ELETTROSTATICA:PROBLEMA DI DIRICHELET
Salve a tutti !!! Ho un quesito da porvi (così mi date una mano):
Prendete un dipolo di cariche q; ora prendete due conduttotori geometricamente coincidenti a due superfici equipotenziali del dipolo. Caricateli con carica q e + q come quelle delle cariche del dipolo; Che campo generano i conduttori???
per chi non ricordasse il campo-potenziale del dipolo http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... Dipole.jpg
Secondo me si risolve vedendo che le condizioni al contorno sui conduttori differiscono di una costante dalle stesse superfici nel sistema-dipolo. Dovendo soddisfare l'equazione di laplace ottendgo un V0(x,y,z) per i conduttori che differisce dal potenziale del dipolo di una costante. Di conseguenza i loro gradienti (o fisicamente i campi) coincidono? Voi cosa pensate?
non dovrei dimostrare anche che non essendo i conduttori identici (cioè coincidono con due DIVERSE superfici equipotenziali) la costante che li differenzia dal potenziale del dipolo è la stessa????
Aspetto suggerimenti
Grazie a tutti
Prendete un dipolo di cariche q; ora prendete due conduttotori geometricamente coincidenti a due superfici equipotenziali del dipolo. Caricateli con carica q e + q come quelle delle cariche del dipolo; Che campo generano i conduttori???
per chi non ricordasse il campo-potenziale del dipolo http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... Dipole.jpg
Secondo me si risolve vedendo che le condizioni al contorno sui conduttori differiscono di una costante dalle stesse superfici nel sistema-dipolo. Dovendo soddisfare l'equazione di laplace ottendgo un V0(x,y,z) per i conduttori che differisce dal potenziale del dipolo di una costante. Di conseguenza i loro gradienti (o fisicamente i campi) coincidono? Voi cosa pensate?
non dovrei dimostrare anche che non essendo i conduttori identici (cioè coincidono con due DIVERSE superfici equipotenziali) la costante che li differenzia dal potenziale del dipolo è la stessa????
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Grazie a tutti
Risposte
"ale87":
Salve a tutti !!! Ho un quesito da porvi (così mi date una mano):
Prendete un dipolo di cariche q; ora prendete due conduttotori geometricamente coincidenti a due superfici equipotenziali del dipolo. Caricateli con carica q e + q come quelle delle cariche del dipolo; Che campo generano i conduttori???
per chi non ricordasse il campo-potenziale del dipolo http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... Dipole.jpg
Secondo me si risolve vedendo che le condizioni al contorno sui conduttori differiscono di una costante dalle stesse superfici nel sistema-dipolo. Dovendo soddisfare l'equazione di laplace ottendgo un V0(x,y,z) per i conduttori che differisce dal potenziale del dipolo di una costante. Di conseguenza i loro gradienti (o fisicamente i campi) coincidono? Voi cosa pensate?
non dovrei dimostrare anche che non essendo i conduttori identici (cioè coincidono con due DIVERSE superfici equipotenziali) la costante che li differenzia dal potenziale del dipolo è la stessa????
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Grazie a tutti
NEssun idea??
secondo me non si capisce bene com'è la situazione...(o almeno io non la capisco)
cioè: com'è la geometria dei conduttori?? che centra il dipolo???
cioè: com'è la geometria dei conduttori?? che centra il dipolo???
"Cantaro86":
secondo me non si capisce bene com'è la situazione...(o almeno io non la capisco)
cioè: com'è la geometria dei conduttori?? che centra il dipolo???
La geometria è:due conduttori geometricamente coincidenti a due qualunque superfici equipotenziali del campo generato da un dipolo
vabbe... per me continua a non essere chiaro...
quindi posso solo dire che in generale risolvere un problema di Dirichlet non è per niente facile...(infatti in molti casi i fisici lavorano all'incontrario: ovvero prima si costruiscono delle funzioni analitiche partendo da una qualsiasi funzione armonica e poi vedono se questa funzione rappresenta qualche caso particolare di potenziale)
comunque in genere basta conoscere le condizioni sulle superfici e imporre che $nabla^2V=0$ all' esterno....
spero di esserti stato un po utile...(di più non so cosa dire)
quindi posso solo dire che in generale risolvere un problema di Dirichlet non è per niente facile...(infatti in molti casi i fisici lavorano all'incontrario: ovvero prima si costruiscono delle funzioni analitiche partendo da una qualsiasi funzione armonica e poi vedono se questa funzione rappresenta qualche caso particolare di potenziale)
comunque in genere basta conoscere le condizioni sulle superfici e imporre che $nabla^2V=0$ all' esterno....
spero di esserti stato un po utile...(di più non so cosa dire)
"Cantaro86":
vabbe... per me continua a non essere chiaro...
quindi posso solo dire che in generale risolvere un problema di Dirichlet non è per niente facile...(infatti in molti casi i fisici lavorano all'incontrario: ovvero prima si costruiscono delle funzioni analitiche partendo da una qualsiasi funzione armonica e poi vedono se questa funzione rappresenta qualche caso particolare di potenziale)
comunque in genere basta conoscere le condizioni sulle superfici e imporre che $nabla^2V=0$ all' esterno....
spero di esserti stato un po utile...(di più non so cosa dire)
Beh in generale che per risolvere un problema di dirichelet devo avere condizioni al contorno ben poste e imporre l'equazione di laplace c'ero... in generale cerco di spiegarmi meglio. Avete presente le superfici equipotenziali del campo generato da un dipolo? Guardate il link sopra ora prendete due di queste superfici una che contorna la carica positiva e una la negativa. Questi saranno i vostri conduttori caricateli con le cariche che avrebbe i dipoli (che in realtà servono solo a configurare la geometria del sistema)....
Spero di aver spiegato meglio
Non ricordo con precisione le condizioni per cui è garantita l'esistenza e l'unicità delle soluzioni del problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace, e si tratta di verificare se l'unione delle due superfici equipotenziali $S_1$ e $S_2$ le soddisfa. Supponendo che questo sussista (ripeto, bisogna verificare sul testo le proprietà del contorno e della condizione richiesta al potenziale $\phi$), si tratta di usare la condizione al contorno $\phi(x) = \phi_1$ se $x in S_1$ e $\phi(x)=\phi_2$ se $x in S_2$, se ben ho capito la geometria del problema.
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