Energia cinetica lamina triangolare
Ciao a tutti. Vi chiedo il seguente esercizio:
Determinare l'energia cinetica di una lamina omogenea, di massa m, avente la forma di un triangolo rettangolo isoscele di cateto l, nel caso in cui la lamina ruoti con velocità angolare costante $ phi $ attorno a uno dei cateti.
$ T=1/2 (iota * phi ^2) $
dove $ iota $ è il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione, cioè il cateto attorno al quale ruota il triangolo e calcolo questo momento attraverso il teorema di Huygens:
$ iota= iota_(cm)+md^2 $
dove $ iota_(cm)= (m(2l^2))/6$ è il momento di inerzia del centro di massa del triangolo (ammetto di non essere sicura di questo momento d'inerzia, ho visto la formula per i triangoli rettangoli da una tabella)
e $ d^2=l^2/9 $ è la distanza dell'asse parallelo all'asse di rotazione e passante per il centro di massa del triangolo.
Quindi, facendo i conti ottengo che, alla fine, l'energia cinetica del sistema è
$ T= 2/9(ml^2 phi^2) $
Qualcuno può dirmi se può andare bene?
Grazie
Determinare l'energia cinetica di una lamina omogenea, di massa m, avente la forma di un triangolo rettangolo isoscele di cateto l, nel caso in cui la lamina ruoti con velocità angolare costante $ phi $ attorno a uno dei cateti.
$ T=1/2 (iota * phi ^2) $
dove $ iota $ è il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione, cioè il cateto attorno al quale ruota il triangolo e calcolo questo momento attraverso il teorema di Huygens:
$ iota= iota_(cm)+md^2 $
dove $ iota_(cm)= (m(2l^2))/6$ è il momento di inerzia del centro di massa del triangolo (ammetto di non essere sicura di questo momento d'inerzia, ho visto la formula per i triangoli rettangoli da una tabella)
e $ d^2=l^2/9 $ è la distanza dell'asse parallelo all'asse di rotazione e passante per il centro di massa del triangolo.
Quindi, facendo i conti ottengo che, alla fine, l'energia cinetica del sistema è
$ T= 2/9(ml^2 phi^2) $
Qualcuno può dirmi se può andare bene?
Grazie
Risposte
Senza utilizzare tabelle strane, potresti fare così:
suddividi la lamina in tante striscioline, di lunghezza $l$ e altezza$dl$, con $0<=l<=L$, e integri il momento d'inerzia di queste strisce (aste) che tutte ruotano intorno ad un estremo.
Il MI di un'asta che ruota intorno a un estremo è $1/3ml^2$,
dove $m$, massa dell'asta, è data da $k*l*dl$, con $k$ densità superficiale della lamina, che si trova dividendo la massa totale per la superficie:
$k = (2M)/L^2$
In definitiva quindi si avrà $MI = int_0^L 1/3 (2M)/L^2 * l * l^2 dl = 2/3M/L^2 int_0^L l^3dl = 2/3M/L^2 L^4/4 = 1/6 ML^2$
che sarebbe quindi il MI della lamina che ruota intorno ad un cateto, e coincide con quello che avevi ricavato tu come MI per una rotazione intorno al CM (se ho capito bene).
Quindi secondo me non devi più aggiungere il termine $md^2$.
Se non ho sbagliato i conti...
suddividi la lamina in tante striscioline, di lunghezza $l$ e altezza$dl$, con $0<=l<=L$, e integri il momento d'inerzia di queste strisce (aste) che tutte ruotano intorno ad un estremo.
Il MI di un'asta che ruota intorno a un estremo è $1/3ml^2$,
dove $m$, massa dell'asta, è data da $k*l*dl$, con $k$ densità superficiale della lamina, che si trova dividendo la massa totale per la superficie:
$k = (2M)/L^2$
In definitiva quindi si avrà $MI = int_0^L 1/3 (2M)/L^2 * l * l^2 dl = 2/3M/L^2 int_0^L l^3dl = 2/3M/L^2 L^4/4 = 1/6 ML^2$
che sarebbe quindi il MI della lamina che ruota intorno ad un cateto, e coincide con quello che avevi ricavato tu come MI per una rotazione intorno al CM (se ho capito bene).
Quindi secondo me non devi più aggiungere il termine $md^2$.
Se non ho sbagliato i conti...
Ho provato a rifare i conti come dici tu..ma non capisco: perchè nell'integrale (non dovrebbe essere doppio?) metti il momento di inerzia di un'asta che ruota attorno ad un estremo? :S :S
"Lullaby93":
perchè nell'integrale (non dovrebbe essere doppio?) metti il momento di inerzia di un'asta che ruota attorno ad un estremo? :S :S
Perchè integrale doppio? Affettando il triangolo vengono delle aste, come quella evidenziata, con una lunghezza che va da 0 a L, e che ruota intorno a un estremo
Ti ringrazio 
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