Ellissoide di Inerzia
Salve a tutti!
E' la prima volta da quando sono iscritto al forum che posto nella sezione dedicata alla fisica in tutte le sue forme e spero di chiedere nulla di troppo banale. Sono alle pagine finali dell'esame di Meccanica Razionale (Fisica matematica I) e dopo tantissimi ostacoli, superati (almeno spero) tra sudore e mal di testa
, mi sono bloccato sull'ultima difficoltà.
Come il titolo del topic suggerisce, si tratta di meccanica del corpo rigido, in particolare ciò che mi blocca è la "Descrizione di Poinsot dei moti per inerzia". Una volta introdotto l'ellissoide di inerzia come una quadrica tramite la relazione:
\[\displaystyle xI_Ox=1\]
Con $I_O$ tensore di inerzia nel punto O il prof passa a tutta una serie di considerazioni di carattere geometrico che riguardano il modo di muoversi del corpo rigido C rispetto ad un piano che tocca l'ellissoide in un punto appartenente al suo asse di rotazione e che quindi rimane fermo, concludendo che il moto è di rotolamento senza strisciamento. Il mio problema sta nel non aver capito come arrivare alle conclusioni sopra descritte.
Se qualcuno mi potesse dare delle delucidazioni in maniera non troppo complicata oppure linkare qualche documento utile mi farebbe un grandissimo piacere!
Grazie!
E' la prima volta da quando sono iscritto al forum che posto nella sezione dedicata alla fisica in tutte le sue forme e spero di chiedere nulla di troppo banale. Sono alle pagine finali dell'esame di Meccanica Razionale (Fisica matematica I) e dopo tantissimi ostacoli, superati (almeno spero) tra sudore e mal di testa
, mi sono bloccato sull'ultima difficoltà. Come il titolo del topic suggerisce, si tratta di meccanica del corpo rigido, in particolare ciò che mi blocca è la "Descrizione di Poinsot dei moti per inerzia". Una volta introdotto l'ellissoide di inerzia come una quadrica tramite la relazione:
\[\displaystyle xI_Ox=1\]
Con $I_O$ tensore di inerzia nel punto O il prof passa a tutta una serie di considerazioni di carattere geometrico che riguardano il modo di muoversi del corpo rigido C rispetto ad un piano che tocca l'ellissoide in un punto appartenente al suo asse di rotazione e che quindi rimane fermo, concludendo che il moto è di rotolamento senza strisciamento. Il mio problema sta nel non aver capito come arrivare alle conclusioni sopra descritte.
Se qualcuno mi potesse dare delle delucidazioni in maniera non troppo complicata oppure linkare qualche documento utile mi farebbe un grandissimo piacere!
Grazie!
Risposte
Lorin,
io mi ricordo poco del moto per inerzia di un corpo rigido , e della descrizione di Poinsot. Perciò ho fatto qualche ricerca in rete . Segui questo link :
http://www.dma.unifi.it/~frosali/didatt ... /cmr_3.pdf
mi sembra cheil paragrafo 8.4 risponda al tuo scopo .
anche qui c'è qualcosa , mi sembra :
http://images.wikia.com/assembleafisica ... inario.pdf
Comunque , ho cercato su Google : moto alla Poinsot .
Ho dato una occhiata anche al libro di Goldstein : Meccanica classica , e al più esteso libro di Landau : Meccanica (che è piuttosto duro...) . Poi c'è anche il Graffi : Lezioni di Meccanica Razionale ....Perchè non vai in biblioteca di Facoltà ?
Ciao
io mi ricordo poco del moto per inerzia di un corpo rigido , e della descrizione di Poinsot. Perciò ho fatto qualche ricerca in rete . Segui questo link :
http://www.dma.unifi.it/~frosali/didatt ... /cmr_3.pdf
mi sembra cheil paragrafo 8.4 risponda al tuo scopo .
anche qui c'è qualcosa , mi sembra :
http://images.wikia.com/assembleafisica ... inario.pdf
Comunque , ho cercato su Google : moto alla Poinsot .
Ho dato una occhiata anche al libro di Goldstein : Meccanica classica , e al più esteso libro di Landau : Meccanica (che è piuttosto duro...) . Poi c'è anche il Graffi : Lezioni di Meccanica Razionale ....Perchè non vai in biblioteca di Facoltà ?
Ciao
Il primo lo avevo trovato anche io, il secondo invece no.
Ho preferito chiedere direttamente qui per non inoltrarmi in ulteriori ostacoli nell'eventuale lettura di documenti complessi. Ti ringrazio comunque!
Ho preferito chiedere direttamente qui per non inoltrarmi in ulteriori ostacoli nell'eventuale lettura di documenti complessi. Ti ringrazio comunque!
Dato un moto sferico di polo $O$ rispetto al quale i momenti risultanti della sollecitazione attiva e di quella vincolare siano nulli si afferma che: esistono due piani fissi tali che l'ellissoide di di inerzia è tangente ai due piani in ogni istante
La giacitura dei due piani è ortogonale al momento angolare \(\overrightarrow{L_O}\)
I due punti solidali a contatto con i piani hanno velocità nulla: si ha tra l'ellissoide e i piani un moto di contatto con assenza di strisciamento.
Sia $a$ l'asse di istantantea rotazione. Consideriamo un riferimento principale di inerzia \(\{O,\vec{e}_i\}\)
Indichiamo con $Y$ uno dei due punti di intersezione tra l'ellissoide di inerzia e l'asse di instantanea rotazione.
