Energia cinetica, piano inclinato
"Due masse eguali, collegate da un filo, sono disposte come in figura. L'angolo theta vale 30°, l'altezza h vale 1 m, il coefficiente di attrito massa-piano è mu=0.4. Al tempo t=0 il sistema viene lasciato libero di muoversi e si osserva che la massa sospesa scende. Calcolare la distanza totale d percorsa in salita dalla massa che si trova sul piano inclinato."
--Mio procedimento---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sistema di riferimento per B:
- asse x parallelo all'ipotenusa del piano inclinato, diretto verso la carrucola
- asse y, ovviamente perpendicolare ad asse x, diretto verso l'alto
Sistema di riferimento per A:
- asse x' diretto verso l'alto
(Filo inestensibile => le accelerazioni di A e B sono uguali in modulo)
Corpo A: $ -ma = T - mg => ma = -T + mg $
Corpo B: $ ma = T - mgsintheta - mumgcostheta $ ---- ($ N = mgcostheta $)
Quindi: $ a = g(1 - sintheta - mucostheta)/2 = 0.75 m/s^2$
Calcolo la velocità di A = velocità di B perché il filo è inestensibile
$ mah = 1/2mv^2 => v = sqrt(2ah) = 1.22 m/s $
Ora come faccio a calcolare lo spostamento $ Deltax $ di B. Potrei usare la definizione di lavoro = differenza energia cinetica, ma non ne sono sicuro. Cioè il lavoro della forza di tensione quanto sarebbe??
--Mio procedimento---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sistema di riferimento per B:
- asse x parallelo all'ipotenusa del piano inclinato, diretto verso la carrucola
- asse y, ovviamente perpendicolare ad asse x, diretto verso l'alto
Sistema di riferimento per A:
- asse x' diretto verso l'alto
(Filo inestensibile => le accelerazioni di A e B sono uguali in modulo)
Corpo A: $ -ma = T - mg => ma = -T + mg $
Corpo B: $ ma = T - mgsintheta - mumgcostheta $ ---- ($ N = mgcostheta $)
Quindi: $ a = g(1 - sintheta - mucostheta)/2 = 0.75 m/s^2$
Calcolo la velocità di A = velocità di B perché il filo è inestensibile
$ mah = 1/2mv^2 => v = sqrt(2ah) = 1.22 m/s $
Ora come faccio a calcolare lo spostamento $ Deltax $ di B. Potrei usare la definizione di lavoro = differenza energia cinetica, ma non ne sono sicuro. Cioè il lavoro della forza di tensione quanto sarebbe??
Risposte
Innanzitutto non concordo su come hai impostato le equazioni fondamentali (anche se il risultato e giusto).
Per come hai scelto i sistemi di riferimento tu, la forma dovrebbe essere questa:
Per B
$T-mgsintheta-mumgcostheta=ma_B$
Per A
$T-mg=ma_A$
L'ultima relazione che lega (sono 3 incognite, 2 accelerazioni e una tensione), e' che $a_A=-a_B$.
E da qui risolvi. Come hai risolto tu, hai trovato una a, ma e' in contradditorio con il sistema che hai scelto tu: cosa e' quella a: l'accelrazione di A di B? Tu dirai sono uguali. La risposta e': non proprio. Sono uguali in modulo, ma per come hai preso tu il SdR sono opposte!
Infatti $a_B=0.75$ ma $a_A=-0.75$ poiche A si muove a scendere, in direzione opposta al verso positivo dell'asse scelto da te.
La velocita' non la devi calcolare, hai semplicemente calcolato la velocita di impatto.
Le tensioni non fanno lavoro: sono forze interne al sistema che si elidono.
Il problema, a meno che non stia prendendo uno granchio io, e' formulato male: una volta che i blocchi si muovono, la loro accelerazione e' costante. La velocita' cresce col tempo e non si fermano piu. Quindi la distanza d e' esattamente h, quando il blocco A si ferma perche arriva al suolo
Per come hai scelto i sistemi di riferimento tu, la forma dovrebbe essere questa:
Per B
$T-mgsintheta-mumgcostheta=ma_B$
Per A
$T-mg=ma_A$
L'ultima relazione che lega (sono 3 incognite, 2 accelerazioni e una tensione), e' che $a_A=-a_B$.
E da qui risolvi. Come hai risolto tu, hai trovato una a, ma e' in contradditorio con il sistema che hai scelto tu: cosa e' quella a: l'accelrazione di A di B? Tu dirai sono uguali. La risposta e': non proprio. Sono uguali in modulo, ma per come hai preso tu il SdR sono opposte!
Infatti $a_B=0.75$ ma $a_A=-0.75$ poiche A si muove a scendere, in direzione opposta al verso positivo dell'asse scelto da te.
La velocita' non la devi calcolare, hai semplicemente calcolato la velocita di impatto.
Le tensioni non fanno lavoro: sono forze interne al sistema che si elidono.
Il problema, a meno che non stia prendendo uno granchio io, e' formulato male: una volta che i blocchi si muovono, la loro accelerazione e' costante. La velocita' cresce col tempo e non si fermano piu. Quindi la distanza d e' esattamente h, quando il blocco A si ferma perche arriva al suolo
Grazie per la risposta. Posso metterti la soluzione schematica proposta dal libro per farti venire magari delle idee:
$ 1/2mv_b^2 = mgsinthetaDeltax - mumgcosthetaDeltax => Deltax = 0.09 m $
A me sembra che la soluzione adottata dal libro sia stata quella di calcolare il lavoro totale svolto dalle forze agenti su B.
Non mi spiego però perché il lavoro della forza peso non sia negativo visto che in questo caso si oppone allo spostamento.
