Energia cinetica disco e asta

[Studente Anonimo]

Ciao a tutti,

Devo scrivere l'energia cinetica di un corpo.
Il corpo in questione è un anello che rotola senza strisciare su un piano inclinato. Internamente all'anello vi è un'asta, saldata.
L'anello ha massa $M$ e raggio $R$. La distanza del punto centrale dell'asta dal centro dell'anello è uguale a $R/2$. L'asta ha massa $M$e lunghezza uguale a $sqrt(3)R$.





Userò il pedice $a$ per l'anello ed il pedice $s$ per l'asta.
Posizioni dei centri di massa:

$ { ( x_a=Rtheta),( z_a=R ),( x_s=Rtheta + R/2cos(theta) ),( z_s=R-R/2sin(theta) ):} $

Velocità dei centri di massa:

$ { ( dot(x)_a=Rdot(theta)),( dot(z)_a=0 ),( dot(x)_s=Rdot(theta) - R/2dot(theta)sin(theta) ),( dot(z)_s=-R/2dot(theta)cos(theta) ):} $

Io ho scritto l'energia cinetica del sistema come somma dell'energia cinetica dell'anello $T_a$ ed energia cinetica dell'asta $T_s$:

$T=T_a+ T_s$

...

$T_a= 1/2 M v_a^2 + 1/2 I_(a)dot(theta)^2= 1/2MR^2dot(theta)^2 + 1/2MR^2 dot(theta)^2=MR^2 dot(theta)^2$

$T_s= 1/2 M v_s^2 + 1/2 I_(s)dot(theta)^2$

$= 1/2 M (5/4R^2dot(theta)^2-R^2dot(theta)^2sin(theta))+ 1/2 1/12M3R^2dot(theta)^2$

$= 1/2 MR^2dot(theta)^2 (5/4-sin(theta))+ 1/8MR^2dot(theta)^2$

$= 1/2 MR^2dot(theta)^2 (11/8-sin(theta))$

...

$T= MR^2 dot(theta)^2+ 1/2 MR^2dot(theta)^2 (11/8-sin(theta))= 1/2 MR^2dot(theta)^2 (27/8-sin(theta))$

Ho guardato e riguardato i miei calcoli, ma non riesco a capire dove ho sbagliato.

Il risultato dovrebbe essere $T= 1/2MR^2dot(theta)^2(7/2-sin(theta))$

Un altro ragazzo ha calcolato prima il centro di massa di tutto il sistema e ha calcolato i momenti d'inerzia rispetto a quel centro di massa. Ha ottenuto il risultato corretto. Ma quello che ho fatto io non dovrebbe essere equivalente???

Grazie a chiunque mi sappia rispondere

[Studente Anonimo]

Nel passaggio sottostante:

"anonymous_f3d38a":
$=1/2MR^2dot\theta^2(5/4-sin\theta)+1/8MR^2dot\theta^2$
$=1/2MR^2dot\theta^2(11/8-sin\theta)$

hai commesso una svista:

$1/2MR^2dot\theta^2(5/4-sin\theta)+1/8MR^2dot\theta^2=1/2MR^2dot\theta^2(3/2-sin\theta)$

[Studente Anonimo]

Grazie mille. Per un attimo avevo dubitato della mia risoluzione, perché un altro ragazzo ha:
1) trovato la posizione del centro di massa del sistema anello-asta
2) scrivere $v_g^2$ di tale centro di massa
3) trovare il momento d'inerzia totale

io invece ho agito in modo leggermente diverso, e non capivo come mai non risultasse uguale, in quanto l'energia cinetica ed il momento d'inerzia sono additivi.

[Studente Anonimo]

Però col tuo procedimento però il moto dell'asta ed il moto dell'anello sembrano essere scollegati a livello matematico, no?

[Studente Anonimo]

"anonymous_be0efb":
... il moto dell'asta ed il moto dell'anello sembrano essere scollegati ...

Procedere introducendo un solo grado di libertà equivale a considerare il sistema rigido.

[Studente Anonimo]

Giusto non c'avevo pensato. Effettivamente sono saldati.