\(\overrightarrow{OY}= \lambda \vec{\omega}\) per quanto detto, determiniamo $\lambda$ di modo tale che sia verificata l'appartenenza di $Y$ all'ellissoide. \(||\overrightarrow{OY}||^2= \lambda^2 ||\vec{\omega}||^2= \frac{1}{I_a} \Longrightarrow I_a||\vec{\omega}||^2=\frac{1}{\lambda^2}\) dove si è indicato con $ I_a$ il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di istantanea rotazione. Ora l'energia cinetica è data da \(\frac{1}{2} I_a||\vec{\omega}||^2=T\) e dunque
\(\lambda=\frac{1}{\sqrt{2T}} \Longrightarrow \overrightarrow{OY}=\frac{1}{\sqrt{2T}}\vec{\omega}\)
Adesso usiamo questo risultato per dimostramo quello che ci serve. Teniamo conto che \(\frac{dT}{dt}=0\) perchè è un moto alla Poinsot; in generale invece $\vec{\omega}$ non è costante ma si conserva la sua proiezione sul vettore \(\overrightarrow{L_O}\).
Detto questo l'equazione dell'ellissoide di inerzia è \( f(x_j)= x_j^2 I_{a,jj} -1=0\) calcoliamone il grandiente in $Y$
\(\nabla{f}|_Y=\frac{ 2\overrightarrow{L_O}}{\sqrt{2T}}\) dove abbiamo stostituito e riconosciuto
\(\overrightarrow{L_O}=I_a\vec{\omega}\). Il gradiente \(\nabla{f}|_Y\) indica la direzione ortogonale all'ellissoide in $Y$,
ma essendo \(\overrightarrow{L_O}\) costante lo è anche essa: il piano la cui giacitura (costante nel tempo) è ortogonale ad \(\overrightarrow{L_O}\) è dunque il piano tangente all'ellissoide.
Verifichiamo ore che la distanza tra il polo $O$ e il piano tangente sia costante.
\(d(O,piano)= \frac{\overrightarrow{OY} \cdot \overrightarrow{L_O}}{||\overrightarrow{L_O}||}= \frac{1}{\sqrt{2T}}\frac{\vec{\omega} \cdot \overrightarrow{L_O}}{||\overrightarrow{L_O}||}= \frac{2}{\sqrt{2T}}\frac{T}{||\overrightarrow{L_O}||}\) che sappiamo essere una quantità costante trattandosi di un moto alla Poinsot
Perchè sono così orribili le mie equazioni? intendo i caratteri
La giacitura dei due piani è ortogonale al momento angolare \(\overrightarrow{L_O}\)
I due punti solidali a contatto con i piani hanno velocità nulla: si ha tra l'ellissoide e i piani un moto di contatto con assenza di strisciamento.
Sia $a$ l'asse di istantantea rotazione. Consideriamo un riferimento principale di inerzia \(\{O,\vec{e}_i\}\)
Indichiamo con $Y$ uno dei due punti di intersezione tra l'ellissoide di inerzia e l'asse di instantanea rotazione.
\(\overrightarrow{OY}= \lambda \vec{\omega}\) per quanto detto, determiniamo $\lambda$ di modo tale che sia verificata l'appartenenza di $Y$ all'ellissoide. \(||\overrightarrow{OY}||^2= \lambda^2 ||\vec{\omega}||^2= \frac{1}{I_a} \Longrightarrow I_a||\vec{\omega}||^2=\frac{1}{\lambda^2}\) dove si è indicato con $ I_a$ il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di istantanea rotazione. Ora l'energia cinetica è data da \(\frac{1}{2} I_a||\vec{\omega}||^2=T\) e dunque
\(\lambda=\frac{1}{\sqrt{2T}} \Longrightarrow \overrightarrow{OY}=\frac{1}{\sqrt{2T}}\vec{\omega}\)
Adesso usiamo questo risultato per dimostramo quello che ci serve. Teniamo conto che \(\frac{dT}{dt}=0\) perchè è un moto alla Poinsot; in generale invece $\vec{\omega}$ non è costante ma si conserva la sua proiezione sul vettore \(\overrightarrow{L_O}\).
Detto questo l'equazione dell'ellissoide di inerzia è \( f(x_j)= x_j^2 I_{a,jj} -1=0\) calcoliamone il grandiente in $Y$
\(\nabla{f}|_Y=\frac{ 2\overrightarrow{L_O}}{\sqrt{2T}}\) dove abbiamo stostituito e riconosciuto
\(\overrightarrow{L_O}=I_a\vec{\omega}\). Il gradiente \(\nabla{f}|_Y\) indica la direzione ortogonale all'ellissoide in $Y$,
ma essendo \(\overrightarrow{L_O}\) costante lo è anche essa: il piano la cui giacitura (costante nel tempo) è ortogonale ad \(\overrightarrow{L_O}\) è dunque il piano tangente all'ellissoide.
Verifichiamo ore che la distanza tra il polo $O$ e il piano tangente sia costante.
\(d(O,piano)= \frac{\overrightarrow{OY} \cdot \overrightarrow{L_O}}{||\overrightarrow{L_O}||}= \frac{1}{\sqrt{2T}}\frac{\vec{\omega} \cdot \overrightarrow{L_O}}{||\overrightarrow{L_O}||}= \frac{2}{\sqrt{2T}}\frac{T}{||\overrightarrow{L_O}||}\) che sappiamo essere una quantità costante trattandosi di un moto alla Poinsot
Perchè sono così orribili le mie equazioni? intendo i caratteri
in $Y$ la velocità del punto solidale è nulla poichè è un punto dell'asse di istantanea rotazione
Ti ringrazio...domani darò una lettura più attenta 
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