

\( F\Delta s=P\Delta t=mgh+L_{nc} \)

da cui: \( L_{nc}=P\Delta t-mgh \). Perfetto. Però, ho riflettuto poi, il lavoro della forza di attrito e della forza peso è resistente. Lo spostamento, scegliendo un SdR con le ascisse parallele al piano inclinato e positivo verso la sommità, risulta positivo e dunque \( P_{//} \) e \( F_a \) compiono lavoro negativo. In questo modo l'equazione diventa tutt'altro. Forse è il \( \Delta s \) a essere anch'esso negativo? Non mi è chiarissimo perché il procedimento che ho scritto sopra sia corretto...

[mgrau]

"_clockwise":

$F=P_{////}+F_a $

Come appunto dici quella è la forza resistente, ma ovviamente ce ne deve essere un'altra, ed è quella esercitata dalla fune, cioè la stessa cambiata di segno, così $FDeltas$ è positivo, così come $PDeltat$

[_clockwise]

Come appunto dici quella è la forza resistente, ma ovviamente ce ne deve essere un'altra, ed è quella esercitata dalla fune, cioè la stessa cambiata di segno, così FΔs è positivo, così come PΔt

Quindi si può scrivere che:

\( L_{tot}=L_{macchina}+L_{P_{//}}+L_{attrito}=0 \)

\( L_{attrito}=-L_{macchina}-L_{P_{//}}=-P\Delta t-(-mgh)=mgh-P\Delta t. \)

Perciò il lavoro non conservativo è uguale in valore assoluto al risultato che fornisce il mio testo, ma negativo. Mi sembra più appropriato dato che l'energia dissipata diminuisce l'energia meccanica del sistema. Grazie mille!