Energia dissipata circuito RL

[lorenzom971]

Salve,
considerando un circuito RL, vorrei trovare la quantità di energia dissipata dalla resistenza in arco di tempo $T$ dalla chiusura del circuito. Io procedo così:
considerando il circuito RL come un sistema termodinamico, mi rifaccio alla prima legge della termodinamica, $\Delta E = Q - W$.
Il circuito, in un tempo $t$, immagazzina, sotto forma di energia magnetica, $\frac{1}{2} L I(t)^2 \ \ J$, giusto?
quindi mi risulta che l'energia dissipata debba essere $Q = \Delta E + W$
Il lavoro attuato in un circuito è $\int_{0}^{t} P(t) \ dt \ = \ \int_{0}^{t} I(t) (\xi - L\frac{dI}{dt}) \ dt = $

$\ \ = \xi \int_{0}^{t} I(t) \ dt - L \int_{0}^{t} I(t) \frac{dI}{dt} \ dt \ = \ \frac{\xi^2}{R} \int_{0}^{t} (1 - e^{-t / \tau}) \dt - 1/2 L I(t)^2 \ =$

$ \ \ = \frac{\xi^2}{R} [t + \tau e^{-t / \tau} - \tau] - 1/2 L I(t)^2 \ = \ R I(t)^2 t - \frac{L R I(t)^3}{\xi} - 1/2 L I(t)^2$

Applicando la prima legge della termodinamica, mi trovo quindi che:

$Q = \Delta E + W \ = \ 1/2 L I(t)^2 + R I(t)^2 t - \frac{L R I(t)^3}{\xi} - 1/2 L I(t)^2$

Quindi l'energia dissipata è:

$Q(t) = R I(t)^2 t - \frac{L R I(t)^3}{\xi}$ ?

Ho sbagliato qualcosa?

Grazie per l'attenzione!

[RenzoDF]

"lorenzom97": ... Ho sbagliato qualcosa?

Direi proprio di si, tanto per cominciare, considerato il sistema RL, il lavoro è entrante nel sistema (e quindi negativo nella tua relazione), lavoro W che viene fornito al sistema dal generatore di tensione e così anche Q sarà negativo in quanto uscente dal sistema; in poche parole scriverei il differenziale dell'energia (magnetica) interna come

$dE_m=\delta W-\delta Q$

e di conseguenza

$id\Phi_c = \xi dq-P_Jdt$

con $P_J$ potenza dissipata per effetto Joule, e ancora

$Ri^2dt=\xi idt-Lidi$

ovvero

$Q=\int_{0}^{t}ri^2dt=\int_{0}^{t}\xi idt-\int_{0}^{t}Lidi$

quindi nel tuo integrale iniziale stai già calcolando l'energia trasformata in calore e non devi sommarci nulla alla fine.

Direi poi che nella relazione finale vai a confondere la corrente istantanea $I(t)$ con quella a regime $I(\infty)=\xi/R$ pervenendo quindi ad un risultato (a mio parere) errato per entrambe queste ragioni.

[lorenzom971]

Chiarissimo! Grazie infinite