[ELM] Cavo coassiale filo-conduttore.

[BRN1]

Ciao gente, avrei bisogno che qualcuno mi corregga il seguente esercizio:



Mio svolgimento:

1)La componente normle alla superficie di separazione dei mezzi del campo di induzione magnetica si conserva:
$B_(1n)=B_(2n)$
Ivece per il campo $H$ ciò non avviene:
$mu_0mu_(r1)H_(1n)=mu_0mu_(r2)H_(2n)$

2) considerando un raggio $r$ tale che $R nella regione in cui c'è il vuoto vale (considero solo mezza superficie):

da Ampere: $ oint_(l) Hdl=I rArr H(r)=I_0/(pir)$

da cui ricavo $B(r)=mu_0H(r)=(mu_0I_0)/(pir)$

infine $M=0$

nella regione con dielettrico:

da Ampere: $ oint_(l) Hdl=I rArr H(r)=I_0/(pir)$ ??? (non era discontinuo?)

da cui ricavo $B(r)=mu_0mu_r H(r)=(mu_0mu_rI_0)/(pir)$

e infine $H=B/mu_0-M rArr M=I_0/(pir)(mu_r-1)$

3) Considerando il dielettrico omogeneo, la densità di corrente di magnetizzazione volumetrica è nulla e per quanto riguarda quelle di superficie, vale:

$J_(m1)=M xx hat(n)=I_0/(piR)(mu_r-1)$ e $J_(m2)=M xx hat(n)=I_0/(pia)(mu_r-1)$

uguali in modulo ma con verso opposto.
In conclusione, la corrente totale è nulla.

Mi chiarite in particolare il punto 2?
Grazie!

[RenzoDF]

Scusa ma al punto 2 chi è che ti permette di integrare H in quel modo? ... lo abbiamo visto più volte nei passati problemi che abbiamo affrontato questa "situazione" di discontinuità dei mezzi, non ricordi?

[BRN1]

Hai ragione, ma è quello che ho provato a fare anche se dal procedimento che ho postato non si direbbe...

Il fatto è che anche applicando Ampere come:

$ oint_(l_1) H_d dl+oint_(l_2) H_0 dl=I_0 $

ottenevo sempre che $H$ non variava. Mi sono accorto poi che sbagliavo a calcolare $B$, che invece dovrebbe avere questa forma:

$ oint_(l) B dl=mu_0mu_rI_0 rArr B(r)= mu_0mu_rI_0/(2pir) $

[RenzoDF]

Scusa ma continuo a non capire, il testo, da come è impostato, fa chiaramente un'ipotesi che direi quasi "fantascientifica" (quale?) e su questa va a chiederti a cosa portino le condizioni al contorno, una delle quali la hai correttamente scritta, sottintendendo che la seconda non serviva, è così?

Ora per rispondere al punto 2, da questa condizione fra i due diversi campi magnetizzanti H devi solo andare a ricavare la magnetizzazione M nelle due metà, sostanzialmente con il metodo da te usato nel primo post, ma usando i due diversi campi H nelle due metà.

[BRN1]

Aspetta aspetta, che ho fatto un macello come mio solito...

Riscrivo la mia ultima soluzione:

1) in prossimità della superficie di separazione dei mezzi, la componente normale di $B$ si conserva:
$B_(1n)=B_(2n)$
cosa che non accade per $H$:
$mu_0H_(1n)=mu_0mu_rH_(2n)$

2) considerando una regione interna al guscio, l'unica corrente concatenata è quella del filo, cioè $I_0$. Inoltre si ha che:
$B=mu_0H_0=mu_0mu_rH_d$ e quindi dal teo. di Ampere si ricava:

$ oint_(l_1) H_ddl+oint_(l_2) H_0dl=B/(mu_0mu_r)pir+B/mu_0pir=I_0 $

$ rArr B(r)=(I_0mu_0mu_r)/(pir(1+mu_r)) $

che come detto al punto 1 vale sia nel dielettrico che nel vuoto.

Quindi nel vuoto vale:

$H_0=B/mu_0=(I_0mu_r)/(pir(1+mu_r))$ e $M=0$

nel dielettrico, ripetendo Ampere o più semplicemente dalla definizione di $H$:

$H_d=B/(mu_0mu_r)=I_0/(pir(1+mu_r))$

$M=B/mu_0-H_d=I_0/(pir(1+mu_r))(mu_r-1)$

3) la densità di magnetizzazione volumica $J_(mv)=0$ in quanto il dielettrico è omogeneo, pertanto rimane solo quella superficiale:

$J_(ms)=M xx hat(n)=I_0/(pir(1+mu_r))(mu_r-1)$

presente su entrabele le facce del dielettrico, ma con verso opposto. Pertanto la loro somma è nulla, esattamente come quella tra $I_0$ e la corrente del guscio (uguale ed opposta). Quindi $I_(t)=0$, $I_t$ corrente totale.