Energia cinetica di una trottola.
Salve,
sto preparando l'esame di fisica 1 e leggendo il teorema degli assi paralleli applicato al teorema di Konig si è creata un po' di confusione.
Sostanzialmente, il mio dubbio riguarda l'energia cinetica di un corpo che ruota con velocità w costante e contemporaneamente si muove con velocità v costante.
Mi spiego meglio con un esempio: una palla di massa m si muove su di un piano orizzontale privo di attrito con velocità v costante e gira su se stessa attorno al proprio asse di simmetria verticale al piano con velocità w (in senso antiorario se vista dall'alto).
$\uparrow$ w
O $\rightarrow$ v
L'energia cinetica della palla è data da $E_k = 1/2 m v^2$ oppure devo considerare anche la rotazione, e la sua energia cinetica diventa $E_k = 1/2 m v^2 + 1/2 I w^2$?
Se, invece, considero un moto di puro rotolamento, posso scrivere l'energia cinetica nelle due forme $E_k = 1/2 m v^2 = 1/2 I w^2$, oppure solo una è corretta?
Grazie.
sto preparando l'esame di fisica 1 e leggendo il teorema degli assi paralleli applicato al teorema di Konig si è creata un po' di confusione.
Sostanzialmente, il mio dubbio riguarda l'energia cinetica di un corpo che ruota con velocità w costante e contemporaneamente si muove con velocità v costante.
Mi spiego meglio con un esempio: una palla di massa m si muove su di un piano orizzontale privo di attrito con velocità v costante e gira su se stessa attorno al proprio asse di simmetria verticale al piano con velocità w (in senso antiorario se vista dall'alto).
$\uparrow$ w
O $\rightarrow$ v
L'energia cinetica della palla è data da $E_k = 1/2 m v^2$ oppure devo considerare anche la rotazione, e la sua energia cinetica diventa $E_k = 1/2 m v^2 + 1/2 I w^2$?
Se, invece, considero un moto di puro rotolamento, posso scrivere l'energia cinetica nelle due forme $E_k = 1/2 m v^2 = 1/2 I w^2$, oppure solo una è corretta?
Grazie.
Risposte
Se ho capito bene abbiamo una pallina che compie un moto di traiettoria circolare, e inoltre ruota attorno al suo centro di massa. io userei la seconda formula che hai scritto in quanto si applica Konig, e consideri la rotazione rispetto al suo asse principale (perchè passa per Cm) e di precessione rispetto a un punto che è il centro di curvatura. Comunque con il puro rotolamento l' equazione non cambia in quanto non ci sono forze esterne che fanno lavoro, ma non è vero che le due energie sono uguali, (una è la metà dell' altra).
Come nota, dato che siamo in moto piano, non ci sono momenti stabilizzatori.
Come nota, dato che siamo in moto piano, non ci sono momenti stabilizzatori.
"epimar1":
il mio dubbio riguarda l'energia cinetica di un corpo che ruota con velocità w costante e contemporaneamente si muove con velocità v costante.
L'energia cinetica di un corpo rigido è sempre data in generale dalla somma dell'energia cinetica di rotazione e di quella di traslazione. Nel caso della palla che ruota intorno alla verticale e trasla in orizzontale la formula giusta è la seconda che hai scritto.
Il caso della palla che rotola è concettualmente identico al precedente, con l'unica particolarità che quando hai puro rotolamento la velocità angolare e quella di traslazione non sono indipendenti ma sono legate dalla relazione $\omega R=v$ (dove $R$ è il raggio della palla) e quindi l'energia cinetica totale si può scrivere in funzione della sola $v$ o della sola $\omega$
Nel caso del puto rotolamento, inoltre, puoi sempre vedere la cosa da un altro punto di vista e cioè il moto rototraslatorio della palla (considerando la rotazione intorno all'asse che passa per il suo centro) è equivalente ad un moto solo rotatorio ma intorno ad un asse passante per il punto di contatto tra palla e suolo. In tale moto naturalmente devi considerare il momento di inerzia della sfera rispetto al nuovo asse di rotazione. Il risultato che ottieni per l'energia cinetica è ovviamente identico nei due casi.
"mathbells":
[quote="epimar1"]il mio dubbio riguarda l'energia cinetica di un corpo che ruota con velocità w costante e contemporaneamente si muove con velocità v costante.
L'energia cinetica di un corpo rigido è sempre data in generale dalla somma dell'energia cinetica di rotazione e di quella di traslazione. Nel caso della palla che ruota intorno alla verticale e trasla in orizzontale la formula giusta è la seconda che hai scritto.
Il caso della palla che rotola è concettualmente identico al precedente, con l'unica particolarità che quando hai puro rotolamento la velocità angolare e quella di traslazione non sono indipendenti ma sono legate dalla relazione $\omega R=v$ (dove $R$ è il raggio della palla) e quindi l'energia cinetica totale si può scrivere in funzione della sola $v$ o della sola $\omega$
Nel caso del puto rotolamento, inoltre, puoi sempre vedere la cosa da un altro punto di vista e cioè il moto rototraslatorio della palla (considerando la rotazione intorno all'asse che passa per il suo centro) è equivalente ad un moto solo rotatorio ma intorno ad un asse passante per il punto di contatto tra palla e suolo. In tale moto naturalmente devi considerare il momento di inerzia della sfera rispetto al nuovo asse di rotazione. Il risultato che ottieni per l'energia cinetica è ovviamente identico nei due casi.[/quote]
Grazie a entrambi per la spiegazione, ma la tua mi è stata più utile; solo un ultimo dubbio:
nel rotolamento puro $v=wR => E_k = 1/2 mR^2 w^2 + 1/2 I w^2$
da quel che ho capito, se consideriamo un punto materiale $I=mR^2 => E_k = mR^2 w^2 = mv^2$
mentre, nel caso di una sfera per esempio $I=2/5 mR^2 => E_k = 7/10 mR^2 w^2 = 7/10 mv^2$
In questo modo è giusto?
"epimar1":
da quel che ho capito, se consideriamo un punto materiale $I=mR2⇒Ek=mR2w2=mv2$
Per un punto materiale non ha senso considerare la rotazione...anche perché il suo momento d'inerzia sarebbe zero. Per un punto materiale hai solo energia cinetica di traslazione $E=\frac{1}{2}mv^2$
Per la sfera è giusto quello che hai scritto.
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