Energia cinetica iniziale
Ciao! Trovo difficoltà nel scrivere l'energia cinetica in questo quesito.
Dunque: due aste sono incernierate nell'estremo comune $B$; l'asta $AB$ ha l'estremo $A$ incernierato in un punto fisso; $C$ è vincolato a scorrere su una guida. La molla non è deformata quando l'estremo $C$ coincide con $A$. La lunghezza delle due aste è la medesima: $L$
Partendo con entrambe le aste orizzontali, quale deve essere il modulo $omega$ della velocità angolare iniziale dell'asta $AB$ affinché il sistemi arrivi a fermarsi quando $\vartheta=\vartheta_0$?
Ho che l'energia cinetica finale è $0$. Non so come scrivere l'energia cinetica iniziale. Da principio pensavo fosse $1/2I_Aomega_(AB)^2+1/2I_(g)omega_(BC)^2+1/2Mv_g^2$ ma non torna.
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Dunque: due aste sono incernierate nell'estremo comune $B$; l'asta $AB$ ha l'estremo $A$ incernierato in un punto fisso; $C$ è vincolato a scorrere su una guida. La molla non è deformata quando l'estremo $C$ coincide con $A$. La lunghezza delle due aste è la medesima: $L$
Partendo con entrambe le aste orizzontali, quale deve essere il modulo $omega$ della velocità angolare iniziale dell'asta $AB$ affinché il sistemi arrivi a fermarsi quando $\vartheta=\vartheta_0$?
Ho che l'energia cinetica finale è $0$. Non so come scrivere l'energia cinetica iniziale. Da principio pensavo fosse $1/2I_Aomega_(AB)^2+1/2I_(g)omega_(BC)^2+1/2Mv_g^2$ ma non torna.
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Risposte
Ragionando velocemente direi che l'energia cinetica iniziale è data da:
energia cinetica dovuta alla pura rotazione dell'asta AB attorno ad A, quindi $1/2I_A * omega^2$
L'asta BC oltre a ruotare (con la stessa velocità angolare) trasla con una velocità pari a $omega L$, quindi la sua energia cinetica è somma di quella di traslazione e quella di rotazione $1/2I_B * omega^2$
Attenzione che i momenti di inerzia delle aste sono quelli calcolati agli estremi
Può essere?
energia cinetica dovuta alla pura rotazione dell'asta AB attorno ad A, quindi $1/2I_A * omega^2$
L'asta BC oltre a ruotare (con la stessa velocità angolare) trasla con una velocità pari a $omega L$, quindi la sua energia cinetica è somma di quella di traslazione e quella di rotazione $1/2I_B * omega^2$
Attenzione che i momenti di inerzia delle aste sono quelli calcolati agli estremi
Può essere?
Io direi che la velocità di traslazione dell'asta BC, con le due aste orizzontali, sia $(omegaL)/2$.
"MaMo":
Io direi che la velocità di traslazione dell'asta BC, con le due aste orizzontali, sia $(omegaL)/2$.
Se consideri il momento d'inerzia rispetto al centro dell'asta, il centro dell'asta cioè il centro di massa dell'asta BC trasla con velocità $omega L + (omega L)/2 = 3/2 omega L$, invece considerandolo il momento d'inerzia rispetto all'asse passante per B come ho ipotizzato io la velocità da considerare è la velocità del punto B cioè $omega L$
Ho provato in entrambi i modi, cioè, considerando una volta il momento di inerzia rispetto a $B$, l'altra, rispetto al centro di massa dell'asta $BC$. Però, continua a non tornarmi. Dunque:
1) Considero il momento di inerzia rispetto $B$ e la velocità del punto $B$ sarà $omegaL$
$1/6mL^2omega^2+1/6ML^2omega^2+1/2ML^2omega^2=V-V_0$ dove $V-V_0=1/2gLsin\vartheta(M+m)-2kL^2sin^2\vartheta$
2) Considero il momento di inerzia rispetto al centro di massa dell'asta $BC$ e la velocità del centro di massa è $3/2omegaL$
$1/6mL^2omega^2+1/24ML^2omega^2+1/2M*9/4L^2omega^2=V-V_0$
Il risultato del libro è $omega=g/(4L)*sqrt(3(M+m))/sqrtk=2.62 (rad)/s$
$L=0.9m$, $m=3kg$, $M=5kg$, $K=26N/m$, $\vartheta=24°46'$
Come mai, la velocità del centro di massa dell'asta $BC$ è $3/2omegaL$? Per caso, per questo motivo: $v_G=v_A+omega x (G-A)$ Quindi $v_G=3/2Lomega$.
Grazie.
