Energia cinetica relatività speciale

[Cuppls1]

Salve a tutti, non capisco alcuni passaggi del mio libro che fa per ricavare l'energia cinetica.
Il primo è questo:
dice che differenziando questa relazione : $p^2c^2-(gammamc^2)^2=-(mc^2)^2$
si trova : $dp^2=2(mc)^2gammadgamma$ , dove $p$ è la quantità di moto. Non capisco proprio rispetto a cosa fa la derivata e come arrivi a questo risultato.

Poi ho un dubbio sulle particelle di massa nulla; il mio libro dice che esse posso muoversi solo a velocità $c$ e dice che per queste particelle vale : $E=pc$ dove $p$ è il modulo della quantità di moto e questa deriva da : $E^2=(mc^2)^2+(pc)^2=(E_0)^2+ (pc)^2$ essendo $E_0$ l'energia a riposo nulla. Il dubbio quì è l'energia associata alla particella prima di massa cioè $E=pc$ ma so che $p=gammamv$ e $m=0$ e mi sembra una contraddizione.
Grazie dell'aiuto.

[Sk_Anonymous]

Siccome $p = \gammamv$ , e il fattore $\gamma =\gamma(v)$ , la derivata è rispetto alla variabile $v$ .

Per quanto riguarda le particelle di massa nulla , hai che in generale :

$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$

e se la massa è nulla : $E = pc$ . Ma in tal caso non vale più : $ p = \gammamv$ , perché si cadrebbe in una contraddizione, come hai osservato.
Tieni però presente ( adesso parlo di matematica in maniera poco matematica, mi perdoneranno i matematici!) che mentre $m$ tende a zero il fattore $gamma$ deve tendere a $+\infty$ , quindi solo così, e cioè facendo tendere la velocità $v$ a $c$, ha senso parlare di $p$ finita per un fotone (che modo orribile di spiegare ! )

In realtà, essendo per una radiazione : $E = h\nu $ , l'uguaglianza : $h\nu = pc$ permette di scrivere : $p = (h\nu)/c$ : è questa la "quantità di moto" del fotone. Ma non dobbiamo pensare troppo al fotone come ad una particella, è un nostro vizio mentale!

Insomma , per un fotone la massa è nulla, la velocità è sempre $c$, non esiste un riferimento di quiete, e il 4-impulso è fatto a questa maniera (moto lungo asse $x$ ), sempre che sia lecito parlare di 4-impulso per il fotone :

$P = (E/c,E/c,0,0) $

Cioè : energia = quantità di moto, a meno di $c$. Il modulo quadro del 4-impulso è nullo in questo caso :

$(E/c)^2 - (E/c)^2 = 0 $

e d'altronde è ovvio , se pensiamo che per una particella di massa $m$ il modulo quadro di $P$ è uguale a :

$P^2 = (mc)^2$

la quantità a secondo membro è proporzionale all'energia di massa, detta anche energia di riposo, della particella. Ma il fotone ha massa nulla, per cui l'energia di massa è zero.

[Cuppls1]

Innanzitutto grazie della risposta.

"navigatore":Siccome $p = \gammamv$ , e il fattore $\gamma =\gamma(v)$ , la derivata è rispetto alla variabile $v$ .

Ok, però non capisco i passaggi per arrivare a $dp^2=2(mc)^2γdγ$ , me li mostreresti gentilmente?


Visto che ci sono chiedo anche questo;
$d vec p* vec v=(vec p*d vecp)/(mgamma)=(dp^2)/(2mgamma)$
nell'ultimo passaggio si usa questo : $d(vec p*vec p)=2vec p*d vec p$ ?

[Sk_Anonymous]

1) Non è difficilissimo! Riscrivo coi segni cambiati :

$(\gammamc^2)^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2$

dopo di che, derivo rispetto a $v$ tenendo presente che il 2° membro è costante :

$ d/(dv)[\gamma^2(m^2c^4) - p^2c^2] = 0 $

$m^2c^4*2\gamma(d\gamma)/(dv) - c^2 (dp^2)/(dv) = 0 $

$(mc)^2* 2\gamma(d\gamma)/(dv) - (dp^2)/(dv) = 0 $

$(mc)^2* 2\gamma*d\gamma = dp^2 = 2p *dp$

Comunque non so la strada intrapresa dall'autore del tuo libro, ma so che al concetto di energia cinetica , che in relatività si somma all'energia di riposo $mc^2$ per dare l'energia totale ( n.b. : se ci sono altre forme di energia vanno sommate anche queste, ma più spesso si parla della sola energia cinetica perché è quella di cui più si tratta) , si arriva tradizionalmente con passaggi diversi, più "fisici". Però , adéguati !

2) Affermativo .

[Cuppls1]

Adesso è chiaro, ti ringrazio. Il nostro prof ce l ha ricavata in due modi; uno è questo quí sopra e l 'altro partendo da un esempio in cui non si conserva e poi provedendo per ricavarla. Grazie ancora