Ellissoide d'inerzia in forma canonica
salve a tutti,
ho un problema con un esercizio di meccanica razionale, dovrei trovare l'ellisse d'inerzia in forma canonica di un quadrato di lato l diviso dalla sua diagonale ( da $(0,l)$ a $(l,0)$ ) in due triangoli di densità $rho$ (triangolo superiore) e $2*rho$ (triangolo inferiore), con il lato inferiore che si trova sull'asse delle x ed il lato laterale sinistro che si trova su quella delle y.
Per il triangolo di densità $2*rho$ mi risulta $I_11=I_22=(ml^2)/12$, $I_33=2*I_11$ e $I_12=I_21=-(ml^2)/12$
per il triangolo di densità rho mi risulta $I_11=I_22=(ml^2)/6$, $I_33=2*I_11$ e $I_12=I_21=-(ml^2)/6$
La matrice d'inerzia del quadrato si ottiene quindi sommando le matrici d'inerzia dei due triangoli e mi viene:
$( ( (ml^2)/4 ,-(ml^2)/4 , 0 ),( -(ml^2)/4 , (ml^2)/4 , 0 ),( 0 , 0 , (ml^2)/2 ) )$
Ora ho risolto il problema degli autovalori relativo a questa matrice, trovando $lambda _1=ml^2/2$ , $lambda _2=0$ .
I rispettivi autovettori sono $x'=( 1/(2)^(1/2) \ \ -1/(2)^(1/2))$ , $ y'=( 1/(2)^(1/2) \ \ 1/(2)^(1/2))$
la norma di questi vettori è uguale a 1 quindi il nuovo sistema di riferimento $(O,x',y')$ che risulta ruotato in senso antiorario di 45° poiché $arcsin(1/(2)^(1/2))=45°$ è orientato da questi vettori. Essendo poi $delta _1= (m/2)^(1/2)= delta_2$, l'ellissoide in forma canonica è la circonferenza
$(x')^2/(m/2)+(y')^2/(m/2)=1$ .
Vi sembra svolto in modo corretto?
Grazie!
ho un problema con un esercizio di meccanica razionale, dovrei trovare l'ellisse d'inerzia in forma canonica di un quadrato di lato l diviso dalla sua diagonale ( da $(0,l)$ a $(l,0)$ ) in due triangoli di densità $rho$ (triangolo superiore) e $2*rho$ (triangolo inferiore), con il lato inferiore che si trova sull'asse delle x ed il lato laterale sinistro che si trova su quella delle y.
Per il triangolo di densità $2*rho$ mi risulta $I_11=I_22=(ml^2)/12$, $I_33=2*I_11$ e $I_12=I_21=-(ml^2)/12$
per il triangolo di densità rho mi risulta $I_11=I_22=(ml^2)/6$, $I_33=2*I_11$ e $I_12=I_21=-(ml^2)/6$
La matrice d'inerzia del quadrato si ottiene quindi sommando le matrici d'inerzia dei due triangoli e mi viene:
$( ( (ml^2)/4 ,-(ml^2)/4 , 0 ),( -(ml^2)/4 , (ml^2)/4 , 0 ),( 0 , 0 , (ml^2)/2 ) )$
Ora ho risolto il problema degli autovalori relativo a questa matrice, trovando $lambda _1=ml^2/2$ , $lambda _2=0$ .
I rispettivi autovettori sono $x'=( 1/(2)^(1/2) \ \ -1/(2)^(1/2))$ , $ y'=( 1/(2)^(1/2) \ \ 1/(2)^(1/2))$
la norma di questi vettori è uguale a 1 quindi il nuovo sistema di riferimento $(O,x',y')$ che risulta ruotato in senso antiorario di 45° poiché $arcsin(1/(2)^(1/2))=45°$ è orientato da questi vettori. Essendo poi $delta _1= (m/2)^(1/2)= delta_2$, l'ellissoide in forma canonica è la circonferenza
$(x')^2/(m/2)+(y')^2/(m/2)=1$ .
Vi sembra svolto in modo corretto?
Grazie!
Risposte
Ma se è un ellissoide, come fa a venirti una circonferenza? Ti sei dimenticato l'autovalore $lamda_3$, che corrisponde al momento di inerzia rispetto all'asse z, inoltre devi aver fatto qualche errore perché un autovalore non puó essrere nullo, infatti la matrice d'inerzia è definita positiva (a parte il caso degenere di punti materiali allineati)
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