Energia cinetica corpo rotolante
Ciao, amici! Il mio libro di testo presenta una dimostrazione del fatto che un corpo rigido che rotoli senza strisciare attorno ad un asse, che si muove con velocità $\mathbf{v}$ perpendicolare all'asse e parallela alla superficie dove rotola il corpo, passante per il proprio centro di massa, ha energia cinetica\[K=\frac{1}{2}I_{cm}\omega^2+\frac{1}{2}Mv^2 \]dove $I_{cm}$ è il momento di inerzia rispetto a tale asse, $\omega$ è il modulo della velocità angolare \(\boldsymbol{\omega}\) del corpo rispetto all'asse, $M$ è la massa del corpo e \(v=\|\mathbf{v}\|\).
Il libro dice poi che tale equazione è valida anche quando il corpo rotola, ma anche striscia.
Direi che, considerando un corpo rigido composto da masse $m_i$ puntiformi discrete di velocità $\mathbf{v}_i$ e posizione rispetto all'asse $\mathbf{r}_i$, anche se direi che il ragionamento si estende considerando gli integrali corrispondenti alle sommatorie per il caso di un corpo continuo, si abbia che, considerando le componenti traslatoria e rotatoria del moto delle singole particelle
\[K=\frac{1}{2}\sum_i m_i \|\mathbf{v}_i\|^2=\frac{1}{2}\sum_i m_i \|\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_i\|^2=\frac{1}{2}\sum_i m_i\|\mathbf{v}\|^2+ \sum_i m_i\mathbf{v}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_i)+\frac{1}{2}\sum_i m_i\|\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_i\|^2\]\[=\frac{1}{2}Mv^2+ \mathbf{v}\cdot \Big( \boldsymbol{\omega}\times\sum_i m_i\mathbf{r}_i\Big) +\frac{1}{2} I_{cm}\omega^2 =\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2} I_{cm}\omega^2\]dove ho utilizzato il fatto che \( M^{-1}\sum_i m_i\mathbf{r}_i\) è la posizione del centro di massa rispetto a se stesso, cioè il vettore nullo.
Non mi sembra che i miei calcoli dipendano dal fatto che la velocità dell'asse sia perpendicolare all'asse e parallela alla superficie dove rotola il corpo. È necessaria tale ipotesi o la formula vale anche senza di essa?
Il libro dice poi che tale equazione è valida anche quando il corpo rotola, ma anche striscia.
Direi che, considerando un corpo rigido composto da masse $m_i$ puntiformi discrete di velocità $\mathbf{v}_i$ e posizione rispetto all'asse $\mathbf{r}_i$, anche se direi che il ragionamento si estende considerando gli integrali corrispondenti alle sommatorie per il caso di un corpo continuo, si abbia che, considerando le componenti traslatoria e rotatoria del moto delle singole particelle
\[K=\frac{1}{2}\sum_i m_i \|\mathbf{v}_i\|^2=\frac{1}{2}\sum_i m_i \|\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_i\|^2=\frac{1}{2}\sum_i m_i\|\mathbf{v}\|^2+ \sum_i m_i\mathbf{v}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_i)+\frac{1}{2}\sum_i m_i\|\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_i\|^2\]\[=\frac{1}{2}Mv^2+ \mathbf{v}\cdot \Big( \boldsymbol{\omega}\times\sum_i m_i\mathbf{r}_i\Big) +\frac{1}{2} I_{cm}\omega^2 =\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2} I_{cm}\omega^2\]dove ho utilizzato il fatto che \( M^{-1}\sum_i m_i\mathbf{r}_i\) è la posizione del centro di massa rispetto a se stesso, cioè il vettore nullo.
Non mi sembra che i miei calcoli dipendano dal fatto che la velocità dell'asse sia perpendicolare all'asse e parallela alla superficie dove rotola il corpo. È necessaria tale ipotesi o la formula vale anche senza di essa?
Risposte
In effetti quando un corpo ruota e trasla, non importa come siano orientati reciprocamente i vettori velocità e velocità angolare, l'energia cinetica può essere considerata come somma di due componenti, l'energia rotazionale attorno al CM e l'energia traslazionale, quest'ultima coincidente con l'energia cinetica che il corpo avrebbe se la sua massa fosse tutta concentrata in un punto, ovvero il CM. Dunque i vincoli imposti da quella formulazione mi pare facciano solo confusione e siano inappropriati. La tua dimostrazione mi pare corretta e come tu osservi giustamente prescinde dagli orientamenti dei vettori velocità.
$\infty$ grazie!!!
Comunque, perché valga \(\mathbf{v}_i=\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_i\) è in generale necessario che l'asse di rotazione rimanga lo stesso, cioè che esso passi sempre, pur cambiando posizione rispetto allo spazio circostante, per gli stessi punti del corpo (es.: se si tratta di un pianeta, che l'asse passi sempre per gli stessi poli), giusto?
Comunque, perché valga \(\mathbf{v}_i=\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_i\) è in generale necessario che l'asse di rotazione rimanga lo stesso, cioè che esso passi sempre, pur cambiando posizione rispetto allo spazio circostante, per gli stessi punti del corpo (es.: se si tratta di un pianeta, che l'asse passi sempre per gli stessi poli), giusto?
Sono un po' arrugginito per ricordarmi tutta la meccanica razionale, però non mi pare ci siano restrizioni di questo tipo, credo che per valere la formula basti che l'asse istantaneo di rotazione passi per l'origine delle coordinate (da cui parte il vettore posizione r) e che sia un corpo rigido. L'asse di rotazione può variare benissimo il suo orientamento rispetto al corpo.
Bene, ancora più generale. In effetti, ripensando al calcolo che ho fatto, direi che l'unica ipotesi necessaria è che l'asse di rotazione passi per il centro di massa in modo che si annulli \(\mathbf{v}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\sum_i m_i\mathbf{r}_i)\).
$\aleph_1$ grazie!!!
$\aleph_1$ grazie!!!
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