1) Considero il momento di inerzia rispetto $B$ e la velocità del punto $B$ sarà $omegaL$
$1/6mL^2omega^2+1/6ML^2omega^2+1/2ML^2omega^2=V-V_0$ dove $V-V_0=1/2gLsin\vartheta(M+m)-2kL^2sin^2\vartheta$
2) Considero il momento di inerzia rispetto al centro di massa dell'asta $BC$ e la velocità del centro di massa è $3/2omegaL$
$1/6mL^2omega^2+1/24ML^2omega^2+1/2M*9/4L^2omega^2=V-V_0$
Il risultato del libro è $omega=g/(4L)*sqrt(3(M+m))/sqrtk=2.62 (rad)/s$
$L=0.9m$, $m=3kg$, $M=5kg$, $K=26N/m$, $\vartheta=24°46'$
Come mai, la velocità del centro di massa dell'asta $BC$ è $3/2omegaL$? Per caso, per questo motivo: $v_G=v_A+omega x (G-A)$ Quindi $v_G=3/2Lomega$.
Grazie.
"Mirino06":
Come mai, la velocità del centro di massa dell'asta $BC$ è $3/2omegaL$? Per caso, per questo motivo: $v_G=v_A+omega x (G-A)$ Quindi $v_G=3/2Lomega$.
Perché la velocità del punto B è $omega L$, l'asta BC è incernierata in B e il suo centro di massa (che dista $L/2$ da B) si muove con velocità $omega L / 2$ rispetto a B, quindi sommando ottieni $3/2 omega L$. Dato che stiamo parlando dell'istante iniziale in cui le aste sono entrambe verticali, possiamo considerare $sen vartheta = 1$
Ma all'istante iniziale le aste sono orizzontali.
Argh, ho riletto meglio, è vero 
! Allora le espressioni cambiano.
In questo caso affronterei così la questione: l'energia cinetica iniziale è data da quella di rotazione delle due aste $2 * 1/2 I omega^2$ (sono due aste quindi ho messo il $2 *$), dove $I$ è il momento d'inerzia delle aste rispetto a un loro estremo. Quella di traslazione dovrebbe essere trascurabile per angoli piccoli (magari verificalo formalmente) perché dipende dal coseno di $vartheta$ e per angoli piccoli sviluppando in serie il termine di traslazione dovrebbe essere infinitesimo rispetto all'energia cinetica di rotazione
! Allora le espressioni cambiano.In questo caso affronterei così la questione: l'energia cinetica iniziale è data da quella di rotazione delle due aste $2 * 1/2 I omega^2$ (sono due aste quindi ho messo il $2 *$), dove $I$ è il momento d'inerzia delle aste rispetto a un loro estremo. Quella di traslazione dovrebbe essere trascurabile per angoli piccoli (magari verificalo formalmente) perché dipende dal coseno di $vartheta$ e per angoli piccoli sviluppando in serie il termine di traslazione dovrebbe essere infinitesimo rispetto all'energia cinetica di rotazione
Così come hai detto tu, torna. Io però facevo il momento di inerzia rispetto ad $A$, il momento di inerzia rispetto al centro di massa dell'asta $BC$ $+$ la velocità del centro di massa dell'asta $BC$
Per calcolare la velocità, scrivevo le coordinate del centro di massa in funzione di $vartheta$, per una generica configurazione, e poi sostituivo al posto di $vartheta$, il valore $0$.
Cioè:
$\{(x_G=3/2Lcos\vartheta),(y_G=L/2sin\vartheta):}$ Ne facevo la derivata, elevavo al quadrato e ottenevo: $v^2=9/4L^2omega^2sin^2vartheta+L^2/4omega^2cos^2vartheta$ Sosituivo al posto di $vartheta$, $0$, e quindi ottenevo che $v^2=L^2/4omega^2$
Come mai questo procedimento era sbagliato?
Per calcolare la velocità, scrivevo le coordinate del centro di massa in funzione di $vartheta$, per una generica configurazione, e poi sostituivo al posto di $vartheta$, il valore $0$.
Cioè:
$\{(x_G=3/2Lcos\vartheta),(y_G=L/2sin\vartheta):}$ Ne facevo la derivata, elevavo al quadrato e ottenevo: $v^2=9/4L^2omega^2sin^2vartheta+L^2/4omega^2cos^2vartheta$ Sosituivo al posto di $vartheta$, $0$, e quindi ottenevo che $v^2=L^2/4omega^2$
Come mai questo procedimento era sbagliato?
Non so se ho interpretato bene magari descrivimi testualmente su cosa si basa il tuo procedimento, però se non erro tu sopra hai calcolato l'energia cinetica del centro di massa della seconda asta nella traslazione verticale giusto?
Se così è, mancano dal bilancio le energie cinetiche dovute alla rotazione delle due aste
Se così è, mancano dal bilancio le energie cinetiche dovute alla rotazione delle due aste
Avevo scritto:
$1/2I_A*omega_(AB)^2+1/2I_g*omega_(BC)^2+1/2Mv_g^2=V-V_0$
Quindi, per ricavare quanto valeva la velocità del centro di massa, avevo scritto le coordinate del centro di massa in funzione dell'angolo, le avevo derivate, elevate al quadrate e sommate, in modo da ottenere la velocità al quadrato.