Comunque la soluzione poi continua in questo modo:
in totale $ d + Deltax = 1.09 m $
$ 1/2mv_b^2 = mgsinthetaDeltax - mumgcosthetaDeltax => Deltax = 0.09 m $
A me sembra che la soluzione adottata dal libro sia stata quella di calcolare il lavoro totale svolto dalle forze agenti su B.
Non mi spiego però perché il lavoro della forza peso non sia negativo visto che in questo caso si oppone allo spostamento.
Comunque la soluzione poi continua in questo modo:
in totale $ d + Deltax = 1.09 m $
Manca qualcosa nel testo.
A parte che ora non si apre la figura, e quindi non mi ricordo quale delle 2 masse sia B, ma per quello scritto prima dovrebbe essere la massa sul piano inclinato, le incongruenze che vedo sono:
- forza peso e forza di attrito discordi (mentre entrambe "tirano" verso il basso del cuneo (come dici tu, il lavoro della forza peso e' opposto allo spostamento).
-La velocita' $v_b$ da dove la prende?
- E $d$ cosa e'?
- E se considera solo la massa B, perche' non riporta la tensione? In questo caso fa lavoro, perche tu stai isolando il sistema, effettuando un taglio fittizio della corda vicino a B.
Mi sembra un esercizio errato.
Se ti avesse chiesto lo spostamento quando i blocchi raggiungono la velocita $v_a=v_b=v=2m/s$ allora lo avresti potuto risolvere (risolvilo cosi, se ti va)
Ma per come e' formulato mi pare monco e scorretto.
A parte che ora non si apre la figura, e quindi non mi ricordo quale delle 2 masse sia B, ma per quello scritto prima dovrebbe essere la massa sul piano inclinato, le incongruenze che vedo sono:
- forza peso e forza di attrito discordi (mentre entrambe "tirano" verso il basso del cuneo (come dici tu, il lavoro della forza peso e' opposto allo spostamento).
-La velocita' $v_b$ da dove la prende?
- E $d$ cosa e'?
- E se considera solo la massa B, perche' non riporta la tensione? In questo caso fa lavoro, perche tu stai isolando il sistema, effettuando un taglio fittizio della corda vicino a B.
Mi sembra un esercizio errato.
Se ti avesse chiesto lo spostamento quando i blocchi raggiungono la velocita $v_a=v_b=v=2m/s$ allora lo avresti potuto risolvere (risolvilo cosi, se ti va)
Ma per come e' formulato mi pare monco e scorretto.
La massa B è quella sul piano inclinato.
- La velocità $ v_b $ è calcolata come ho fatto io nel primo post ( $v_a = v_b = v $ dal momento che il filo è inestensibile)
- La velocità finale raggiunta dai blocchi è proprio $ v_b $ dal momento che quando viene raggiunta questa velocità la massa A tocca il suolo, quindi $ W = DeltaE_k = 1/2mv_b^2 - 0 $. Allora calcolando il lavoro svolto dalle singole forze, dovrebbe essere:
$ W(F_d)= -mumgcosthetaDeltax $ (lavoro della forza di attrito)
$ W(N) = 0 $ (N = reazione del piano)
$ W(F_g) = -mgsinthetaDeltax $
$ W(T) = ? $
Questo è quello che sono riuscito a fare io. Comunque l'esercizio è preso dal Mazzoldi (ex. 2.19)
- La velocità $ v_b $ è calcolata come ho fatto io nel primo post ( $v_a = v_b = v $ dal momento che il filo è inestensibile)
- La velocità finale raggiunta dai blocchi è proprio $ v_b $ dal momento che quando viene raggiunta questa velocità la massa A tocca il suolo, quindi $ W = DeltaE_k = 1/2mv_b^2 - 0 $. Allora calcolando il lavoro svolto dalle singole forze, dovrebbe essere:
$ W(F_d)= -mumgcosthetaDeltax $ (lavoro della forza di attrito)
$ W(N) = 0 $ (N = reazione del piano)
$ W(F_g) = -mgsinthetaDeltax $
$ W(T) = ? $
Questo è quello che sono riuscito a fare io. Comunque l'esercizio è preso dal Mazzoldi (ex. 2.19)
Continuo a non capire. La velocita' che calcoli tu e' quella all'impatto. E va bene.
Ma a quel punto il corpo e' salito lungo il piano di h. Finito.
Che senso ha?
La variazione di energia cinetica ($=1/2m_av^2+1/2m_bv^2=mv^2$) e' pari al lavoro di TUTTE le forze esterne. La T, se consideri il sistema nella sua totalita', non fa lavoro, perche' e' interna.
Quindi devi considerare il lavoro fatto da
Attrito: $-mumgcosthetah$
Peso su B: $-mgsinthetah$
Peso su A: $mgh$
Ma non risolvi nulla, e' un'identita' $2mah=-mumgcosthetah-mgsinthetah+mgh$, da cui $a=-(mugcostheta-gsintheta+g)/2$ che e' l'accelerazione che hai gia' calcolato!!!
Ma a quel punto il corpo e' salito lungo il piano di h. Finito.
Che senso ha?
La variazione di energia cinetica ($=1/2m_av^2+1/2m_bv^2=mv^2$) e' pari al lavoro di TUTTE le forze esterne. La T, se consideri il sistema nella sua totalita', non fa lavoro, perche' e' interna.
Quindi devi considerare il lavoro fatto da
Attrito: $-mumgcosthetah$
Peso su B: $-mgsinthetah$
Peso su A: $mgh$
Ma non risolvi nulla, e' un'identita' $2mah=-mumgcosthetah-mgsinthetah+mgh$, da cui $a=-(mugcostheta-gsintheta+g)/2$ che e' l'accelerazione che hai gia' calcolato!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo