Energia cinetica moto rototraslatorio
Buon Giorno,
Ho il seguente problema:
Un asta omogenea di massa 0,6 kg e lunghezza 0,5 m, ruota su un piano orizzontale attorno a una sua estremità con velocità angolare pari a 4 rad/s. A un certo istante il perno che tiene l'estremità O dell'asta si rompe e l'asta è libera di muoversi sul piano. Si trascurano gli attriti. Trovare l'energia cinetica finale.
L'energia cinetica finale sarà la somma del'energia cinetica relativa alla traslazione e quella relativa alla rotazione.
\(\displaystyle Ktot=1/2mv^2+1/2Iω^2 \)
Avrei pensato di fare in questo modo: essendo nulla la risultante delle forze esterne al sistema, il momento angolare si conserva; per cui posso ricavare la velocità angolare finale egualiando i momenti angolari iniziali e finali; per il momento d'inerzia iniziale è facile: asta che ruota attorno a un asse parallelo a quello del suo centro di massa: Steiner e trovo:
\(\displaystyle I=1/3ML^2 \)
per quello finale, secondo me è la somma di due contributi: ho l'asta che ruota su se stessa attorno al centro di massa: \(\displaystyle I=1/12ML^2 \) ma non so come gestire la parte relativa al distacco dell'asta dal punto O attorno al quale ruotava prima del distacco e dove era vincolata,
Ringrazio in anticipo chi riesce a darmi una spiegazione,
Ho il seguente problema:
Un asta omogenea di massa 0,6 kg e lunghezza 0,5 m, ruota su un piano orizzontale attorno a una sua estremità con velocità angolare pari a 4 rad/s. A un certo istante il perno che tiene l'estremità O dell'asta si rompe e l'asta è libera di muoversi sul piano. Si trascurano gli attriti. Trovare l'energia cinetica finale.
L'energia cinetica finale sarà la somma del'energia cinetica relativa alla traslazione e quella relativa alla rotazione.
\(\displaystyle Ktot=1/2mv^2+1/2Iω^2 \)
Avrei pensato di fare in questo modo: essendo nulla la risultante delle forze esterne al sistema, il momento angolare si conserva; per cui posso ricavare la velocità angolare finale egualiando i momenti angolari iniziali e finali; per il momento d'inerzia iniziale è facile: asta che ruota attorno a un asse parallelo a quello del suo centro di massa: Steiner e trovo:
\(\displaystyle I=1/3ML^2 \)
per quello finale, secondo me è la somma di due contributi: ho l'asta che ruota su se stessa attorno al centro di massa: \(\displaystyle I=1/12ML^2 \) ma non so come gestire la parte relativa al distacco dell'asta dal punto O attorno al quale ruotava prima del distacco e dove era vincolata,
Ringrazio in anticipo chi riesce a darmi una spiegazione,
Risposte
E' (quasi) corretto quello che hai scritto.
Solo che la risultante delle forze esterne non è nulla tra prima e dopo il distacco, visto che c'è un vincolo che peraltro cessa di agire...
In che senso non sai "come gestire la parte relativa al distacco dell'asta dal punto O"?
Rispetto a quale punto il momento angolare si conserva? Una volta stabilito quello dalla conservazione del momento angolare puoi ottenere sia la velocità di traslazione del centro di massa sia la velocità angolare di rotazione dell'asta.
Per il calcolo dell'energia cinetica finale puoi sempre applicare il teorema di Koenig.
Solo che la risultante delle forze esterne non è nulla tra prima e dopo il distacco, visto che c'è un vincolo che peraltro cessa di agire...
In che senso non sai "come gestire la parte relativa al distacco dell'asta dal punto O"?
Rispetto a quale punto il momento angolare si conserva? Una volta stabilito quello dalla conservazione del momento angolare puoi ottenere sia la velocità di traslazione del centro di massa sia la velocità angolare di rotazione dell'asta.
Per il calcolo dell'energia cinetica finale puoi sempre applicare il teorema di Koenig.
Ma perchè la rottura del vincolo dovrebbe modificare l'energia cinetica?
Buonasera a tutti!
A costo di passare per stupido, mi unisco anche io alla domanda di @Dembe. Non riesco a venire a capo e ad arrivare alla soluzione; c'è qualcosa che mi sfugge. Sono bloccato anche sul ragionamento. C'è qualcuno che potrebbe riportare tutti i vari passaggi spiegati?
Il problema in questione dovrebbe essere tratto da "La Fisica di Cutnell e Johnson" del terzo anno di superiori. Mi vergogno a dire che non sono riuscito a capire come svolgerlo. Il testo completo del libro è il seguente:
Un'asta omogenea di massa m=0,60 kg e lunghezza l=0,50 m ruota su un piano orizzontale attorno a una sua estremità con velocità angolare $omega_0=4,0 (rad)/s$. A un dato istante il perno che tiene ferma l'estremità dell'asta si rompe e l'asta è libera di muoversi sul piano. Trascura tutti gli attriti.
- Spiega perché l'asta trasla, ruotando attorno al suo centro
- Calcola l'energia cinetica finale dell'asta.
Il risultato riportato dal libro è 0,33 J.
Grazie sin da ora a quanti risponderanno e, come sempre,
saluti
A costo di passare per stupido, mi unisco anche io alla domanda di @Dembe. Non riesco a venire a capo e ad arrivare alla soluzione; c'è qualcosa che mi sfugge. Sono bloccato anche sul ragionamento. C'è qualcuno che potrebbe riportare tutti i vari passaggi spiegati?
Il problema in questione dovrebbe essere tratto da "La Fisica di Cutnell e Johnson" del terzo anno di superiori. Mi vergogno a dire che non sono riuscito a capire come svolgerlo. Il testo completo del libro è il seguente:
Un'asta omogenea di massa m=0,60 kg e lunghezza l=0,50 m ruota su un piano orizzontale attorno a una sua estremità con velocità angolare $omega_0=4,0 (rad)/s$. A un dato istante il perno che tiene ferma l'estremità dell'asta si rompe e l'asta è libera di muoversi sul piano. Trascura tutti gli attriti.
- Spiega perché l'asta trasla, ruotando attorno al suo centro
- Calcola l'energia cinetica finale dell'asta.
Il risultato riportato dal libro è 0,33 J.
Grazie sin da ora a quanti risponderanno e, come sempre,
saluti
Quando il vincolo si rompe, il centro di massa dell'asta prosegue a muoversi di moto rettilineo uniforme.
La sua velocità è $omegaL/2$.
Il momento angolare si conserva, e prima della rottura era $1/3mL^2omega$, riferito al perno. Dopo la rottura, riferito sempre al punto dov'era il perno, è composto da due termini, quello dovuto alla rotazione intorno al centro del'asta, $1/12mL^2omega'$ e quello dovuto alla traslazione, $mvL/2 = 1/4mL^2omega$. I due termini, sommati, danno $1/3mL^2omega$ , il valore precedente, purchè sia $omega = omega'$, quindi anche la velocità angolare si conserva, cosa che potevamo immaginare.
L'energia cinetica si può trovare sommando i due termini di traslazione e di rotazione, se ci si vuole complicare la vita, se no è quella iniziale, visto che non è stato fatto lavoro sul sistema
La sua velocità è $omegaL/2$.
Il momento angolare si conserva, e prima della rottura era $1/3mL^2omega$, riferito al perno. Dopo la rottura, riferito sempre al punto dov'era il perno, è composto da due termini, quello dovuto alla rotazione intorno al centro del'asta, $1/12mL^2omega'$ e quello dovuto alla traslazione, $mvL/2 = 1/4mL^2omega$. I due termini, sommati, danno $1/3mL^2omega$ , il valore precedente, purchè sia $omega = omega'$, quindi anche la velocità angolare si conserva, cosa che potevamo immaginare.
L'energia cinetica si può trovare sommando i due termini di traslazione e di rotazione, se ci si vuole complicare la vita, se no è quella iniziale, visto che non è stato fatto lavoro sul sistema
Grazie @mgrau per aver risposto e per la spiegazione che penso di aver capito.
Commettevo un doppio, stupidissimo, errore: nel calcolare il momento angolare prima e dopo la rottura del perno cambiavo polo (prima rispetto al perno, poi rispetto al centro di massa); inoltre dimenticavo una cosa fondamentale, cioè che il momento angolare di un corpo rigido in rototraslazione non è solo $L=Iomega$, ma la somma del momento angolare del corpo rispetto al suo centro di massa e del momento angolare del centro di massa stesso. Ora vado a cercare il cilicio riposto da qualche parte per punirmi
.
Resta solo una domanda che mi lascia ancora perplesso, se posso: sfruttando il tuo prezioso suggerimento
ho calcolato l'energia cinetica iniziale (che, quindi, dovrebbe essere pari a quella finale), usando la formula dell'energia cinetica rotazionale, in quanto inizialmente il corpo ruota intorno al perno senza traslare. Così facendo ottengo $K_i=K_f=1/2Iomega^2=1/2*1/3ML^2omega^2=1/6*0,6kg*(0,5m)^2*(4(rad)/s)^2=0,4J$, ben lontano dal valore di 0,33 J riportato come risultato nel libro. Ora, il valore 0,33 J mi sembra troppo "preciso" per essere un errore, ma tutto può essere. Sbaglio qualcosa io nel calcolo o è un errore del libro?
Grazie ancora
Commettevo un doppio, stupidissimo, errore: nel calcolare il momento angolare prima e dopo la rottura del perno cambiavo polo (prima rispetto al perno, poi rispetto al centro di massa); inoltre dimenticavo una cosa fondamentale, cioè che il momento angolare di un corpo rigido in rototraslazione non è solo $L=Iomega$, ma la somma del momento angolare del corpo rispetto al suo centro di massa e del momento angolare del centro di massa stesso. Ora vado a cercare il cilicio riposto da qualche parte per punirmi
.Resta solo una domanda che mi lascia ancora perplesso, se posso: sfruttando il tuo prezioso suggerimento
"mgrau":
Ma perchè la rottura del vincolo dovrebbe modificare l'energia cinetica?
ho calcolato l'energia cinetica iniziale (che, quindi, dovrebbe essere pari a quella finale), usando la formula dell'energia cinetica rotazionale, in quanto inizialmente il corpo ruota intorno al perno senza traslare. Così facendo ottengo $K_i=K_f=1/2Iomega^2=1/2*1/3ML^2omega^2=1/6*0,6kg*(0,5m)^2*(4(rad)/s)^2=0,4J$, ben lontano dal valore di 0,33 J riportato come risultato nel libro. Ora, il valore 0,33 J mi sembra troppo "preciso" per essere un errore, ma tutto può essere. Sbaglio qualcosa io nel calcolo o è un errore del libro?
Grazie ancora
.
Anche a me risulta che l'energia cinetica sia 0.4 joule.
Direi che è sbagliata la soluzione fornita dal testo.
Da notare che in questo caso è vero che l'energia cinetica si conserva, ma non sarebbe vero in generale nel caso opposto: di un'asta che ruota e trasla e in cui un estremo viene improvvisamente vincolato a stare fermo.
Direi che è sbagliata la soluzione fornita dal testo.
Da notare che in questo caso è vero che l'energia cinetica si conserva, ma non sarebbe vero in generale nel caso opposto: di un'asta che ruota e trasla e in cui un estremo viene improvvisamente vincolato a stare fermo.
Grazie a tutti per l'interesse dimostrato. Anche io avevo iniziato pensando che una volta staccato dal perno l'asta procedeva in moto rettilineo uniforme nella stessa direzione e verso della velocità del centro di massa dell'asta al momento del distacco, e con lo stesso modulo della velocità v=1 m/s. A questo punto il momento angolare è composto da due parti: quella relativa alla traslazione, riferita al punto O è quella relativa alla rotazione dell'asta rispetto al centro di massa. I passaggi sono spiegati dagli utenti Mgrau e ByMax. Alla fine il valore del momento di inerzia finale risultava uguale a quello iniziale e quindi anche la velocità angolare finale era uguale a quella iniziale. Quindi anche l'energia cinetica finale era uguale a quella iniziale, ma il testo suggeriva un risultato diverso e mi ha mandato in confusione.
Concordo con l'utente collesella sul testo, se si ha dimestichezza con inglese è meglio la versione originale;anche nel precedente esercizio che ho postato c'era un errore di traduzione riferito al blocco che non si è mosso ma è stato spostato. Grazie a tutti e buona giornata.
Concordo con l'utente collesella sul testo, se si ha dimestichezza con inglese è meglio la versione originale;anche nel precedente esercizio che ho postato c'era un errore di traduzione riferito al blocco che non si è mosso ma è stato spostato. Grazie a tutti e buona giornata.
Grazie a tutti! (@mgrau, @sellacolesella, @Faussone e @Dembe, col quale mi scuso se mi sono sovrapposto nel thread, ma mi interessava particolarmente).
Dunque, è errato il risultato del testo (mannaggia!). Anche io mi ritrovo con quanto detto da @sellacollesella, tant'è vero che, avendo notato che fosse un problema del Cutnell, la prima cosa che ho fatto è stata andare a riprendere il libro originale in inglese, ma non ho trovato l'esercizio (dal che ho dedotto che fosse uno dei problemi aggiunti alla versione italiana e non presenti nell'originale inglese).
Grazie anche per questa precisazione ed interessante spunto di riflessione.
Come sempre,
saluti
Dunque, è errato il risultato del testo (mannaggia!). Anche io mi ritrovo con quanto detto da @sellacollesella, tant'è vero che, avendo notato che fosse un problema del Cutnell, la prima cosa che ho fatto è stata andare a riprendere il libro originale in inglese, ma non ho trovato l'esercizio (dal che ho dedotto che fosse uno dei problemi aggiunti alla versione italiana e non presenti nell'originale inglese).
"Faussone":
Da notare che in questo caso è vero che l'energia cinetica si conserva, ma non sarebbe vero in generale nel caso opposto: di un'asta che ruota e trasla e in cui un estremo viene improvvisamente vincolato a stare fermo.
Grazie anche per questa precisazione ed interessante spunto di riflessione.
Come sempre,
saluti
"Faussone":
Da notare che in questo caso è vero che l'energia cinetica si conserva, ma non sarebbe vero in generale nel caso opposto: di un'asta che ruota e trasla e in cui un estremo viene improvvisamente vincolato a stare fermo.
Sicuro di questo? A me sembrerebbe di no, ma mi posso sbagliare... Avresti un esempio?
"mgrau":
[quote="Faussone"]
Da notare che in questo caso è vero che l'energia cinetica si conserva, ma non sarebbe vero in generale nel caso opposto: di un'asta che ruota e trasla e in cui un estremo viene improvvisamente vincolato a stare fermo.
Sicuro di questo? A me sembrerebbe di no, ma mi posso sbagliare... Avresti un esempio?[/quote]
Un'asta omogenea di massa 0.6 kg e lunghezza 0.5 m ruota su un piano attorno al proprio centro di massa, in senso diciamo antiorario, a 12 rad/sec e nello stesso tempo il centro di massa trasla, diciamo verso destra, ad 1 m/s. Ad un certo punto il suo estremo più in basso si aggancia ad punto fisso che istantaneamente lo blocca e lo vincola a rimanere lì agganciato. Determinare energia cinetica iniziale e finale.
Hai ragione. La comparsa improvvisa di un vincolo si comporta più o meno come un urto anelastico.
E un esempio molto più semplice è quello di un'asta che trasla senza ruotare, in direzione perpendicolare all'asta, e il cui punto medio viene bloccato. Esattamente un urto anelastico contro un corpo di massa infinita.
O anche se ruota. Nel qual caso la rotazione prosegue inalterata, e la traslazione cessa.
E un esempio molto più semplice è quello di un'asta che trasla senza ruotare, in direzione perpendicolare all'asta, e il cui punto medio viene bloccato. Esattamente un urto anelastico contro un corpo di massa infinita.
O anche se ruota. Nel qual caso la rotazione prosegue inalterata, e la traslazione cessa.
"mgrau":
E un esempio molto più semplice è quello di un'asta che trasla senza ruotare, in direzione perpendicolare all'asta, e il cui punto medio viene bloccato. Esattamente un urto anelastico contro un corpo di massa infinita.
O anche se ruota. Nel qual caso la rotazione prosegue inalterata, e la traslazione cessa.
Io ho fatto quell'esempio perchè l'energia cinetica finale in quel caso è zero, così è molto evidente la differenza
.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo