Energia di un condensatore cilindrico
Ciao a tutti, mi trovo incastrato in un punto di questo problema:
Un condensatore cilindrico molto lungo, le cui armature hanno raggio $R_1$ e $R_2$, è parzialmente riempito da un guscio di dielettrico, di raggi $R_1$ e $R_2$ e costante dielettrica $epsilon_r$. Un generatore mantiene la d.d.p. di $V$ tra le armature. Calcolare la forza con cui il dielettrico è risucchiato nel conduttore e, per un avanzamento di $h$, la variazione di energia elettrostatica.
Avevo già ricavato la capacità di un condensatore cilindrico come $C=(2piepsilon_0d)/(log(R_2/R_1))$ dove $d$ è l'altezza. Nel nostro caso la parte vuota e la parte con il dielettrico del cilindro possono essere visti come due condensatori in parallelo (o almeno, così mi sembra per analogia con i condensatori piani: il campo è parallelo alla discontinuità tra i due. O c'è in modo più rigoroso di mostrarlo?). Quindi, se $x$ è la parte occupata dal dielettrico, $C(x)=(2piepsilon_0epsilon_rx)/(log(R_2/R_1))+(2piepsilon_0(d-x))/(log(R_2/R_1))$.
Essendo il processo a potenziale costante, $F=(delU)/(delx)=1/2V^2C'(x)=(piepsilon_0(epsilon_r-1))/log(R_2/R_1)V^2$, risultato che spero vivamente sia esatto.
Il problema mi sorge quando invece devo calcolare la variazione di energia elettrostatica. Non so cosa fare se non usare $DeltaU=1/2(C(h)-C(0))V^2$ ma ha poco senso (e non dà un risultato sensato). So che dovrei considerare il lavoro del generatore, ma non vedo come.
Grazie per l'aiuto...
Un condensatore cilindrico molto lungo, le cui armature hanno raggio $R_1$ e $R_2$, è parzialmente riempito da un guscio di dielettrico, di raggi $R_1$ e $R_2$ e costante dielettrica $epsilon_r$. Un generatore mantiene la d.d.p. di $V$ tra le armature. Calcolare la forza con cui il dielettrico è risucchiato nel conduttore e, per un avanzamento di $h$, la variazione di energia elettrostatica.
Avevo già ricavato la capacità di un condensatore cilindrico come $C=(2piepsilon_0d)/(log(R_2/R_1))$ dove $d$ è l'altezza. Nel nostro caso la parte vuota e la parte con il dielettrico del cilindro possono essere visti come due condensatori in parallelo (o almeno, così mi sembra per analogia con i condensatori piani: il campo è parallelo alla discontinuità tra i due. O c'è in modo più rigoroso di mostrarlo?). Quindi, se $x$ è la parte occupata dal dielettrico, $C(x)=(2piepsilon_0epsilon_rx)/(log(R_2/R_1))+(2piepsilon_0(d-x))/(log(R_2/R_1))$.
Essendo il processo a potenziale costante, $F=(delU)/(delx)=1/2V^2C'(x)=(piepsilon_0(epsilon_r-1))/log(R_2/R_1)V^2$, risultato che spero vivamente sia esatto.
Il problema mi sorge quando invece devo calcolare la variazione di energia elettrostatica. Non so cosa fare se non usare $DeltaU=1/2(C(h)-C(0))V^2$ ma ha poco senso (e non dà un risultato sensato). So che dovrei considerare il lavoro del generatore, ma non vedo come.
Grazie per l'aiuto...
Risposte
"Obtusus":
Il problema mi sorge quando invece devo calcolare la variazione di energia elettrostatica. Non so cosa fare se non usare $DeltaU=1/2(C(h)-C(0))V^2$ ma ha poco senso (e non dà un risultato sensato).
Perchè ha poco senso? E perchè il risultato non è sensato?
Numericamente è di un paio di ordini di grandezza sotto quello che dovrebbe essere.
Ma se non ci sono numeri, ma solo variabili simboliche?? Quali sono i numeri troppo piccoli? Prova a mettere i calcoli
In realtà i numeri ci sono, ho solo evitato di metterli:
$R_1=2cm$, $R_2=4cm$, $epsilon_r=5$, $V=5*10^3 V$, $h=5cm$
L'energia $1/2V^2C(h)$ mi esce pari a $0,02 J$ contro i $2*10^-4$ della soluzione...
Edit: mi sono accorto di aver considerato l'espressione sbagliata della capacità. Infatti non sarebbe possibile calcolare $C(h)$ senza conoscere $d$. Quindi quello che ho fatto non ha davvero senso
$R_1=2cm$, $R_2=4cm$, $epsilon_r=5$, $V=5*10^3 V$, $h=5cm$
L'energia $1/2V^2C(h)$ mi esce pari a $0,02 J$ contro i $2*10^-4$ della soluzione...
Edit: mi sono accorto di aver considerato l'espressione sbagliata della capacità. Infatti non sarebbe possibile calcolare $C(h)$ senza conoscere $d$. Quindi quello che ho fatto non ha davvero senso
Mi pare che non ti serve conoscere $d$. La differenza fra i due casi (prima e dopo lo spostamento del dielettrico di una lunghezza $h$) è che il tratto di lunghezza $h$ prima è nel vuoto, poi no. Quindi è solo l'energia contenuta nel segmento $h$ che cambia: devi calcolare l'energia di un condensatore, noto $R_1, R_2, DeltaV, h$ prima nel vuoto poi con dielettrico, e fare la differenza
Aah hai ragione, ora ho capito. Grazie!
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