$1/2I_A*omega_(AB)^2+1/2I_g*omega_(BC)^2+1/2Mv_g^2=V-V_0$
Quindi, per ricavare quanto valeva la velocità del centro di massa, avevo scritto le coordinate del centro di massa in funzione dell'angolo, le avevo derivate, elevate al quadrate e sommate, in modo da ottenere la velocità al quadrato.
Chiedo conferma: $I_A$ è il momento d'inerzia rispetto ad un estremo A, mentre $I_g$ è quello rispetto al centro dell'asta giusto?
In ogni caso, a primo membro devi scrivere $1/2I_g * omega^2$ e non $1/2I_g^2 * omega$
In ogni caso, a primo membro devi scrivere $1/2I_g * omega^2$ e non $1/2I_g^2 * omega$
"Davvi":
Chiedo conferma: $I_A$ è il momento d'inerzia rispetto ad un estremo A, mentre $I_g$ è quello rispetto al centro dell'asta giusto?
$I_A$ è l'energia cinetica per l'asta $AB$, mentre $I_g$ è rispetto all'asta $BC$
"Davvi":
In ogni caso, a primo membro devi scrivere $1/2I_g * omega^2$ e non $1/2I_g^2 * omega$
Dove ho scritto $1/2I_g^2 * omega$?
"Mirino06":
[quote="Davvi"]In ogni caso, a primo membro devi scrivere $1/2I_g * omega^2$ e non $1/2I_g^2 * omega$
Dove ho scritto $1/2I_g^2 * omega$?[/quote]
Forse mi si era incasinato il javascritp per il linguaggio matematico delle formule, prima vedevo la formula scritta così, adesso è ok
"Mirino06":
[quote="Davvi"]Chiedo conferma: $I_A$ è il momento d'inerzia rispetto ad un estremo A, mentre $I_g$ è quello rispetto al centro dell'asta giusto?
$I_A$ è l'energia cinetica per l'asta AB, mentre $I_g$ è rispetto all'asta $BC$[/quote]
Casomai $I_A$ e $I_g$ sono momenti d'inerzia e non energie
e io ti chiedo: rispetto a quali punti (o meglio, assi uscenti dalla pagina) sono calcolati?
Sì, rispetto ad assi uscenti dalla pagina.
Forse non hai compreso la mia domanda che ti ripropongo:
rispetto a quali punti sono calcolati i momento d'inerzia delle aste? Perché se tu li calcoli rispetto al centro di massa poi la velocità di traslazione da considerare è quella del cdm, se li calcoli rispetto a un estremo no... sono riuscito a spiegarmi meglio?
rispetto a quali punti sono calcolati i momento d'inerzia delle aste? Perché se tu li calcoli rispetto al centro di massa poi la velocità di traslazione da considerare è quella del cdm, se li calcoli rispetto a un estremo no... sono riuscito a spiegarmi meglio?
"Mirino06":
Avevo scritto:
$1/2I_A*omega_(AB)^2+1/2I_g*omega_(BC)^2+1/2Mv_g^2=V-V_0$
Quindi, per ricavare quanto valeva la velocità del centro di massa, avevo scritto le coordinate del centro di massa in funzione dell'angolo, le avevo derivate, elevate al quadrate e sommate, in modo da ottenere la velocità al quadrato.
Ho scritto il momento d'inerzia rispetto al punto $A$ (per l'asta $AB$), mentre per l'asta $BC$ ho scritto il momento di inerzia rispetto al suo centro di massa, più la velocità di traslazione del centro di massa.
Per calcolare la velocità, scrivevo le coordinate del centro di massa in funzione di $vartheta$, per una generica configurazione, e poi sostituivo al posto di $vartheta$, il valore $0$.
Cioè:
$\{(x_G=3/2Lcos\vartheta),(y_G=L/2sin\vartheta):}$ Ne facevo la derivata, elevavo al quadrato e ottenevo: $v^2=9/4L^2omega^2sin^2vartheta+L^2/4omega^2cos^2vartheta$ Sosituivo al posto di $vartheta$, $0$, e quindi ottenevo che $v^2=L^2/4omega^2$
Potete dami una mano?
Non ho letto tutti i post ma mi sembra che tu abbia fatto bene.
Qual è il problema?
Qual è il problema?
Che non mi torna: Cioè, facendo $1/2I_A*omega_(AB)^2+1/2I_g*omega_(BC)^2+1/2Mv_g^2=V-V_0$ e sostituendo al posto di $v^2$, $L^2/4omega^2$, il risultato è diverso.
Mi torna invece, facendo $1/2I_Aomega^2+1/2I_Bomega^2=V-V_0$
Mi torna invece, facendo $1/2I_Aomega^2+1/2I_Bomega^2=V-V_0$
Allora sbagli il momento di inerzia rispetto al centro dell'asta. Esso è $I_g = 1/12 M L^2$.
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