[ELM] Spira quadrata in moto in campo B.
Ciao gente!
avrei bisogno di confrontarmi con qualcuno su questo esercizio:
Concentriamoci sul primo punto, che è quello che mi dà da pensare.
Calcolo il flusso del campo $B$ attraverso la spira:
$ Phi (B)=int_(d_0)^(d_0+a) [B_0(1-alphax)]a dx =aB_0x-B_0aalpha(x^2)/2| _(d_0)^(d_0+a $
ponendo $a=d_0+vt$
$ Phi (B)=B_0ad_0+B_0avt-B_0aalphav^2t^2+2B_0aalphad_0vt $
calcolando la f.e.m. indotta considerando che $t=(a-d_0)/v$
$ f=-(dPhi (B))/dt=-B_0av[1-2alpha(a-2d_0)] $
da cui ottengo la corrente indotta come:
$ i=f/R=(-B_0av[1-2alpha(a-2d_0)])/R=-0.18A $
che percorre la spira in senso antiorario.
Però questo risultato non mi piace proprio...
Qualche volenteroso che vuole cimentarsi a ricalcolare tutto?
Grazie!
avrei bisogno di confrontarmi con qualcuno su questo esercizio:
Concentriamoci sul primo punto, che è quello che mi dà da pensare.
Calcolo il flusso del campo $B$ attraverso la spira:
$ Phi (B)=int_(d_0)^(d_0+a) [B_0(1-alphax)]a dx =aB_0x-B_0aalpha(x^2)/2| _(d_0)^(d_0+a $
ponendo $a=d_0+vt$
$ Phi (B)=B_0ad_0+B_0avt-B_0aalphav^2t^2+2B_0aalphad_0vt $
calcolando la f.e.m. indotta considerando che $t=(a-d_0)/v$
$ f=-(dPhi (B))/dt=-B_0av[1-2alpha(a-2d_0)] $
da cui ottengo la corrente indotta come:
$ i=f/R=(-B_0av[1-2alpha(a-2d_0)])/R=-0.18A $
che percorre la spira in senso antiorario.
Però questo risultato non mi piace proprio...
Qualche volenteroso che vuole cimentarsi a ricalcolare tutto?
Grazie!
Risposte
Non riesco ben a capire come hai fatto, e non capisco nemmeno quale sia la reale richiesta del punto 1) (corrente iniziale o i(t)?) e quindi per far prima ti dico come la vedrei io, poi confronteremo le due idee risolutive.
Tanto per cominciare andrei a considerare una generica posizione $x$ per il lato sinistro della spira e la generica velocità $v$ della spira in $x$ ed andrei a calcolare la forza elettromotrice indotta nei due lati attivi della stessa (indicando con il pedice 1 quello sinistro e con pedice 2 quello destro) ricavando quella complessiva dalla loro differenza con la relazione
$\epsilon=\epsilon_1-\epsilon_2=B(x)av-B(x+a)av=B_0a^2 \alpha v$
con verso antiorario, e con una corrente (antioraria)
$i=\epsilon/R=(B_0a^2\alpha v)/R$
A questo punto andrei a considerare la forza sui due lati attivi, ricavando quella complessiva sulla spira dalla loro differenza
$F=F_1-F_2=-(B_0^2\alpha ^2 a^4)v_0/R$
forza cha va quindi a frenare la spira, riducendone la velocità.
Potremo quindi ricavare l'accelerazione dalla forza, definire una costante
$k=\frac{B_0^2a^4\alpha ^2}{mR}$
e scrivere per la velocità
$v=v_0-k \int_{0}^{t}vdt \qquad \qquad(1)$
dalla quale, differenziando
$\frac{\d v}{\d t}= -k v $
e quindi discesa esponenziale
$v(t)=v_0e^{-kt}$
e da questa
$x(t)=x_0+\frac{v_0}{k}(1-e^{-kt})$
Per la carica puoi integrare $i(t)$ o meglio ancora usare Felici, per l'energia dissipata puoi integrare $Ri^2(t)$ ma c'è un metodo moooolto più rapido.
... un calcolo fatto comunque in velocità, tutto da controllare; lascio a te il compito di trovarne gli errori.
Tanto per cominciare andrei a considerare una generica posizione $x$ per il lato sinistro della spira e la generica velocità $v$ della spira in $x$ ed andrei a calcolare la forza elettromotrice indotta nei due lati attivi della stessa (indicando con il pedice 1 quello sinistro e con pedice 2 quello destro) ricavando quella complessiva dalla loro differenza con la relazione
$\epsilon=\epsilon_1-\epsilon_2=B(x)av-B(x+a)av=B_0a^2 \alpha v$
con verso antiorario, e con una corrente (antioraria)
$i=\epsilon/R=(B_0a^2\alpha v)/R$
A questo punto andrei a considerare la forza sui due lati attivi, ricavando quella complessiva sulla spira dalla loro differenza
$F=F_1-F_2=-(B_0^2\alpha ^2 a^4)v_0/R$
forza cha va quindi a frenare la spira, riducendone la velocità.
Potremo quindi ricavare l'accelerazione dalla forza, definire una costante
$k=\frac{B_0^2a^4\alpha ^2}{mR}$
e scrivere per la velocità
$v=v_0-k \int_{0}^{t}vdt \qquad \qquad(1)$
dalla quale, differenziando
$\frac{\d v}{\d t}= -k v $
e quindi discesa esponenziale
$v(t)=v_0e^{-kt}$
e da questa
$x(t)=x_0+\frac{v_0}{k}(1-e^{-kt})$
Per la carica puoi integrare $i(t)$ o meglio ancora usare Felici, per l'energia dissipata puoi integrare $Ri^2(t)$ ma c'è un metodo moooolto più rapido.
... un calcolo fatto comunque in velocità, tutto da controllare; lascio a te il compito di trovarne gli errori.
Ciao, credo che il testo dell'esercizio richieda la corrente indotta al tempo t=0, credo...
A parte questo, la procedura che ho usato io è figlia di alcuni esercizi svolti a lezione e vagamente simili a questo, in cui si dava in pasto all'integrale di Gauss tutto $B(x)$. Purtroppo, in questo caso, Gauss mi ha portato in un trip piuttosto lungo di conti e come risultato delle equazioni un po' troppo pesanti da gestire...
Ora lo riprendo in mano e vedo cosa ne esce.
Per il momento grazie!
A parte questo, la procedura che ho usato io è figlia di alcuni esercizi svolti a lezione e vagamente simili a questo, in cui si dava in pasto all'integrale di Gauss tutto $B(x)$. Purtroppo, in questo caso, Gauss mi ha portato in un trip piuttosto lungo di conti e come risultato delle equazioni un po' troppo pesanti da gestire...
Ora lo riprendo in mano e vedo cosa ne esce.
Per il momento grazie!
"BRN":
Ciao, credo che il testo dell'esercizio richieda la corrente indotta al tempo t=0, credo...
Però il testo parla di "espressione", senza precisare altro, e quindi la richiesta è dubbia, ad ogni modo, una volta ricavata v(t) la corrente la potrai calcolare per un qualsiasi istante
$i(t)=\frac{a^2B_0\alpha v_0}{R}e^{-kt} \qquad \Rightarrow \qquad i(0)=\frac{a^2B_0\alpha v_0}{R}$
visto poi che il testo in effetti chiedeva la v(x) bastava andare ad osservare che, evitando la derivazione, l'integrale [nota]Nella formula (1) del precedente post.[/nota]corrispondeva alla distanza percorsa e quindi
$v(x)=v_0-k(x-x_0)$
Per la carica ti scrivo solo il risultato che ho ottenuto
$q=\frac{ v_0m}{a^2B_0 \alpha}$
ma l'energia la lascio scrivere a te ... perché?
"RenzoDF":
$F=F_1-F_2=-(B_0^2\alpha ^2 a^4)/R$
credo che qui tu abbia dimenticato una $v$. Mi esce uguale ($v$ inclusa) ma positiva e non negativa...
Per quanto riguarda la carica totale se integro $i(t)$ ottengo:
$ Q=int_(0)^(oo ) (B_0a^2alphav_0)/Re^(-t/tau) dt =(mV_0)/(B_0a^2alpha)=0.1C $
ma usando felici:
$ Q=(Phi (B(x))-Phi(B(x+a)))/R=(B_0a^2alphav_0)/R=0.02C $
"RenzoDF":
per l'energia dissipata puoi integrare $Ri^2(t)$ ma c'è un metodo moooolto più rapido.
Io ho fatto così:
$ U_(diss)=Ri^2=epsilon^2/R=int_(0)^(oo) (B_0^2a^4alpha^2v_0^2)/R e^(-2t/tau)dt =1/2mv_0^2 =2*10^(-4)J$
il metodo più rapido che mi viene in mente è :
$|DeltaU|=U_(f)-U_(i)=1/2mv^2-1/2mv_0^2=1/2mv_0^2$ essendo all'istante finale $v=0$...
"BRN":
... credo che qui tu abbia dimenticato una $v$. Mi esce uguale ($v$ inclusa) ma positiva e non negativa...
Si, l'avevo dimenticata ora ho corretto; la forza per frenare deve essere negativa (preso il versore di x come riferimento), no?
"BRN":
... Per quanto riguarda la carica totale se integro $i(t)$ ottengo: 0.1C
"BRN":
... ma usando felici: 0.02C
Non capisco come: per uno spostamento di un metro il campo varia di $B_0\alpha$ e di conseguenza il flusso
$\Delta \Phi=a^2B_0\alpha$
e quindi $q=(\Delta \Phi)/R=a^2B_0\alpha/R=0.1 C$
stavolta hai messo tu una $v$ di troppo.
"BRN":
... il metodo più rapido che mi viene in mente è :
$|DeltaU|=U_(f)-U_(i)=1/2mv^2-1/2mv_0^2=1/2mv_0^2$ essendo all'istante finale $v=0$...
"RenzoDF":
la forza per frenare deve essere negativa (preso il versore di x come riferimento), no?
assolutamente sì, pensavo che il segno meno ti venisse fuori anche dai conti, tutto qui.
"RenzoDF":
stavolta hai messo tu una $v$ di troppo.
ARGH! Hai ragione!!!
Vabbè, grazie mille per il valido aiuto!
Dai che ne posto un altro!
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