[Energia del sistema]Modello del rotore rigido
Salve a tutti,
Si consideri un modello del rotore rigido,costituito da due particelle di massa m attaccate agli estremi di un asta rigida di massa trascurabile e lunghezza a.
il sistema è libero di muoversi in 3 dimensioni intorno al suo centro,che rimane fisso.
Mi chiede di calcolare energia cinetica e momento angolare del sistema(supponendo che rimangono sempre nel piano xy e ruotino intorno a z...
Mi chiedo, è giusto considerare che l'energia sia data da questi valori?oppure dimentico qualcosa?o sbaglio completamente ad impostarlo?
$H=(p^2/(2m))_1+(p^2/(2m))_2+(L^2/(2m))_1+(L^2/(2m))_2$
Si consideri un modello del rotore rigido,costituito da due particelle di massa m attaccate agli estremi di un asta rigida di massa trascurabile e lunghezza a.
il sistema è libero di muoversi in 3 dimensioni intorno al suo centro,che rimane fisso.
Mi chiede di calcolare energia cinetica e momento angolare del sistema(supponendo che rimangono sempre nel piano xy e ruotino intorno a z...
Mi chiedo, è giusto considerare che l'energia sia data da questi valori?oppure dimentico qualcosa?o sbaglio completamente ad impostarlo?
$H=(p^2/(2m))_1+(p^2/(2m))_2+(L^2/(2m))_1+(L^2/(2m))_2$
Risposte
Più semplicemente potresti calcolare il momento di inerzia delle due masse:
I1=I2=m(a/2)^2 da cui I=I1+I2=(2m)*(a/2)^2
L'energia cinetica è
Ek=(1/2)*I*w^2 con w velocità angolare di rotazione, legata alla velocità traslazionale delle due masse secondo v=w*(a/2).
I1=I2=m(a/2)^2 da cui I=I1+I2=(2m)*(a/2)^2
L'energia cinetica è
Ek=(1/2)*I*w^2 con w velocità angolare di rotazione, legata alla velocità traslazionale delle due masse secondo v=w*(a/2).
O anche semplicemente sapendo che la velocità di ogni massa è $v=\omega a/2$, che le masse sono 2 e che ciascuna ha energia cinetica pari a $1/2mv^2$, si ha $E=2*1/2m*(\omega a/2)^2=ma^2/4\omega^2$.
Analogamente si calcola il momento angolare $L=2*a/2*mv=2*a/2*m*\omega a/2=ma^2/2\omega$
Analogamente si calcola il momento angolare $L=2*a/2*mv=2*a/2*m*\omega a/2=ma^2/2\omega$
e come potrei descrivere l'hamiltoniana?per scrivere poi l'equazione di Schoedinger?
Siccome stai impostando il problema quantistico secondo me è bene partire dal principio. Con questo intendo scrivere l'Hamiltoniana del sistema composto dalle due masse, cioè
$H = (\vec p_1^2)/(2m) + (\vec p_2^2)/(2m)$
da qui poi cambi coordinate e passi al centro di massa ($\vec R$) e alla coordinata relativa ($\vec r$), particolarmente semplice nel caso di masse identiche. Questa trasformazione ti induce quella sui momenti e se fai i conti per bene ti viene fuori che la nuova Hamiltoniana ha la forma
$H = (\vec P^2)/(2M) + (\vec p^2)/(2\mu)$
con $M$ massa totale e $\mu$ massa ridotta. Già qui puoi scrivere l'equazione di Schroedinger perchè hai i due termini cinetici a cui puoi sostituire i laplaciani rispetto alle nuove coordinate. E' paricolarmente conveniente utilizzare le coordinate sferiche per la parte di moto relativo siccome la funzione d'onda non dipende dalla distanza relativa che rimane costante essendo la sbarra rigida. Quindi la parte di moto relativo diventa
$(\vec L^2)/(2 I) = 1/(2ma^2) (\hat P_{\theta}^2 + (\hat P_{\phi}^2)/(sin^2 \theta) )$
con $\theta \in [0,\pi] $ e $\phi \in [0,2\pi]$. Quelle P con il cappuccio sono le componenti rispetto alle due variabili angolari del laplaciano in coordinate sferiche, che puoi trovare qui, quindi prendile come una cosa simbolica e non come dei veri e propri quadrati di qualche operatore. A questo punto dovresti esserci, ti basta solo risolvere il problema agli autovalori per trovare le armoniche sferiche.......
Spero di non averi incasinato troppo.......
$H = (\vec p_1^2)/(2m) + (\vec p_2^2)/(2m)$
da qui poi cambi coordinate e passi al centro di massa ($\vec R$) e alla coordinata relativa ($\vec r$), particolarmente semplice nel caso di masse identiche. Questa trasformazione ti induce quella sui momenti e se fai i conti per bene ti viene fuori che la nuova Hamiltoniana ha la forma
$H = (\vec P^2)/(2M) + (\vec p^2)/(2\mu)$
con $M$ massa totale e $\mu$ massa ridotta. Già qui puoi scrivere l'equazione di Schroedinger perchè hai i due termini cinetici a cui puoi sostituire i laplaciani rispetto alle nuove coordinate. E' paricolarmente conveniente utilizzare le coordinate sferiche per la parte di moto relativo siccome la funzione d'onda non dipende dalla distanza relativa che rimane costante essendo la sbarra rigida. Quindi la parte di moto relativo diventa
$(\vec L^2)/(2 I) = 1/(2ma^2) (\hat P_{\theta}^2 + (\hat P_{\phi}^2)/(sin^2 \theta) )$
con $\theta \in [0,\pi] $ e $\phi \in [0,2\pi]$. Quelle P con il cappuccio sono le componenti rispetto alle due variabili angolari del laplaciano in coordinate sferiche, che puoi trovare qui, quindi prendile come una cosa simbolica e non come dei veri e propri quadrati di qualche operatore. A questo punto dovresti esserci, ti basta solo risolvere il problema agli autovalori per trovare le armoniche sferiche.......
Spero di non averi incasinato troppo.......
"moreno88":
e come potrei descrivere l'hamiltoniana?per scrivere poi l'equazione di Schoedinger?
Sorry, mica avevo capito che parlavi di meccanica quantistica!
(argomento che non conosco e che mi ripropongo sempre di studiare, ma non ho ancora trovato l'impulso decisivo per farlo... anche perché studiare tanto per arrivare a determinare solo delle densità di probabilità è un'idea che non mi alletta troppo...
)
@alle.fabbri
emmm..mi sono incasinato.xd
cmq io me ne sono uscito in termini quantistici dicendo che
$H=L^2 /(2I)= L^2/(mr^2)$
cosi poi i valori dell'energia mi escono
$Hphi=Ephi$
$E=L^2/(mr^2)=h(tag){l(l+1)}/(mr^2)$
che ne pensate^?
Spero di non averi incasinato troppo.......
emmm..mi sono incasinato.xd
cmq io me ne sono uscito in termini quantistici dicendo che
$H=L^2 /(2I)= L^2/(mr^2)$
cosi poi i valori dell'energia mi escono
$Hphi=Ephi$
$E=L^2/(mr^2)=h(tag){l(l+1)}/(mr^2)$
che ne pensate^?
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