En. potenziale e punti di equilibrio
Ciao ragazzi , non mi è chiara una cosa.
Poniamo il caso di avere un'energia potenziale della forma $U(x) = Ax^2e^(Bx^2) $
Per $A<0, B<0 $ ho trovato due punti di equilibrio stabile che sono $x_1 = - sqrt(-1/B)$ e $x_2= sqrt(-1/B)$ , mentre $x=0$ è un punto di max, ovvero una posizione di equilibrio instabile.
Voglio calcolare la vel.minima che deve avere $x_1$ per poter raggiungere $x_2$.
Ora , in generale so che se vogliamo che un corpo in una posizione di equilibrio $x_e$ si allontani da quella posizione , deve essere che $E_k (x_e) > U(x_e)$ , me lo confermate?
In questo caso invece ho che $x_1$ deve poter raggiungere $x_2$.
Quindi ho una situazione del genere:
Come mi devo comportare?
Il prof dice che le due posizioni di equilibrio stabile sono separate da un massimo d’energia potenziale che è in x=0, dove U=0. L’energia cinetica minima necessaria in x1 per superare la barriera che separa x1 da x2 è pari a U(0)−U(x1)=−U(x1).
Non ho capito il motivo di questa differenza tra le due en.potenziali..
Grazie mille!
Poniamo il caso di avere un'energia potenziale della forma $U(x) = Ax^2e^(Bx^2) $
Per $A<0, B<0 $ ho trovato due punti di equilibrio stabile che sono $x_1 = - sqrt(-1/B)$ e $x_2= sqrt(-1/B)$ , mentre $x=0$ è un punto di max, ovvero una posizione di equilibrio instabile.
Voglio calcolare la vel.minima che deve avere $x_1$ per poter raggiungere $x_2$.
Ora , in generale so che se vogliamo che un corpo in una posizione di equilibrio $x_e$ si allontani da quella posizione , deve essere che $E_k (x_e) > U(x_e)$ , me lo confermate?
In questo caso invece ho che $x_1$ deve poter raggiungere $x_2$.
Quindi ho una situazione del genere:
Come mi devo comportare?
Il prof dice che le due posizioni di equilibrio stabile sono separate da un massimo d’energia potenziale che è in x=0, dove U=0. L’energia cinetica minima necessaria in x1 per superare la barriera che separa x1 da x2 è pari a U(0)−U(x1)=−U(x1).
Non ho capito il motivo di questa differenza tra le due en.potenziali..
Grazie mille!
Risposte
Nemmeno io. Non mi importa quanto sia in 0.
Basta che si verifichi questa situazione:
$E(x_1)+U(x_1)=U(x_2)$. Ovviamente deve essere $U(x_2)-U(x_1)>0$, altrimenti il corpo passa da $x_1$ a $x_2$ spontaneamente e non ha senso parlare di velocita' minima.
Il fatto che si sia una montagnola in mezzo (in x=0) non cambia nulla.
Basta che si verifichi questa situazione:
$E(x_1)+U(x_1)=U(x_2)$. Ovviamente deve essere $U(x_2)-U(x_1)>0$, altrimenti il corpo passa da $x_1$ a $x_2$ spontaneamente e non ha senso parlare di velocita' minima.
Il fatto che si sia una montagnola in mezzo (in x=0) non cambia nulla.
Questi esercizi sono bastardi, me ne capitó uno simile. Comunque concordo con la soluzione del tuo professore, tra x1 e 0 c'è una barriera di potenziale, per arrivare in x2 basta superare lo 0, ossia arrivare in x=0 con velocità nulla, poi la differenza di potenziale tra 0 e x2 farà il suo, non ci importa di quanto valga U(x2), ma solo la differenza U(x1)-U(0)
Quindi in realtà l'energia meccanica totale che serve al corpo per raggiungere da x1 il punto x2 è la stessa che gli serve per allontanarsi da x1 stesso? Voglio dire..se il corpo arriva a x=0 allora di conseguenza si ha che raggiungerà certamente x2( per la differenza di potenziale) e quindi si allontanerà definitivamente da x1 , giusto?
Che importa l'allontanarsi definitivamente, qui si richiede di raggiungere x2 da x1 con velocità minima, l'allontanarsi definitivamente dipende da come è U prima di x1 e dopo x2
Era per capire in generale perché altre volte chiede la velocità minima per allontanarsi
"Vulplasir":
Questi esercizi sono bastardi, me ne capitó uno simile. Comunque concordo con la soluzione del tuo professore, tra x1 e 0 c'è una barriera di potenziale, per arrivare in x2 basta superare lo 0, ossia arrivare in x=0 con velocità nulla, poi la differenza di potenziale tra 0 e x2 farà il suo, non ci importa di quanto valga U(x2), ma solo la differenza U(x1)-U(0)
E gia', ho preso una bella svista, l'ho sottovalutato; peccato di presunzione...
era per capire in generale perché altre volte chiede la velocità minima per allontanarsi
Il ragionamento da fare è lo stesso, solo che invece di andare in x2 devi andare all'infinito, perciò la velocità minima è quella che ti consente di superare la barriera di potenziale più alta tra x1 e l'infinito...poi dipende da caso a caso, devi fare uno studio di funzione e vedere come si comporta la forma e pendenza di U. Vedila come una serie di montagne russe.
In questo caso U (a destra) ha un massimo in x=0 in cui U=0, poi un minimo in x=x2, e poi è crescente fino all'infinito asintoticamente a U=0, quindi partendo da x1, basta superare x=0 per allontanarsi definitivamente (si fermerebbe solo all'infinito)
E gia', ho preso una bella svista, l'ho sottovalutato; peccato di presunzione...
Eh ma sai, coi quesiti banali che postano di solito sul forum, uno ci fa l'abitudine e non si rende conto quando c'è qualche quesito un po' più ragionato
Ok,ora è più chiaro. Quindi questo:
non è corretto , giusto?
Vediamo se ho capito con un altro esempio.
Allora ho un'energia potenziale della forma $U(x)= A/(2(x^2+l^2))$.
La derivo e $\dot{U} = -xA/(x^2+l^2)^2 $
Adesso ho un punto di minimo per x=0 e A<0.
La funzione andrà verso infinito a destra del punto 0.
Quindi se mi voglio allontare da 0 devo imporre che $E_k(0) + U(0) > U(\infty\) = 0 $ quindi $ E_k(0) > -U(0)$
Mentre ,se oltre al punto di minimo in 0 avessi avuto alla sua destra un massimo x2, allora sarebbe stato $E_k(0) + U(0) > U(x_2) $
Giusto?
Ora , in generale so che se vogliamo che un corpo in una posizione di equilibrio $x_e$ si allontani da quella posizione , deve essere che $E_k (x_e) > U(x_e)$ , me lo confermate?
non è corretto , giusto?
Vediamo se ho capito con un altro esempio.
Allora ho un'energia potenziale della forma $U(x)= A/(2(x^2+l^2))$.
La derivo e $\dot{U} = -xA/(x^2+l^2)^2 $
Adesso ho un punto di minimo per x=0 e A<0.
La funzione andrà verso infinito a destra del punto 0.
Quindi se mi voglio allontare da 0 devo imporre che $E_k(0) + U(0) > U(\infty\) = 0 $ quindi $ E_k(0) > -U(0)$
Mentre ,se oltre al punto di minimo in 0 avessi avuto alla sua destra un massimo x2, allora sarebbe stato $E_k(0) + U(0) > U(x_2) $
Giusto?
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