Energia di una carica in un campo EM
Leggendo Goldstein Classical mechanics ho calcolato l'Hamiltoniana di una particella di massa \(m\) e carica \(q\) soggetta alla forza di Lorentz
\[\mathbf{F}=q\left( - \nabla \phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} + \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{A})\right),\]
ovvero
\[H=\sum_{i=1}^3\frac{(p_i-qA_i)^2}{2m}+q\phi.\]
Secondo il libro questa sarebbe l'energia totale della particella. Ma a me non torna. Cosa c'entra quel fattore \(q A_i\) nell'energia cinetica? Io avrei detto
\[E=\sum_{i=1}^3\frac{(p_i)^2}{2m}+q\phi,\]
perché sbaglio? Grazie!
\[\mathbf{F}=q\left( - \nabla \phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} + \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{A})\right),\]
ovvero
\[H=\sum_{i=1}^3\frac{(p_i-qA_i)^2}{2m}+q\phi.\]
Secondo il libro questa sarebbe l'energia totale della particella. Ma a me non torna. Cosa c'entra quel fattore \(q A_i\) nell'energia cinetica? Io avrei detto
\[E=\sum_{i=1}^3\frac{(p_i)^2}{2m}+q\phi,\]
perché sbaglio? Grazie!
Risposte
Probabilmente ti sei perso qualcosa nei vari passaggi. In questa trattazione il momento coniugato $[vecp]$ non vale $[mvecv]$. Voglio dire, non è $[vecp=mvecv]$ ma $[vecp=mvecv+qvecA]$.
Ah ecco!!! E' vero, che errore cretino... 
Infatti la Lagrangiana è
\[L=\frac{1}{2}m \mathbf{x}^2-q\phi+q \dot{\mathbf{x}}\cdot \mathbf{A}.\]
Grazie speculor! Senti, visto che ci siamo ne approfitterei per una questione terminologica. E' corretto dire che il termine \(q \dot{\mathbf{x}}\cdot \mathbf{A}\) è un accoppiamento (coupling) di \(\dot{\mathbf{x}}\) e \( \mathbf{A}\) e che \(q\) è qui la costante di accoppiamento? E' questo il contesto in cui si usano tali termini?
Infatti la Lagrangiana è
\[L=\frac{1}{2}m \mathbf{x}^2-q\phi+q \dot{\mathbf{x}}\cdot \mathbf{A}.\]
Grazie speculor! Senti, visto che ci siamo ne approfitterei per una questione terminologica. E' corretto dire che il termine \(q \dot{\mathbf{x}}\cdot \mathbf{A}\) è un accoppiamento (coupling) di \(\dot{\mathbf{x}}\) e \( \mathbf{A}\) e che \(q\) è qui la costante di accoppiamento? E' questo il contesto in cui si usano tali termini?
Corretto. Mentre nel tuo modello:
\[L=\frac{1}{2}m \mathbf{x}^2-q\phi+q \dot{\mathbf{x}}\cdot \mathbf{A}.\]
nell'ambito dell'elettrodinamica quantistica:
Siccome il tuo modello considera il campo elettromagnetico meramente una forza esterna, per farla breve, non si tiene conto dell'influenza dovuta alla carica in esame, il primo termine non compare. Inoltre, mentre il secondo termine corrisponde al tuo termine cinetico, il terzo termine, scritto come prodotto scalare relativistico tra il quadripotenziale e la quadricorrente dell'elettrone, corrisponde all'interazione rappresentata dai tuoi rimanenti due. Soprattutto in quest'ultimo c'è una certa analogia. In ogni modo, nella QED la costante di accoppiamento è considerata la "costante di struttura fine": http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_struttura_fine
\[L=\frac{1}{2}m \mathbf{x}^2-q\phi+q \dot{\mathbf{x}}\cdot \mathbf{A}.\]
nell'ambito dell'elettrodinamica quantistica:
Siccome il tuo modello considera il campo elettromagnetico meramente una forza esterna, per farla breve, non si tiene conto dell'influenza dovuta alla carica in esame, il primo termine non compare. Inoltre, mentre il secondo termine corrisponde al tuo termine cinetico, il terzo termine, scritto come prodotto scalare relativistico tra il quadripotenziale e la quadricorrente dell'elettrone, corrisponde all'interazione rappresentata dai tuoi rimanenti due. Soprattutto in quest'ultimo c'è una certa analogia. In ogni modo, nella QED la costante di accoppiamento è considerata la "costante di struttura fine": http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_struttura_fine
Grazie speculor! Avrò sicuramente altre domande sull'argomento, a tempo debito. Approfitto per porti i miei auguri di buon 2012!!!
"dissonance":
Grazie speculor! Avrò sicuramente altre domande sull'argomento, a tempo debito. Approfitto per porti i miei auguri di buon 2012!!!
Grazie a te e soprattutto...BUON ANNO!
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